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\lhead[]{\small $1$^{ère} STI}
\chead[]{\textsc{Ch$09$ : Suites}}
\rhead[]{\small {$2006$/$2007$}}
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\rfoot{\small -\thepage-}
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\def\N{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      SUITES
   \end{LARGE}}
\end{center}

\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\hspace{2cm}

\begin{center}
   $\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\smallskip

\section{Définition et génération d'une suite} %______________________________________

\subsection{Notion de suite numérique} %_____________________________________

Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter "logiquement" une suite de nombres

\bigskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$, \dots
      \item $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, \dots
      \item $-3$, $1$, $5$, $9$, $13$, $17$, $21$, $25$, \dots
      \item $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, $21$, $34$, \dots
   \end{dinglist}
\end{Ex}

En mathématiques, une \textbf{suite} $u$ est une liste ordonnée de nombres réels : les éléments de cette liste sont appelés \textbf{termes} de la suite $u$, et sont tous repérés par leur rang dans la liste; ainsi le premier terme est souvent noté $u_0$, le second $u_1$ et ainsi de suite \dots\\
$u=(\hspace{.5cm}u_0\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_1\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_{n-1}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_n\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_{n+1}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm})$

\begin{Def}
   Une \underline{suite} $u$ est une fonction définie sur $\N$\\
   A chaque entier naturel $n$ on associe un nombre réel $u_n$ de la suite $u=(u_n)_{n\in \N}$ 
\end{Def}

\bigskip

\begin{Ex}
   A chaque entier naturel non nul on associe son inverse
   \begin{dinglist}{212}
      \item $u_1=1$, $u_2=\dfrac{1}{2}$, $u_3=\dfrac{1}{3}$, \dots, $u_n=\dfrac{1}{n}$, \dots (on remarque qu'ici la suite commence à l'indice $1$)
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\subsection{Modes de génération d'une suite} %___________________________

Une suite peut être engendrée de deux manières:

\textbf{Définition explicite} du terme de rang $n$ du type \fbox{$u_n=f(n)$} 

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite définie par $u_n=-5+7n$ pour $n \geqslant0$
   \begin{dinglist}{212}
      \item $u_0=-5+7\times0=-5$
      \item $u_1=-5+7\times1=2$
      \item$u_2=-5+7\times2=9$ 
      \item $u_6=-5+7\times6=37$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\textbf{Définition par récurrence} du type \fbox{$\Syst{u_0 & = & a}{u_{n+1} & = & f(u_n)}$}

Cette relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent.

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par : $\Syst{u_0 & = & 3}{u_{n+1} & = & -2u_n+1}$
   \begin{dinglist}{212}
      \item  $u_1=-2u_0+1=-2\times3+1=-5$
      \item $u_2=-2u_1+1=-2\times(-5)+1=11$
      \item $u_3=-2u_2+1=-2\times11+1=-21$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

L'inconvénient est que des termes "éloignés" du début de la suite sont difficiles d'accès: pour calculer $u_{100}$ il faut, a priori, calculer tous les termes précédents, jusqu'à $u_{99}$ !!


\section{Suites arithmétiques} %______________________________

\subsection{Définition} %_____________________________________

\begin{Def}
   Une suite $(u_n)$ est \underline{arithmétique} s'il existe un réel $r$ appelé \underline{raison} de la suite tel que pour tout $n\geqslant0$ : $$u_{n+1}=u_n+r$$
\end{Def}

Autrement dit, on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$:

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=-2$\\
   La définition de la suite $(u_n)_{n\in \N}$ par récurrence est $\Syst{u_0 & = & 5}{u_{n+1} & = & u_n-2}$
   \begin{dinglist}{212}
      \item $u_1=u_0-2=5-2=3$ 
      \item $u_2=u_1-2=3-2=1$ 
      \item $u_3=u_2-2=1-2=-1$ 
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ est une suite arithmétique de premier terme  $5$ de raison $3$
      \item $12$ ; $10,5$ ; $9$ ; $7,5$ ; $6$ est une suite arithmétique de premier terme $12$ de raison $-1,5$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\textbf{Méthode :} Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il faut montrer que pour tout $n \in \N$ la différence  $u_{n+1}-u_{n}$ est un  réel $r$ constant.

\begin{Ex}
   Les suites $(u_n)_{n\in \N}$ et $(v_n)_{n\in \N}$ suivantes sont-elles arithmétiques : $u_n=3n+1$ et $v_n=n^2+1$ 
   \begin{dinglist}{212}
      \item Les trois premiers termes de la suit $(u_n)$ sont $u_0=1$ ; $u_1=4$ et $u_2=7$\\
              \hspace*{0.2cm} La différence $u_{n+1}-u_n$ semble constante, prouvons le :\\
              \hspace*{0.2cm} $u_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4$\\
              \hspace*{0.2cm} $u_{n+1}-u_n=(3n+4)-(3n+1)=3$\\ 
              \hspace*{0.2cm} La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=1$ de raison $3$
      \item Les trois premiers termes de la suite $(v_n)$ sont $v_0=1$ ; $v_1=2$ et $v_2=5$\\
              \hspace*{0.2cm} La différence $v_{n+1}-v_n$ n'est pas constante. En effet : $v_1-v_0=1$ et $v_2- v_1=3$\\ 
              \hspace*{0.2cm} La suite $(v_n)$ n'est donc pas une suite arithmétique
   \end{dinglist}
\end{Ex} 


\subsection{Calcul du terme de rang $n$} %______________________________

\begin{Prop}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$
   \begin{dinglist}{169}
      \item Pour tout $n\in \N$, on a $u_n=u_0+nr$
      \item Pour tous $n,p\in \N$, on a $u_n=u_p+(n-p)r$
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}  
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=12$ de raison $3$
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le terme de rang $50$ est : $u_{50}=u_0+50\times r=12+50\times 3=162$
   \end{dinglist}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite arithmétique de terme $u_10=2$ de raison $-4$
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le terme de rang $50$ est : $u_{50}=u_10+(50-10)\times r=2+40\times (-4)=-158$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Somme des $n$ premiers termes}

\begin{Prop}
   Somme des $n$ premiers entiers naturels :
   $$S_n=1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$
   Somme de $N$ termes consécutifs d'une suite arithmétique :  
   $$S=\text{nombre de termes}\times\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$$
\end{Prop}

\textbf{Démonstration :}\\
On additionne membre à membre les deux égalités suivantes :\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
   \begin{tabular}{*{15}{c}}
      $1$ & $+$ & $2$ & $+$ & $3$ & $+$ & \dots & $+$ & $n-2$ & $+$ & $n-1$ & $+$ & $n$ & $=$ & $S_n$ \\
      $n$ & $+$ & $n-1$ & $+$ & $n-2$ & $+$ & \dots & $+$ & $3$ & $+$ & $2$ & $+$ & $1$ & $=$ & $S_n$ \\
      \hline
      $(n+1)$ & $+$ & $(n+1)$ & $+$ & $(n+1)$ & $+$ & \dots & $+$ & $(n+1)$ & $+$ & $(n+1)$ & $+$ & $(n+1)$ & $=$ & $2S_n$ \\
   \end{tabular}\\
\renewcommand{\arraystretch}{1} 

Autrement dit, $2S_n=n\times(n+1)$ et donc $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$\\

\begin{Ex}
   Calcul de la somme des $10$ premiers entiers naturels :
   \begin{dinglist}{212}
      \item$S_{10}=1+2+\ldots +9+10=\dfrac{10(10+1)}{2}=55$
   \end{dinglist}
   Soit $(u_n)_n \in \N$ la suite arithmétique de premier terme $u_1=1$ de raison $2$
   \begin{dinglist}{212}
      \item $S_4=u_1+u_2+u_3+u_4=4\times \dfrac{u_1+u_4}{2}$
      \item $u_4=u_1+(4-1)\times  r=1+3\times 2=7$
      \item $S_4=4\times \frac{1+7}{2}=16$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Suites géométriques} %____________________________________

\subsection{Définition} %____________________________________________

\begin{Def}
   Une suite $(u_n)_{n\in \N}$ est \underline{géométrique} s'il existe un réel $q$ non nul appelé \underline{raison} de la suite tel que pour tout $n\geqslant0$ : $$u_{n+1}=q\times u_n$$
\end{Def}

Autrement dit, on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$

\bigskip

\begin{Ex}
   Soit la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ de raison $q=-2$\\ 
   La définition de la suite $(u_n)_{n\in N}$ par récurrence est $\Syst{u_0 & = & 5 }{u_{n+1}&=&-2u_n}$
   \begin{dinglist}{212}
      \item $u_1=-2u_0=-2\times 5 = -10$
      \item $u_2=-2u_1=-2\times (-10) = 20$
      \item $u_3=-2u_2=-2\times 20 = -40$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\bigskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$ est une suite géométrique de premier terme $1$  de raison $2$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\textbf{Méthode :} Pour démontrer qu'une suite est géométrique il faut s'assurer que pour tout $n\in \N$, $u_n \neq 0$ puis montrer que pour tout $n \in \N$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ est un  réel $q$ constant.

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in N}$ la suite définie par $u_n=2\times3^n$
   \begin{dinglist}{212}
      \item pour tout entier naturel $n$, $u_n \neq 0$
      \item $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2\times3^{n+1}}{2\times3^n}=3$
      \item la suite $(u_n)_{n\in \N}$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=2$ de raison $3$    
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Calcul du terme de rang $n$} %____________________________

\begin{Prop}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ de raison $q$
   \begin{dinglist}{169}
      \item Pour tout $n\in \N$, on a $u_n=u_0\times q^n$
      \item Pour tous $n,p\in \N$, on a $u_n=u_p\times q^{n-p}$
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ de raison $q=2$ 
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le terme de rang $5$ est : $u_{5}=u_0\times q^5=3\times 2^5=96$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Somme des $n$ premiers termes} %_________________________

\begin{Prop}
   Somme des $(n+1)$ premières puissances d'un nombre réel :
   $$S=1+q+q^2+ \dots \,+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
   Somme de $(n+1)$ termes consécutifs d'une suite géométrique :
   $$S=\text{premier terme} \times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$$
\end{Prop}

\begin{Ex}
   La somme des $8$ premières puissances de $2$ vaut :
   \begin{dinglist}{212}
      \item$S=1+2+2^2 \ldots +2^8=\dfrac{1-2^{8+1}}{1-2}=511$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\end{document}