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\lhead[]{\small $1$^{ère} STI}
\chead[]{\textsc{Ch$06$ : Probabilités}}
\rhead[]{\small {$2006$/$2007$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
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\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      PROBABILITES
   \end{LARGE}}
\end{center}

\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

%\hspace{2cm}

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

%\bigskip

\begin{document}

\section{Introduction} %____________________________________________________

Le but des probabilités est d'essayer de rationaliser le hasard : quelles sont les chances d'obtenir un résultat suite à une expérience aléatoire ?

Quelles chances ai-je d'obtenir "pile" en lançant une pièce de monnaie ? Quelles chances ai-je d'obtenir "$6$" en lançant un dé ? Quelles chances ai-je de valider la grille gagnante du loto ?


\section{Vocabulaire des événements} %____________________________________

\begin{Def}
   Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé \underline{éventualité} liée à l'expérience aléatoire
\end{Def}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Lancer un dé à six faces : "obtenir un $2$" est une éventualité de cette expérience aléatoire
      \item Tirage des six numéros gagnants du Loto : "obtenir la combinaison "$2-5-17-23-36-41$" est une éventualité de cette expérience aléatoire
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   L'ensemble formé par les éventualités est appelé \underline{univers}, il est très souvent noté $\Omega$
\end{Def}

\medskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Lancer d'une pièce de monnaie : $\Omega=\{$pile;face$\}$
      \item Lancer un dé à six faces : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Un \underline{événement} de l'expérience aléatoire est une partie quelconque de l'univers
      \item Un événement ne comprenant qu'une seule éventualité est un \underline{événement élémentaire}
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $A=$ "obtenir un $5$" est un événement élémentaire que l'on peut noter $A=\{5\}$
      \item $B=$ "obtenir un numéro pair" est un événement que l'on peut noter $B=\{2;4;6\}$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item L'événement qui ne contient aucune éventualité est l'\underline{événement impossible}, noté $\varnothing$
      \item L'événement composé de toutes les éventualités est appelé \underline{événement certain}
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Lancer d'un dé à six faces :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Tirage des six numéros gagnants du loto : "obtenir la combinaison $3-25-38-59-67-91$" est un événement impossible (les numéros vont de $1$ à $49$)
      \item Lancer d'un dé à six faces : "obtenir un nombre positif" est un événement certain
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   Pour tout événement $A$ il existe un événement noté $\overline{A}$ et appelé \underline{événement contraire} de $A$, qui est composé des éléments de $\Omega$ qui ne sont pas dans A\\
   On a en particulier $A\cup\overline{A}=\Omega$
\end{Def}

\bigskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Lancer d'une pièce de monnaie : si $A=\{\text{pile}\}$ alors son événement contraire est $\overline{A}=\{\text{face}\}$
      \item Lancer d'un dé à six faces : si $A$ est l'événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$", alors son événement contraire $\overline{A}$ est l'événement "obtenir $5$ ou $6$"
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Intersection et réunion d'événements} %________________________________

\begin{Def}
   Soit $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$
   \begin{dinglist}{228}
      \item \underline{Intersection d'événements} : L'événement constitué des éventualités appartenant à $A$ et à $B$ est noté $A\cap B$ (se lit "$A$ inter $B$" ou "$A$ et $B$")
      \item \underline{Réunion d'événements} : L'événement constitué des éventualités appartenant à $A$ ou à $B$ est noté $A\cup B$ (se lit $A$ et de $B$ ou "$A$ union $B$" ou "$A$ ou $B$")
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
   Si $A\cap B=\varnothing$, on dit que les événements sont \underline{disjoints} ou \underline{incompatibles}
\end{Rem}

\begin{Ex}
   On considère un jeu de $32$ cartes. On note $A$ l'événement "obtenir une carte paire" et $B$ l'événement "obtenir une carte de valeur inférieure strictement à six"
  \begin{dinglist}{212}
  \item $A \cap B=$ "obtenir une carte paire et inférieures strictement à six" : $A \cap B=\{2;4\}$
  \item $A \cup B=$ "obtenir une carte paire ou inférieure strictement à six" : $A \cup B=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}$
  \end{enumerate}
\end{Ex}


\section{Calcul de probabilités} %_________________________________________

\begin{Def}
   La \underline{probabilité} d'un événement d'univers $\Omega$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constitue
\end{Def}

\begin{Def}
   On dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité\\
   Dans ce cas, on a : $P(A)=\dfrac{\textrm{nombre d'éléments de }A}{\textrm{nombre d'éléments de }\Omega}=\dfrac{\textrm{Card}(A)}{\textrm{Card}(\Omega)}$
\end{Def}

\begin{Rem}
  Dans un exercice, pour signifier qu'on est dans une situation d'équiprobabilité on a généralement dans l'énoncé un expression du type :
  \begin{itemize}
     \item on lance un dé \underline{non pipé}
     \item dans une urne, il y a des boules \underline{indiscernables} au toucher
     \item on rencontre au \underline{hasard} une personne parmi \dot
  \end{itemize}
\end{Rem}

\hspace{1cm}

\begin{Ex}
  On lance un dé équilibré à six faces. On considère l'événement $A$ : "obtenir un chiffre pair" et l'événement $B$ : "obtenir un diviseur de six"
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le dé est équilibré donc on est dans une situation d'équiprobabilité
      \item $A=\{2;4;6\}$ et $B=\{1;2;3;6\}$
      \item Donc, $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
      \item et $P(B)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
  Soit $A$ et $B$ deux événements, on a les propriétés suivantes :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $P(\varnothing)=0$
      \item $P(\Omega)=1$
      \item $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)$
      \item $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}
On considère l’ensemble $E$ des entiers de $1$ à $20$. On choisit l’un de ces nombres au hasard\\
$A$ est l’événement : « le nombre est multiple de $3$ »\\
$B$ est l’événement : « le nombre est multiple de $2$ »
   \begin{dinglist}{212}
      \item $P(A)=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}=0,3$
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}=0,7$
      \item $P(B)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0,5$
      \item $P(A \cap B)=\dfrac{3}{20}=0,15$
      \item $P(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\dfrac{6}{20}+\dfrac{10}{20}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{13}{20}=0,65$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Représentation des évenements} %________________________________

\textbf{Diagrammes ou patates}

\begin{pspicture}(15,4)
   \psellipse(3,2)(2,1.2)
   \psellipse(6,2)(2.2,1.4)
   \rput(4.4,2){$A \cap B$}
   \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](12,2)(2,1.2)
   \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](15,2)(2.2,1.4)
   \rput(13.4,2){$A \cup B$}
\end{pspicture}


\textbf{Tableaux}

\begin{minipage}{8cm}
   On jette ceux dé à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu :
\end{minipage}
\hspace{3cm}
\begin{minipage}{5cm}
   \begin{tabular}{|*{5}{C{0.5}|}}
       \hline 
      & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
      \hline
      1 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
      \hline
      2 & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ \\ 
      \hline 
      3 & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ \\ 
      \hline 
      4 & $4$& $8$ & $12$ & $16$ \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{minipage}


\textbf{Arbres}

\begin{minipage}{8cm}
   On lance une pièce de monnaie deux fois, on peut schématiser cette expérience par un arbre :
\end{minipage}
\hspace{3cm}
\begin{minipage}{5cm}
   \pstree[treemode=R]{\Tc*{1mm}}
      {\pstree{\Tr{pile}}
                 {\pstree{\Tr{pile}}
                 \pstree{\Tr{face}}}      
       \pstree{\Tr{face}}
                  {\pstree{\Tr{pile}}
                   \pstree{\Tr{face}}}}
\end{minipage}

\end{document}