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\lhead[]{\small $1$^{ère} STI}
\chead[]{\textsc{Ch$07$ : Dérivation}}
\rhead[]{\small {$2006$/$2007$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
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\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\newframedtheorem{Def}{Définition}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{2} 


\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      DERIVATION
   \end{LARGE}}
\end{center}

\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 
\renewcommand{\arraystretch}{2} 

\hspace{2cm}

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\bigskip

\section{Limite en $0$} %_____________________________


\begin{Def}
   On dit qu'une fonction $f$ a pour \underline{limite} $0$ en $0$ si $\Abs{f(h)}$ se rapproche de $0$ dès que $h$ est assez petit.
$$\text{On note :} \quad \lim_{h\to0}f(h)=0$$
\end{Def}

Les fonctions suivantes ont comme limite $0$ en $0$ :
\begin{multicols}{2}
   $\displaystyle{\lim_{h\to0}h=0}$\\
   $\displaystyle{\lim_{h\to0}h^2=0}$\\
   $\displaystyle{\lim_{h\to0}h^3=0}$\\
   $\displaystyle{\lim_{h\to0}\sqrt{h}=0}$
\end{multicols}

\bigskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\displaystyle{\lim_{h\to0}h+h^2+h^3=0}$
      \item $\displaystyle{\lim_{h\to0}3h^2-4h=0}$
      \item $\displaystyle{\lim_{h\to0}-2h^3+\sqrt{h}-1=-1}$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Approximation affine} %___________________

On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction $f$ au voisinage de $1$ :

\begin{Prop}
Pour $h$ voisin de $0$, on a :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $(1+h)^2 \approx 1+2h$ 
      \item $(1+h)^3 \approx 1+3h$ 
      \item $\dfrac{1}{1+h} \approx 1-h$
      \item $\sqrt{1+h} \approx 1+\dfrac{h}{2}$  
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\textbf{Démonstrations :}
   \begin{itemize}
      \item $(1+h)^2=1+2h+h^2 \approx 1+2h$ quand $h$ tend vers $0$ 
      \item $(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3 \approx 1+3h$ quand $h$ tend vers $0$
      \item $\dfrac{1}{1+h}=1-h+\dfrac{h^2}{1+h} \approx 1-h$ quand $h$ tend vers $0$
   \end{itemize}


\section{Taux de variation} %___________________________

Dans cette partie, $f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $C$ sa courbe représentative dans un repère\\
$a$ et $x$ sont deux réels distincts de $I$

\begin{Def}
   Le \underline{taux de variation} de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ est le quotient :
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
Avec $x=a+h$, ce quotient s'écrit aussi : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
\end{Def}

\bigskip

\begin{Ex}
   Pour $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : \\
   \begin{tabular}{p{0.3cm}l!{=}l}
      & \ding{212} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ & $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}$ \\
      & & $\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}$ \\
      & \ding{212} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ & $2a+h$ \\
   \end{tabular}
\end{Ex}


\section{Nombre dérivé} %_____________________________________

\begin{Def}
   On dit que $f$ est \underline{dérivable} en $a$ et on note cette dérivée $f'(a)$ si la limite suivante existe :
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
\end{Def}

\textbf{Interprétation graphique :}\\
Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ se rapproche de $A$, et la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente à $C$ au point $A$\\
Ainsi, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $a$

\begin{center}
   \begin{pspicture}(-1,-2)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \psplot[linewidth=0.05]{0.55}{5.46}{x x mul -1 mul 6 x mul add -4 add}
      \psdot(1,1)
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \psdot(4,4)
      \rput(4,4.3){$M$}
      \rput(4,-0.6){$a+h$}
      \rput(-1,4){$f(a+h)$}
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue](-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
      \psline[linecolor=red]{<->}(0.5,-1)(2,5)
   \end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
  Pour $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$, calculer le nombre dérivé de $f$ en $3$ puis en $-1$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h$ d'après l'exemple $1$
      \item $f'(a)=\lim_{h\to0}2a+h=2a}$
      \item $f'(2)=2\times 3=6$
      \item $f'(-1)=2\times (-1)=-2$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Fonction dérivée} %_________________________________

\begin{Def}
  Soit $f$ une fonction dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelée \underline{fonction dérivée} de $f$ sur $I$. On la note $f'$
\end{Def}

On obtient le tableau de dérivation suivant :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{3}|c|}
      \hline 
      Fonction $f$ & Fonction $f'$ & Ensemble de définition de $f$ \\ 
      \hline  
      $k$ & $0$ & $\R$ \\ 
      \hline  
      $ax+b$ & $a$ & $\R$ \\ 
      \hline   
      $x^n\;(n \in \Z)$ & $nx^{n-1}$ & $\R$ ou $\R^*$ si $n<0$ \\
      \hline 
      $\dfrac{1}{x}$ & $ -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\ 
      \hline
      $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &$\R_+^*$ \\ 
      \hline 
      $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\R$ \\
      \hline
      $\cos(x)$ & $ -\sin(x)$ & $\R$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center} 

\begin{Ex}
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :\\
   \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
   \begin{tabular}{p{0.5cm}!{\ding{212}}llp{2cm}!{\ding{212}}ll}
      & $f(x)=-2$ & $f'(x)=0$ & & $f(x)=x$ & $f'(x)=1$ \\
      & $f(x)=\pi$ & $f'(x)=0$ & & $f(x)=x^2$ & $f'(x)=2x$ \\
      & $f(x)=3x-2$ & $f'(x)=3$ & & $f(x)=x^3$ & $f'(x)=3x^2$ \\
      & $f(x)=-x+2$ & $f'(x)=-1$ & & $f(x)=x^{2007}$ & $f'(x)=2007x^{2006}$ \\
   \end{tabular}
\end{Ex}


\section{Opérations sur les fonctions dérivables} %___________________________

$u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{5}|C{4}|C{4}|}
      \hline 
      Opération &  Fonction &  Dérivée \\ 
      \hline  
      Addition & $u+v$ & $u'+v'$\\ 
      \hline  
      Multiplication par un nombre & $k\times u$ avec $k\in\R$ & $k\times u'$\\
      \hline  
      Multiplication&  $u\times v$ & $u'\times v+u\times v'$\\
      \hline 
      Carré & $u^2$ & $2\times u \times u'$\\
      \hline 
      Divison & $\dfrac{u}{v}$ & $ \dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2} $\\
      \hline 
      Inverse & $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$\\
      \hline 
      Fonction composée & $f(ax+b)$ & $af'(ax+b)$\\
      \hline 
   \end{tabular}
\end{center} 

\pagebreak

\begin{Ex}
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x)=x^3+x+3$ : On utilise la formule $(u+v)'=u'+v'$ avec $u(x)=x^3$ et $v(x)=x+3$
\\            \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3x^2+1$\\ 

      \item $f(x)=3(x^2+4)$ : on utilise la formule $(ku)'=ku'$ avec $k=3$ et $u(x)=x^2+4$ \\  
              \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=6x$\\

      \item $f(x)=(2x-7)^2$ : on utilise la formule $(u^2)'=2uu'$ avec $u(x)=2x-7$ \\  
              \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=4(2x-7)$\\

      \item $f(x)=(-2x+3)(5x-3)$ : On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=-2x+3$ et $v(x)=5x-3$ \\  
               \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-20x+21$\\

      \item $f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+3}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=3x-4$ et $v(x)=x^2+3$ \\
               \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x+9}{(x^2+3)^2}$\\

      \item $f(x)=\dfrac{1}{-3x+1}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec  $v(x)=-3x+1$ \\
               \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{3}{(-3x+1)^2}$\\

      \item $f(x)=\cos(2x+1)$ : On utilise la formule $[f(ax+b)]'=af'(ax+b)$ avec $f(x)=\cos(x)$ et $ax+b=2x+1$ \\
               \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-2\sin(2x+1)$

   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Equation de la tangente} %__________________________

\begin{Prop}
   Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$\\
La \underline{tangente} $T_a$ en à la courbe $C_f$ en $a$ a pour équation :
$$T_a : y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Soit $f(x)=x^2+2$. Déterminer l'équation de la tangente en $0$ et en $-1$
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=2x$
      \item $f'(0)=0$ donc $T_0 : y=0\times(x-0)+f(0)=2$
      \item $f'(-1)=-2$ donc $T_{-1} : y=-2\times(x+1)+f(-1)=-2x+1$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\end{document}