\documentclass[11pt,dvips]{article} 
\usepackage{hyperref}
\usepackage[cp1252]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[a4paper,vmargin=1cm,hmargin=1.5cm,includefoot,includehead]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot} 
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{framed}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multicol}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pifont}
\usepackage[framed]{ntheorem}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{tabularx}

\lhead[]{\small BTS DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Nombres complexes}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2010$}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}} 
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}} 
\def\D{{\mathbb D}} 
\def\N{{\mathbb N}} 
\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\shadecolor{lightgray}
\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE}
\newtheorem{Sol}{Solution}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Rep}{(O;\V{u};\V{v})}
\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} 
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} 
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert}
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}



\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{NOMBRES COMPLEXES}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace*{3cm}

Les chemins de la création mathématique sont imprévisibles et résultent parfois d'audacieuses transgressions des règles et savoirs établis.

Le simple fait d'avoir introduit dans les calculs un symbole pour désigner des racines carrées de nombres négatifs a conduit au fil des siècles à élaborer la puissante théorie des nombres complexes.


\pagebreak


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction} %___________

Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, $9$ a pour racines carrées $3$ et $-3$.\\
Par contre, aucun réel négatif n'a de racine carrée (réelle).\\
Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice !


\subsection{Le nombre $i$} %________________

Le \underline{nombre $i$} est un nombre dont le carré vaut $-1$. Ainsi, $i^{2}=-1$.\\
De plus, son opposé $-i$ a aussi pour carré $-1$. En effet : $(-i)^{2}=i^{2}=-1$.\\
Les deux racines de $-1$ sont les deux nombres réels $i$ et $-i$.
  
\underline{Un peu d'histoire :} La notation $i$ fut introduite par \textbf{Euler} en $1777$, puis reprise par \textbf{Gauss} au début du $XIX$ème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien \textbf{Descartes} en $1637$.


\subsection{L'ensemble des nombres complexes} %______________________

On connait déjà $5$ ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s'agit de $\N, \Z, \D, \Q$ et $\R$ :
\begin{center}  
   \psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(14,10)
      % N
      \psframe[linecolor=green](4,4)(8,6)
      \rput(4.4,5.6){\textcolor{green}{$\N$}}
      \rput(5,5){\textcolor{green}{$0$}}
      \rput(6.4,5.5){\textcolor{green}{$1$}}
      \rput(6,4.5){\textcolor{green}{$\sqrt{9}$}}
      \rput(7,5.2){\textcolor{green}{$10^3$}}
      \rput(7.7,4.4){\textcolor{green}{$\frac{6}{3}$}}
      % Z
      \psframe[linecolor=red](3,3)(9.5,7)
      \rput(3.4,6.6){\textcolor{red}{$\Z$}}
      \rput(4.5,6.5){\textcolor{red}{$-1$}}
      \rput(8.5,3.5){\textcolor{red}{$-\sqrt{4}$}}
      \rput(4.1,3.2){\textcolor{red}{$-37$}}
      \rput(8.6,6.4){\textcolor{red}{$-10025$}}
      % D
      \psframe[linecolor=blue](2,2)(11,8)
      \rput(2.4,7.6){\textcolor{blue}{$\D$}}
      \rput(6.5,7.5){\textcolor{blue}{$0.008$}}
      \rput(4.5,2.5){\textcolor{blue}{$-1.2$}}
      \rput(10.1,6.2){\textcolor{blue}{$\frac{3}{25}$}}
      \rput(10.4,3.2){\textcolor{blue}{$\frac{1}{10^6}$}}
      %Q
      \psframe[linecolor=orange](1,1)(12.5,9)
      \rput(1.4,8.6){\textcolor{orange}{$\Q$}}
      \rput(3,8.5){\textcolor{orange}{$0.33\underline{3}$}}
      \rput(11.6,5.2){\textcolor{orange}{$-\frac{13}{19}$}}
      \rput(11,1.5){\textcolor{orange}{$\frac{1}{6}$}}
      \rput(4,1.5){\textcolor{orange}{$\sqrt{\frac{4}{9}}$}}
      % R
      \psframe(0,0)(14,10)
      \rput(0.4,9.6){$\R$}
      \rput(4.5,9.6){$\pi$}
      \rput(9.5,9.4){$1236\pi$}
      \rput(1.1,0.5){$\sqrt{2}$}
      \rput(13,4.2){$-\frac{2\pi}{3}$}
   \end{pspicture}
\end{center}     

\begin{Def}
   On  définit l'ensemble $\C$ qui a les caractéristiques suivantes :
   \begin{dinglist}{228}
         \item Ses éléments sont appelés \underline{nombres complexes},
         \item Il contient le nombre $i$ vérifiant \underline{$i^2=-1$}.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Rem}
   $\C$ est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : $\N \subset \Z \subset \D \subset \Q \subset \R \subset \C$.
\end{Rem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Forme algébrique} %______________________________________

\subsection{Définition} %_______________________________________

\begin{Def}
   Chaque élément $z$ de l'ensemble $\C$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$, $a$ et $b$ étant des réels.
   \begin{dinglist}{228}
      \item $a$ est appelé \underline{partie réelle} de $z$ et est noté \underline{$\Ree(z)$},
      \item $b$ est appelé \underline{partie imaginaire} de $z$ et est noté \underline{$\Ima(z)$}.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
   \textbf{Nombres particuliers :}
   \begin{itemize}
      \item si $b=0$, on a $z=a$, $z$ est donc réel,
      \item si $a=0$, on a $z=ib$, on dit que $z$ est un \underline{imaginaire pur}.
   \end{itemize}
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire :\\
   \begin{tabular}{p{0.35cm}!{\ding{212}}lp{2cm}p{2cm}l}
      & $z=2+3i$ & & $a=2$ & $b=3$ \\
      & $z=-1+\frac{1}{2}i$ & & $a=-1$ & $b=\frac{1}{2}$ \\
      & $z=-i$ & & $a=0$ & $b=-1$ \\
      & $z=\pi$ & & $a=\pi$ & $b=0$ \\
      & $z=4i-\frac{1}{3}$ & & $a=-\frac{1}{3}$ & $b=4$. \\
   \end{tabular}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :
   $$z=z' \quad \Leftrightarrow \quad a+ib=a'+ib' \quad \Leftrightarrow \quad  a=a' \text{ et } b=b'.$$
\end{Prop}


\subsection{Premiers calculs} %_____________

\begin{Prop}
   On pose $z=a+ib$, $z'=a'+ib'$ et $k$ un réel, on a :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $z+z'=(a+a')+i(b+b')$,
      \item $z-z'=(a-a')+i(b-b')$,
      \item $kz=ka+ikb$,
      \item $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\textbf{Démonstration de la dernière propriété :}\\
\begin{tabular}{l!{$=$}l}
   $zz'$ & $(a+ib)(a'+ib')$ \\
           & $aa'+iab'+ia'b+i^{2}bb'$ \\
           & $aa'+iab'+ia'b-bb'$ \\
           & $(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$. \\
\end{tabular}

\bigskip

\begin{Ex}
   Soit $z = 2 + 3i$ et $z' =  i - 5$, on a :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $z+z'=2+3i+i-5=-3+4i$,
      \item $z-z'=2+3i-(i-5)=2+3i-i+5=7+2i$,
      \item $2z-3z'=2(2+3i)-3(i-5)=4+6i-3i+15=19+3i$,
      \item $zz'=(2+3i)(i-5)=2i-10+3i^2-15i=2i-10-3-15i=-13-13i$,
      \item $z^{2}=(2+3i)^{2}=2^{2}+2\times2\times3i+(3i)^{2}=4+12i+9i^{2}=4+12i-9=-5+12i$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Représentation graphique} %_____________

\begin{Def}
   On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct $\Rep$.
   \begin{dinglist}{228}
      \item Au point $M$ de coordonnées $(a ; b)$ on peut associer le nombre complexe $z = a + ib$, \\ 
              \hspace*{0.2cm} On dit que $z = a +i b$  est l'\underline{affixe} du point $M$.
      \item Au vecteur $\V{w}$ de coordonnées $(a ; b)$ on peut associer le nombre complexe $z = a + ib$, \\
              \hspace*{0.2cm} On dit que $z = a + ib$  est l'\underline{affixe} du vecteur $\V{w}$.
      \item Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son \underline{affixe} dans un repère orthonormal direct,\\
              \hspace*{0.2cm} on dit qu'on se place dans le \underline{plan complexe}.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{center}
   \psset{unit=1.5cm} 
   \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
      \psaxes{->}(0,0)(1,1)
      \psline[linewidth=0.05]{->}(0,0)(3,2)
      \psline(-0.5,0)(3.5,0)
      \psline(0,-0.5)(0,2.5)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,0)(3,2)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,2)(3,2)
      \rput(-0.3,-0.3){$0$}
      \rput(0.5,-0.3){$\V{u}$}
      \rput(-0.3,0.5){$\V{v}$}
      \rput(1.6,0.7){$\V{w}$}
      \rput(4,2){$M(z=a+ib)$}
      \rput(3,-0.3){\textcolor{red}{$a$}}
      \rput(-0.3,2){\textcolor{blue}{$b$}}
      \psdot(3,2)
   \end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{Ex}
   On place dans le plan complexe les points $M_i$ d'affixes $z_i$ :

   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{dinglist}{212}
         \item $z_1=2+3i$
         \item $z_2=3+i$
         \item $z_3=-1+2i$ 
         \item $z_4=2-i$  
         \item $z_5=i$     
         \item $z_6=-2i$     
         \item $z_7=-2$ 
         \item $z_8=-i-3$   
      \end{dinglist}
   \end{minipage}
   \begin{minipage}{10cm}
      \begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,3)
         \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-2)(4,3)
         \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-4,-2)(4,3)
         \pstGeonode[linecolor=red, PosAngle=45](2,3){M_1}(3,1){M_2}(-1,2){M_3}(2,-1){M_4}(0,1){M_5}(0,-2){M_6}(-2,0){M_7}(-3,-1){M_8}
         \pstGeonode[PosAngle={-135,-90,180}]{0}(1,0){1}(0,1){i}
      \end{pspicture}
   \end{minipage}
\end{Ex}  

\pagebreak

\begin{Prop}
   Si $M$ a pour affixe  $z = a + ib$  et  si $M'$ a pour affixe  $z' = a' + ib'$, alors :  
   \begin{dinglist}{169}
      \item Le vecteur $\V{MM'}$ a pour affixe $z'-z=(a'-a)+i(b'-b)$,
      \item $||\V{OM}|| = \sqrt{a^2+b^2}$,
      \item $||\V{MM'}|| = \sqrt{(a'-a)^2+(b'-b)^2}$,
      \item Le milieu $I$ de $[MM']$ a pour affixe  $z_I = \dfrac{z + z'}{2}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}


\subsection{Conjugué d'un complexe} %__________________

\begin{Def}
   On appelle \underline{conjugué} du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $\overline{z}=a-ib$.
\end{Def}

Géométriquement, si $M_1$  est le point d'affixe $z$, le point  $M_2$  d'affixe $\overline{z}$ est le symétrique de $M_1$ par rapport à l'axe des abscisses.

\begin{center}
   \psset{unit=0.9} 
   \begin{pspicture}(-3.7,-2.7)(3.7,1.7)
      \psaxes{->}(0,0)(1,1)
      \psline[linewidth=0.05]{->}(-3,-2)(3,2)
      \psline[linewidth=0.05]{->}(3,-2)(-3,2)
      \psline(-3.5,0)(3.5,0)
      \psline(0,-2.5)(0,2.5)
      \pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2)
      \rput(-0.15,-0.3){$0$}
      \rput(0.72,-0.25){$\V{u}$}
      \rput(-0.3,0.5){$\V{v}$}
      \rput(3.5,2.3){$M_1(z)$}
      \rput(3.5,-2.3){$M_2(\overline{z})$}
      \rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$}
      \rput(-3.5,2.3){$M_4(-\overline{z})$}
      \rput(3.2,0.2){\Large{$\textcolor{red}{a}$}}
      \rput(0.2,2.2){\Large{$\textcolor{blue}{b}$}}
      \rput(-3.4,0.2){\Large{$\textcolor{red}{-a}$}}
      \rput(0.3,-2.2){\Large{$\textcolor{blue}{-b}$}}
   \end{pspicture} 
\end{center}

\begin{Ex}
   Soit  $z=3+5i$ et $z'=-2+3i$, on a :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $z+z'=(3+5i)+(-2+3i)=1+8i$, \\
              \hspace*{0.2cm} $z \times z'=(3+5i)\times(-2+3i)=-6+9i-10i+15i^2 =-6-i-15=-21-i$.
      \item $\overline{z}=3-5i$, \\
              \hspace*{0.2cm} $\overline{z'}=-2-3i$.
      \item $\overline{z}+\overline{z'}=(3-5i)+(-2-3i)=1-8i$, \\
              \hspace*{0.2cm} $\overline{z+z'}=1-8i$.
      \item $\overline{z} \times \overline{z'}=(3-5i)\times(-2-3i)=-6-9i+10i+15i^2=-6+i-15=-21+i$, \\
              \hspace*{0.2cm} $\overline{z \times z'}=-21+i$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes, alors :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
      \item $\overline{z \times z'}=\overline{z}\ \times \overline{z'}$.
      \item $\overline{\overline{z}}=z$.
      \item $z \in \R \Longleftrightarrow z=\overline{z}$. \hspace{3.7cm} \ding{169} $z \in i \R \Longleftrightarrow z=-\overline{z}$.
      \item $\Ree(z)=\dfrac{1}{2}(z+\overline{z})$. \hspace{3.55cm} \ding{169} $\Ima(z)=\dfrac{1}{2i}(z-\overline{z})$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}


\subsection{Inverse d'un complexe} %______________

Soit $z=a+ib$, on a : $z \overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$ qui est un nombre réel.

Ainsi, on a : 
$$\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z \overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{a^2+b^2}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}.$$

\begin{Ex}
   Calculs d'inverses:
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$.
      \item $\dfrac{1}{2-3i}=\dfrac{2+3i}{(2-3i)(2+3i)}=\dfrac{2+3i}{13}=\dfrac{2}{13}+\dfrac{3}{13}i$.
      \item $\dfrac{2}{i}=\dfrac{2 \times -i}{i \times -i}=\dfrac{-2i}{1}=-2i$.
      \item $\dfrac{2+i}{-3+i}=\dfrac{(2+i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)}=\dfrac{-6-2i-3i+1}{10}=\dfrac{-5-5i}{10}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes, alors :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$. \hspace{5cm} \ding{169} $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z}'}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}


\section{Forme trigonométrique} %_____________________

\subsection{Module d'un nombre complexe}

\begin{Def}
   Le \underline{module} du complexe  $z$ est le réel positif noté $\Abs{z}$ tel que $\Abs{z}=\sqrt{z\ \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$.
\end{Def}

\begin{Rem}
   Si $a$ est un réel, $\Abs{a}=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\sqrt{a \,a}=\sqrt{a^2}$ car $\overline{a}=a$. \\
   La notion de module dans $\C$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\R$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul du module de nombres complexes :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Abs{3+4i}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
      \item $\Abs{1-i}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.
      \item $\Abs{-5-2i}=\sqrt{(-5)^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$.
      \item $\Abs{-5}=5$.
      \item $\Abs{9i}=\sqrt{0^2+9^2}=\sqrt{81}=9$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
  \begin{dinglist}{169}
      \item $\Abs{z}=0 \Leftrightarrow z=0$.
      \item $\Abs{-z}=\Abs{\overline{z}}=\Abs{z}$.
      \item $\Abs{z \times z'}=\Abs{z} \times \Abs{z'}$.
      \item $\Abs{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{1}{\Abs{z}}$.
      \item $\Abs{\dfrac{z}{z'}}=\dfrac{\Abs{z}}{\Abs{z'}}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}


\subsection{Argument d'un complexe non nul} %_________________________

\begin{Def}
   Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul et $M$ le point d'affixe $z$ :
   \begin{dinglist}{228}
      \item On appelle \underline{argument} de $z$ tout nombre réel $\theta$ tel que   $\theta=(\V{u},\V{OM}) [\;2\pi]$,
      \item On note $\theta= \arg(z)$,
      \item $\theta$ vérifie : $\Syst{\cos \theta & = & \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},}{\sin \theta & = & \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.}$
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Ex}
   Calcul d'un argument de nombres complexes :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $z_1=2+2i$ : $\Syst{ \cos \theta & = \dfrac{2}{\sqrt{2^2+2^2}} & = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} & = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sin \theta & =\dfrac{2}{\sqrt{2^2+2^2}} & = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} & = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \qquad \quad \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4} \qquad \Rightarrow \arg(2+2i)=\dfrac{\pi}{4}$.\\
      \vspace{0.5cm}
      \item $z_2=1+i\sqrt{3}$ : $\Syst{\cos \theta & = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}} & = \dfrac{1}{\sqrt{4}} & = \dfrac{1}{2}}{\sin \theta & =\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}} & = \dfrac{2}{\sqrt{4}} & = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \qquad \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{3} \qquad \Rightarrow \arg(1+\sqrt{3}i)=\dfrac{\pi}{3}.$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   Propriétés algébriques des arguments :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$.
      \item $\arg(\dfrac{1}{z})=\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$.
      \item $\arg (\dfrac{z}{z'})=\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$.
  \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   D'après l'exemple précédent, on obtient :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12}$.  
      \item $\arg\left(\dfrac{1}{z_1}\right)=-\arg{z_1}=-\dfrac{\pi}{4}$.
      \item $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg{z_1}-\arg{z_2}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{12}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Écriture trigonométrique} %___________

On se place dans un plan muni du repère $\Rep$.

\begin{Def}
   Tout nombre complexe non nul $z$ peut-être écrit sous la forme $z = r(\cos \theta + i  \sin \theta)$  avec :
   \begin{dinglist}{228}
      \item $\arg(z)=\theta \in \R$ est l'argument de $z$
      \item $\Abs{z}=r \in \R^+_*$ est le module de $z$
   \end{dinglist}
   cette écriture s'appelle la \underline{forme trigonométrique} de $z$.
\end{Def}

\begin{center}
   \psset{unit=1.5cm} 
   \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.5,2.3)
      \psaxes{->}(0,0)(1,1)
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
      \psline(-0.5,0)(3.5,0)
      \psline(0,-0.5)(0,2.5)
      \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
      \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
      \rput(-0.2,-0.2){$0$}
      \rput(0.5,-0.2){$\V{u}$}
      \rput(-0.2,0.5){$\V{v}$}
      \rput(2.3,1){$\textcolor{blue}{r=\sqrt{a^2+b^2}}$}
      \psarc[linecolor=red,linewidth=0.05]{->}(0,0){1}{0}{35}
      \rput(3.2,2.2){$M(z)$}
      \rput(1.1,0.3){$\textcolor{red}{\theta}$}   
      \rput(3,-0.2){$a=r\cos \theta$}
      \rput(-0.6,2){$b=r\sin \theta$}
   \end{pspicture} 
\end{center}

Pour trouver la forme trigonométrique d'un nombre $z$, il faut donc calculer successivement le module et l'argument de $z$.

\smallskip

\begin{Ex}
   Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $z_1=1-i$ : $\left \{ 
         \begin{array}{lcr}
            \Abs{1+i} & = & \sqrt{2} \\
            \cos \theta & = & \dfrac{\sqrt2}{2} \\ 
            \sin \theta & = & -\dfrac{\sqrt2}{2}
          \end{array} \right
      \qquad \Rightarrow r=\sqrt{2}$ et $\theta = -\dfrac{\pi}{4} 
      \qquad \Rightarrow 1-i=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]$.
      \item $z_2=\sqrt{3}+i$ : $\left \{ 
         \begin{array}{lcr}
            \Abs{\sqrt{3}+i} & = & 2 \\
            \cos \theta & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 
            \sin \theta & = & \dfrac{1}{2}
          \end{array} \right
      \qquad \Rightarrow r=2$ et $\theta = \dfrac{\pi}{6}
      \qquad \Rightarrow \sqrt{3}+i=2\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right]$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Rem}
   Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométrique se "voit" :
   \begin{itemize}
      \item $1=\cos 0+i\sin 0$  donc $|1|=1$ et $\arg(1)=0$.
      \item $i=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ donc $|i|=1$ et $\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}$.
   \end{itemize}
\end{Rem}


\section{Forme exponentielle} %____________________________

\subsection{Définitions}%____________________________

\begin{Def}
   Pour tout nombre réel $\theta$, on pose : \qquad $\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$.
\end{Def}

\begin{Rem}
   \begin{itemize}
      \item Il existe une fonction appelée fonction exponentielle $x \longmapsto e^x$ de $\R$ dans $\R$. Mais ici, $i\theta$ est un nombre complexe et la fonction $\theta \longmapsto e^{i\theta}$ n'est pas au programme de terminale.
      \item $e^1=e$ est un nombre qui a pour valeur approchée $2,718$.
   \end{itemize}
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Def}
   Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul de module $r=\Abs{z}$ et dont un argument est $\theta=arg(z)$.\\
   On note ce nombre $z$ sous la forme $z=r\,e^{i\theta}$.\\
   Cette écriture est appelée \underline{notation exponentielle de $z$}.
\end{Def}

\begin{Rem}
   On a alors $z=r\,e^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cos\theta+ir\sin\theta=a+ib$..
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Différentes écritures des nombres complexes $z_1$ et $z_2$ :\\
   \renewcommand{\arraystretch}{3.5}
   \begin{tabular}{|C{5}|C{5}|C{5}|}
      \hline
      Forme algébrique & Forme trigonométrique & Forme exponentielle \\ 
      \hline
      $1-i$ & $\sqrt{2}\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]$ & $\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}$ \\ 
      \hline
      $\sqrt3+i$ & $2\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right]$ & $2\,e^{i\frac{\pi}{6}}$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   Passage de la forme exponentielle à la forme algébrique de $z=4\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $z=4\left[\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]$
      \item $z=4\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$
      \item $z=-2\sqrt2+2i\sqrt2$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}



\subsection{Règles de calcul en notation exponentielle}%____

\begin{Rem}
   Pour les calculs du type "somme" ou "différence", on utilisera la forme algébrique.\\
   On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
\end{Rem}

\begin{Prop}
   Pour tous $\theta,\theta'\in \R$, tous $r,r' \in\R^+_*$, tout $n\in\N$ :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $r\,e^{i\theta}\times r'\,e^{i\theta'}=rr'\,e^{i(\theta+\theta')}$.
      \item $\left(r\,e^{i\theta}\right)^n=r^n\,e^{i n\theta}$.
      \item $\dfrac{r\,e^{i\theta}}{r'\,e^{i\theta'}}=\dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta-\theta')}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $z_1=2\,e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2=2\sqrt3\,e^{i\frac{\pi}{6}}$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $z_1 z_2=2\times2\sqrt3\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)}=4\sqrt3\,e^{i\frac{\pi}{2}}$.
      \item $z_2^4=\left(2\sqrt3\right)^4\,e^{i4\frac{\pi}{6}}=144\,e^{\frac{2i\pi}{3}}$.
      \item $\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac{2\sqrt3}{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=2\,e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Formules de MOIVRE et d'EULER}%______

\subsection{Formule de MOIVRE}%_______________________

\begin{Prop}
   Pour tout $\theta\in\R$ et tout $n\in\N$ : $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.
\end{Prop}

\textbf{Un peu d'histoire} : Abraham de MOIVRE 1667-1754 est un mathématicien britannique d'origine française.

\medskip

\begin{Ex}
   Factorisation de $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item On a d'une part : $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^2=\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)$ \, d'après la formule de MOIVRE,
      \item et d'autre part : $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^2=\cos^2\theta+2i\cos\theta\sin\theta-\sin^2\theta$ \, par développement,
      \item d'où : $\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta$
      \item et $\sin(2\theta)=2\cos\theta\sin\theta$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\subsection{Formules d'EULER}%_________________

\begin{Prop}
   Pour tout $\theta\in\R$ : \quad $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ \quad et \quad $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
\end{Prop}

\textbf{Un peu d'histoire} : Leonhard EULER ($1717-1783$) était un mathématicien et physicien suisse.

\medskip

\begin{Ex}
   Linéarisation de $\sin^2 x$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\sin^2 x=\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2=\dfrac{e^{2ix}-2\,e^{ix}\,e^{-ix}+e^{-2ix}}{-4}=\dfrac{-2+e^{2ix}+e^{-2ix}}{-4}=
\dfrac12\left(1-\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}\right)$,
      \item donc : $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\section{Lignes de niveau}%______________________________

\begin{Def}
   Dans un repère orthonormal $\Rep$, la \underline{ligne de niveau $k$} d'une fonction $f$ est l'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $f(z)=k$.
\end{Def}

Les principales lignes de niveau dans $\C$ sont : \\
\begin{itemize}
   \item La ligne de niveau $k$ de la fonction \fbox{$z\longmapsto \Ree(z)$} est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ dont la partie réelle est $k$, c'est à dire la droite d'équation $x=k$. \\
   \item La ligne de niveau $k$ de la fonction \fbox{$z\longmapsto \Ima(z)$} est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ dont la partie imaginaire  est $k$, c'est à dire la droite d'équation $y=k$. \\
   \item La ligne de niveau $k$ (positif) de la fonction \fbox{$z\longmapsto |z-a|$} est le cercle de centre $A$ d'affixe $a$ et de rayon $k$. \\
   \item La ligne de niveau $k$ de la fonction  \fbox{$z\longmapsto\arg (z-a)$} est la demi-droite d'origine $A$ d'affixe $a$ d'angle $k$ par rapport à $(O,\V{u})$.
\end{itemize}

\vspace{1cm}

\begin{Ex}
On construit les lignes de niveau suivantes :
\begin{itemize}
   \item En bleu, la ligne de niveau $2$ de la fonction $\Ree(z)$.
   \item En orange, la ligne de niveau $-4$ de la fonction $\Ima(z)$
   \item En vert, la ligne de niveau $3$ de la fonction $\abs{z}$.
   \item En rouge, la ligne de niveau $\frac\pi4$ de la fonction $\arg(z)$.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
   \psaxes{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
   \psline[linecolor=blue](2,-5)(2,5)
   \psline[linecolor=orange](-5,-4)(5,-4)
   \psline[linecolor=red](0,0)(5,5)
   \pscircle[linecolor=green]{3}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{Ex}


\section{Équations du second degré}%___________

\begin{Prop}
   Soit $az^2+bz+c=0$ une équation du second degré où $a;b;c\in\R$ avec $a\not =0$.\\
   On pose $\Delta=b^2-4ac$.
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si $\Delta>0$, l'équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes :
      $$z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \mbox{ et } \quad z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
      \item Si $\Delta=0$, l'équation du second degré admet une unique solution réelle :
      $$z_0=\dfrac{-b}{2a}.$$
      \item Si $\Delta<0$, l'équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées :
      $$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \mbox{ et } \quad z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$$
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Résolution dans $\C$ de $z^2-2z+2=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Delta=b^2-4ac=-4=(2i)^2$.
      \item Le discriminant étant négatif, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
      \item $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i$ \qquad et \qquad $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{2-2i}{2}=1-i$. \\
   \end{dinglist}
   
   Résolution dans $\C$ de $z^2+6z+9=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Delta=b^2-4ac=0$.
      \item Le discriminant étant nul, l'équation admet une solution double :
      \item $z_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2}=-3$. \\
   \end{dinglist}
   
Résolution dans $\C$ de $z^2+2z-3=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Delta=b^2-4ac=16=4^2$.
      \item Le discriminant étant positif, l'équation admet deux solutions réelles :
      \item $z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+4}{2}=1$ \qquad et \qquad $z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-4}{2}=-3$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\end{document}