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\lhead[]{\small $1$^{ère} STI}
\chead[]{\textsc{Ch$05$ : Fonctions}}
\rhead[]{\small {$2006$/$2007$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}} 
%\def\Q{{\mathbb Q}} 
%\def\Z{{\mathbb Z}} 
%\def\D{{\mathbb D}}
%\def\N{{\mathbb N}} 
%\def\C{{\mathbb C}} 

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
%\theorembodyfont{\rmfamily}
%\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\newframedtheorem{Def}{Définition}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Rep}{(O;\V{\imath};\V{\jmath})}
\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
%\newcommand{\Reel}{\mathfrak{Re}} 
%\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} 
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert}
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 


\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      FONCTIONS
   \end{LARGE}}
\end{center}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\hspace{1cm}

\begin{center}
   $\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\bigskip

Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère $\Rep$

\section{Rappels} %______________________________________________________

\subsection{Courbe représentative d'une fonction} %____________________________

Pour tracer la courbe représentative d'un fonction, on commence par faire un tableau de valeurs, puis on place chacun des points dans un repère

\bigskip

\begin{Ex}
   On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{5x}{x^2+1}$

   \begin{dinglist}{212}
      \item On commence par compléter un tableau de valeurs :
         \begin{center}
            \begin{tabular}{|*{12}{C{0.8}|}}
               \hline
               $x$ & $-3$ & $-2,5$ & $-2$ & $-1,5$ & $-1$ & $-0,5$ & $0$ & $0,5$ & $1$ & $1,5$ & $2$ \\
               \hline
               $f(x)$& $-1,5$ & $-1,7$ & $-2$ & $-2,3$ & $-2,5$ & $-2$ & $0$ & $2$ & $2,5$ & $2,3$ & $2$ \\
               \hline
            \end{tabular}
         \end{center}

      \vspace*{2cm}

      \item Puis on place les points $M(x;f(x))$ dans le repère ci-dessous :
         \begin{center}
            \begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(2.5,3.5)
               \psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(2.5,3.5)
               \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-3,-3)(2,3)
               \psplot[linecolor=red]{-3}{2}{5 x mul x x mul 1 add div}
               \rput(1.5,1.5){$\mathcal{C}_f$}
            \end{pspicture}
         \end{center}      
      \item Le point de coordonnées $\Coor{10}{0,5}$ n'est pas sur la courbe représentative de la fonction $f$ car $f(10)=0,495 \neq 0,5$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Lecture d'une image ou d'un antécédent à partir d'une courbe} %_________

\begin{minipage}[t]{8cm}
   \begin{center}
      Lire l'image d'un nombre :
      \begin{pspicture}(-1,-3.5)(5,3.5)
         \psaxes{->}(0,0)(-1,-3)(5,3)    
         \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-1,-3)(5,3)
         \psplot[linecolor=red]{-0.4}{4.4}{x x mul 4 x mul sub 1 add}
         \psline[linecolor=blue]{->}(1,0)(1,-2)
         \psline[linecolor=blue]{->}(1,-2)(0,-2)
      \end{pspicture}\\
      on place $x$ sur l'axe des abscisses\\
      on se déplace verticalement pour rencontrer $\mathcal{C}_f$\\
      on lit $f(x)$ sur l'axe des ordonnées\\
      \vspace{0.5cm}
      \fbox{L'image de $1$ par $f$ est $-2$}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8cm}
   \begin{center}
      Trouver l'(les)antécédent(s) d'un nombre\\
      \begin{pspicture}(-1,-3.5)(5,3.5)
         \psaxes{->}(0,0)(-1,-3)(5,3)
         \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-1,-3)(5,3)
         \psplot[linecolor=red]{-0.4}{4.4}{x x mul 4 x mul sub 1 add}
         \psline[linecolor=blue]{-}(-1,1)(5,1)
         \psline[linecolor=blue]{->}(0,1)(0,0)
         \psline[linecolor=blue]{->}(3,1)(3,0)
      \end{pspicture}\\
      on trace une horizontale passant par cette valeur\\
      à partir des points d'intersection, on se déplace verticalement vers l'axe des abscisses pour lire les antécédents\\
      \vspace{0.5cm}
      \fbox{Les antécédents de $1$ par $f$ sont $0$ et $4$}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

\subsection{Fonction croissante et décroissante} %_________________________________

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item On dit que la fonction $f$ est \underline{croissante} sur un intervalle $I$ si quels que soient les réels $x_1$ et $x_2$ dans $I$ tels que $x_1 \leq x_2$, on a $f(x_1) \leq f(x_2)$\
	\item On dit que la fonction $f$ est \underline{décroissante} sur un intervalle $I$ si quels que soient les réels $x_1$ et $x_2$ dans $I$ tels que $x_1 \leq x_2$, on a $f(x_1) \geq f(x_2)$\
   \end{dinglist}
\end{Def}

Donner les variations d'une fonction signufie préciser sur quels intervalles la fonction est croissante, puis sur quels intervalles la fonction est décroissante

\begin{center}
   \psset{yunit=0.9}
   \begin{pspicture}(-5,-3.5)(7,5)
      \psaxes{->}(0,0)(-5,-3)(7,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-5,-3)(7,5)
      \pscurve[linecolor=red](-5,4)(-4,0)(-3,-1)(-1,0)(0,1.5)(2,4)(4,0)(5,-2)(7,0)
      \rput(-4.5,3.5){\textcolor{red}{$\mathcal{C}_f$}}
   \end{pspicture} 
\end{center}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Cette fonction $f$ est croissante sur $\Int{-3}{2}$ et sur $\Int{5}{7}$, décroissante sur $\Int{-5}{-3}$ et sur $\Int{2}{5}$
      \item On peut écrire : $f$ croissante sur $\Int{-3}{2} \cup \Int{5}{7}$, décroissante sur $\Int{-5}{-3} \cup \Int{2}{5}$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Tableau de variations d'une fonction} %________________________________

Le \underline{tableau de variations} d'une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant les variations de la fonction

\begin{Ex}
   Le tableau de variations de la fonction $f$ est :
   \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|ccccccccr|}
         \hline
         $x$ & $-5$ & & $-3$ & & $2$ & & $5$ & & $7$ \\
         \hline
         & $4$ & & & & $4$ & & & & $0$ \\
         $f(x)$ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ 
         &  & & $-1$ & & & & $-2$ & & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{Ex}


\subsection{Extremum d'une fonction} %________________________________

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item On dit que la fonction $f$ admet un \underline{maximum} $M$ sur un intervalle $I$, atteint en $x_0$ si, quel que soit le réel $x$ dans $I$, on a $f(x) \leq f(x_0)=M$
	  \item On dit que la fonction $f$ admet un \underline{minimum} $m$ sur un intervalle $I$, atteint en $x_0$ si, quel que soit le réel $x$ dans $I$, on a $f(x) \geq f(x_0)=m$
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le maximum de $f$ sur $\Int{-5}{7}$ est $M=2$, atteint pour $x=-5$ et $x=2$
      \item Le minimum de $f$ sur $\Int{-5}{7}$ est $m=-2$, atteint pour $x=5$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\textbf{Attention}, la valeur d'un extremum dépend de l'intervalle !\\
Par exemple, le minimum de $f$ sur $\Int{-5}{2}$ est $m=-1$, atteint pour $x=-3$


\subsection{Tableau de signes d'une fonction} %__________________________

On réuni au sein d'un tableau appelé \underline{tableau de signes} les informations concernant le signe de la fonction $f$, c'est à dire sa position par rapport à l'axe des abscisses

\begin{Ex}
   Le tableau de signes de la fonction $f$ est :
   \begin{center}
      \begin{array}{|c|ccccccccr|}
         \hline
         x & -5 & & -4 & & -1 & & 4 & & 7\\
         \hline
         \text{signe de } f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 \\ 
         \hline
      \end{array}
   \end{center}
\end{Ex}


\section{Fonctions de référence} %_______________________________________

\subsection{Graphique} %_____________________________________________

\begin{center}
   \psset{yunit=0.5}
   \begin{pspicture}(-8,-5)(9,9)
      \psaxes{->}(0,0)(-8,-5)(9,9)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=10,gridlabels=0](-8,-5)(9,9)
      \psplot[linecolor=red]{-3}{3}{x x mul}
      \rput(4,8.5){\textcolor{red}{$f(x)=x^2$}}
      \psplot[linecolor=blue]{-8}{-0.2}{1 x div}
      \psplot[linecolor=blue]{0.111}{9}{1 x div}
      \rput(-7,1){\textcolor{blue}{$f(x)=\dfrac{1}{x}$}}
      \psplot[linecolor=green]{-1.7}{2.08}{x x mul x mul}
      \rput(-3,-4.5){\textcolor{green}{$f(x)=x^3$}}
      \psplot{0}{9}{x sqrt}
      \rput(7.9,4){$f(x)=\sqrt{x}$}
      \psplot[linecolor=orange]{-8}{0}{x -1 mul}
      \psplot[linecolor=orange]{0}{9}{x}
      \rput(-6,7.5){\textcolor{orange}{$f(x)=\Abs{x}$}}
   \end{pspicture}
\end{center}


\subsection{Fonction affine} %_______________________________________

\begin{Def}
   Soient $a$ et $b$ deux réels. La fonction définie sur $\R$ par  $f(x)=ax+b$ est appelée \underline{fonction affine}
\end{Def}

\begin{Rem}
   \begin{itemize}
      \item Si $b=0$, la fonction $f$ définie par $f(x)=ax$ est une fonction linéaire
      \item Si $a=0$, la fonction $f$ définie par $f(x)=b$ est une fonction constante
   \end{itemize}
\end{Rem}

\smallskip
 
\begin{Prop}
   Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$, alors :
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si $a > 0$, $f$ est croissante sur $\R$ 
      \item Si $a < 0$, $f$ est décroissante sur $\R$ 
      \item Si $a = 0$, $f$ est constante sur $\R$ 
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $f$ définie par $f(x)=3x+2$ est croissante
      \item La fonction $f$ définie par $f(x)=-2x+3$ est décroissante
     \item La fonction $f$ définie par $f(x)=5$ est constante
   \end{dinglist}
\end{Ex}

La représentation graphique d'une fonction affine est une \underline{droite}

\begin{center}
   \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-4)(4,4)
      \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
      \rput(-0.3,-0.3){$0$}
      \rput(1,-0.3){$1$}
      \rput(-0.3,1){$1$}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=red](-4,-2)(4,-2)    
      \rput(3.5,-1.7){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](-4,-3)(3,4)
      \rput(2.5,3){\textcolor{blue}{$d_1$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=green](-2,4)(2,-4)
      \rput(-2,3.2){\textcolor{green}{$d_3$}}
   \end{pspicture}
\end{center}
   
Représentation graphique des fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ d'équations :\\
   \begin{itemize}
      \item $f_1(x)=x+1$
      \item $f_2(x)=-2$
      \item $f_3(x)=-2x$
   \end{itemize}

\subsection{Fonction carré} %________________________________________________

\begin{Def}
   La fonction définie sur $\R$ par $x\longmapsto x^2$ s'appele la \underline{fonction carré}
\end{Def}

\begin{Prop}
   La fonction carré est strictement décroissante sur $\Intg{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\Intd{0}{+\infty}$
\end{Prop}

Tableau de variations :
\hspace*{2.5cm} 
   \begin{tabular}{|c|ccccc|}
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\
      \hline
      & $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
      $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
      & & & $0$ & & \\
      \hline
   \end{tabular}

Dans un repère $\Rep$, la courbe représentative de la fonction carré est une \underline{parabole} de sommet $O$

\smallskip

\begin{Rem}
   Cette parabole admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction \underline{paire}.
\end{Rem}


\subsection{Fonction inverse} %______________________________________________

\begin{Def}
   La fonction définie sur $\R^*= \, ] \, -\infty \, ; \, 0 \, [$ \, $\cup$ $] \, 0 \, ; \, +\infty \, [$ par $x\longmapsto \dfrac{1}{x}$ est appelée \underline{fonction inverse}
\end{Def}

\begin{Prop}
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $] \, -\infty \, ; \, 0 \, [$ et sur $] \, 0 \, ; \, +\infty \, [$
\end{Prop}

Tableau de variations :
\hspace*{2cm} 
   \begin{tabular}{|c|ccc||ccc|}
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & \multicolumn{4}{c}{$0$} & $+\infty$ \\
      \hline
      & $0$ & & & $+\infty$ & & \\
      $f$ & & $\searrow$ & & & $\searrow$ & \\
      & & & $-\infty$ & & & $0$ \\
      \hline
   \end{tabular}

Dans un repère $\Rep$, la courbe représentative de la fonction inverse est une 
\underline{hyperbole} de centre $O$

\smallskip

\begin{Rem}
   Cette hyperbole admet l'origine $O$ du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire
\end{Rem}


\subsection{Fonction cube}%_________________________________________

\begin{Def}
   La fonction définie sur $\R$ par  $f: x \longmapsto x^{3}$ est appelée fonction cube
\end{Def}

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
   La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et impaire

   \vspace*{0.5cm}
   La courbe représentant la fonction cube dans un repère orthogonal est appelée \underline{cubique}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}
   \renewcommand{\arraystretch}{1} 
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\ [7pt]
         \hline
         & & & & & $+\infty$ \\
         & & & & $\nearrow$ & \\
         $f$ & & & $0$ & & \\
         & & $\nearrow$ & & & \\
         & $-\infty$ & & & & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}


\subsection{Fonction racine carrée} %_____________________________________

\begin{Def}
   La fonction définie sur $\R^+ = \Intd{0}{+\infty}$ par  $f: x \longmapsto \sqrt{x}$ est appelée fonction \underline{racine carrée}
\end{Def}

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
   La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\Intd{0}{+\infty}$ 
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|cccc|}
          \hline
          $x$ & $0$ & & & $+\infty$ \\
          \hline
          & & & & $+\infty$ \\
          $f$ & & & $\nearrow$ & \\
          & $0$ & & & \\
          \hline
       \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}


\subsection{Fonction valeur absolue }%________________________________________

\begin{Def}
   La fonction définie sur $\R$ par  $f: x \longmapsto \Abs{x}$ est appelée fonction \underline{valeur absolue}
\end{Def}

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
   La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur $\Intg{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\Intd{0}{+\infty}$

   \vspace*{0.5cm}
   La courbe représentatve de la fonction valeur absolue est une fonction \underline{affine par morceaux}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         & $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
         $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
         & & & $0$ & & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}


\section{Fonction composée} %_________________________________________

\begin{Def}
   Soient $f$ et $g$ deux fonctions, la fonction $h$ qui a $x$ associe $g(f(x))$, est notée $g \circ f$ et est appelé \underline{composée de $f$ suivie de $g$} 
\end{Def}

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=-x+1$, et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$\\
   Déterminer l'image du nombre $3$ par la fonction $h$, composée de $f$ suivie de $g$, puis donner l'expression générale de $h$ en fonction de $x$
   \begin{dinglist}{212}
      \item $3 \stackrel{f}{\longmapsto} f(3)=-3+1=-2 \stackrel{g}{\longmapsto} g(-2)=(-2)^2=4$\\
               Ainsi, on a $h(3)=g(f(3))=4$.\
      \item $x \stackrel{f}{\longmapsto} f(x)=-x+1 \stackrel{g}{\longmapsto} g(-x+1)=(-x+1)^2$\\
               Ainsi, on a $h(x)=g(f(x))=(-x+1)^2$\\
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Rem}
   En général la fonction $f$ suivie de $g$ n'est pas égale à la fonction $g$ suivie de $f$
\end{Rem}

\medskip

\begin{Ex}
   On a vu que la fonction composée de $f$ suivie de $g$ de l'exemple précédent est définie par $g(f(x))=(x-1)^2$\\
   Par contre, la fonction composée de $g$ suivie de $f$ est différente :
   \begin{dinglist}{212}
	   \item $x \stackrel{g}{\longmapsto} g(x)=x^2  \stackrel{f}{\longmapsto} f(x^2)=-x^2+1$
	   \item Ainsi, on a $f(g(x))=-x^2+1$ et on peut constater que $f(g(x))\neq g(f(x)$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
	   \item La composée de deux fonctions croissantes ou décroissantes est croissante
	   \item La composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissantes est décroissante
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\bigskip

\begin{Ex}
   Si on reprend les fonctions $f$ et $g$ précedentes, alors :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Sur $\R^+$, $f$ est décroissante et $g$ est croissante, la composée est donc décroisante. 
      \item Sur $\R^-$, $f$ et $g$ sont toutes deux décroissantes, la composée est donc croisante  
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\end{document}