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\lhead[]{\small BTS DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Probabilités}}
\rhead[]{\small {$2008$/$2010$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
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\def\R{{\mathbb R}}
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\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
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\newtheorem{Sol}{Solution}

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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{PROBABILIT\'ES}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace*{4cm}

On fait remonter à la correspondance de $1964$ entre Pascal et Fermat, sur un problème de jeu de hasard, l'acte de naissance du calcul des probabilités.

Après trois siècles de recherche, le calcul des probabilités a pu fournir, au début du $XX^{e}$ siècle, les bases théoriques nécessaires au développement de la statistique et a investi de très nombreux domaines de la vie scientifique, économique et sociale.


\pagebreak

Le but des probabilités est d'essayer de rationaliser le hasard : quelles sont les chances d'obtenir un résultat suite à une expérience aléatoire ?\\
Quelles chances ai-je d'obtenir "pile" en lançant une pièce de monnaie ? Quelles chances ai-je d'obtenir "$6$" en lançant un dé ? Quelles chances ai-je de valider la grille gagnante du loto ?


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Vocabulaire des événements} %___________

\subsection{Vocabulaire}%_______________________________________________________________

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé \underline{éventualité} liée à \\ \hspace*{0.3cm} l'expérience aléatoire.
      \item L'ensemble formé par les éventualités est appelé \underline{univers}, il est très souvent noté $\Omega$.
      \item Un \underline{événement} d'une expérience aléatoire est une partie quelconque de l'univers,
      \item Un événement ne comprenant qu'une seule éventualité est un \underline{événement élémentaire}.
      \item L'événement qui ne contient aucune éventualité est l'\underline{événement impossible}, noté $\varnothing$,
      \item L'événement composé de toutes les éventualités est appelé \underline{événement certain}.
      \item Pour tout événement $A$ il existe un événement noté $\overline{A}$ et appelé \underline{événement contraire} de $A$ \\ \hspace*{0.3cm} qui est composé des éléments de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.\\
   \hspace*{0.3cm} On a en particulier $A\cup\overline{A}=\Omega$ et $A\cap\overline{A}=\varnothing$.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Lancer d'un dé à six faces :
   \begin{dinglist}{212}
      \item "obtenir $2$" est une éventualité de cette expérience aléatoire.
      \item Univers : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
      \item $A=$ "obtenir un $5$" est un événement élémentaire que l'on peut noter $A=\{5\}$,
      \item $B=$ "obtenir un numéro pair" est un événement que l'on peut noter $B=\{2;4;6\}$.
      \item "obtenir $7$" est un événement impossible,
      \item "obtenir un nombre positif" est un événement certain.
      \item $\overline{B}=$ "obtenir un nombre impair" est l'événement contraire de $A$,
   \end{dinglist}
\end{Ex}

Dans toute la suite du cours, on suppose que $\Omega$ est l'univers associé à une expérience aléatoire, et $A$ et $B$ deux événements associés à cet univers.

\subsection{Intersection et réunion d'événements} %_______

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item \underline{Intersection d'événements} : événement constitué des éventualités appartenant à $A$ et à $B$ noté $A\cap B$ (se lit "$A$ inter $B$" ou "$A$ et $B$"),
      \item \underline{Réunion d'événements} : événement constitué des éventualités appartenant à $A$ ou à $B$ noté $A\cup B$ (se lit "$A$ union $B$" ou "$A$ ou $B$").
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
   Si $A\cap B=\varnothing$, on dit que les événements sont \underline{disjoints} ou \underline{incompatibles}.
\end{Rem}

\begin{Ex}
   On considère l'ensemble des chiffres.\\
   On note $A$ l'événement "obtenir un chiffre pair" et $B$ l'événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six"
  \begin{dinglist}{212}
     \item $A \cap B=$ "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : $A \cap B=\{2;4\}$,
     \item $A \cup B=$ "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : $A \cup B=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}$.
  \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Représentation des évenements} %____________

\textbf{Diagrammes ou patates}

\begin{pspicture}(15,4)
   \psellipse(3,2)(2,1.2)
   \psellipse(6,2)(2.2,1.4)
   \rput(4.4,2){$A \cap B$}
   \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](12,2)(2,1.2)
   \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](15,2)(2.2,1.4)
   \rput(13.4,2){$A \cup B$}
\end{pspicture}


\textbf{Tableaux}

On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu :

\begin{center}
   \begin{tabular}{|*{5}{C{0.5}|}}
      \hline 
      & \textbf{1} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} \\ 
      \hline
      \textbf{1} & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
      \hline
      \textbf{2} & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ \\ 
      \hline 
      \textbf{3} & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ \\ 
      \hline 
      \textbf{4} & $4$& $8$ & $12$ & $16$ \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\textbf{Arbres}

On lance une pièce de monnaie trois fois se suite, on peut schématiser cette expérience par un arbre :

\begin{center}
   \psset{levelsep=3cm,nodesep=1mm}
   \pstree[treemode=R]{{\Tc*{1mm}}}
     {\pstree{\Tr{pile}}
        {
         \pstree{\Tr{pile}}
            {\Tr{pile} \Tr{face}} 
         \pstree{\Tr{face}}
            {\Tr{pile} \Tr{face}} 
        }
     \pstree{\Tr{face}}
        {
         \pstree{\Tr{pile}}
            {\Tr{pile} \Tr{face}} 
         \pstree{\Tr{face}}
            {\Tr{pile} \Tr{face}} 
        }}
\end{center}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Calcul de probabilités} %_______

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item La \underline{probabilité} d'un événement d'univers $\Omega$ est la somme des probabilités des événements \\ \hspace*{0.3cm} élémentaires qui le constitue.
      \item On dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. \\
   \hspace*{0.3cm} Dans ce cas, on a : $P(A)=\dfrac{\textrm{nombre d'éléments de }A}{\textrm{nombre d'éléments de }\Omega}=\dfrac{\textrm{Card}(A)}{\textrm{Card}(\Omega)}$.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
  Dans un exercice, pour signifier qu'on est dans une situation d'équiprobabilité on a généralement dans l'énoncé un expression du type :
  \begin{itemize}
     \item on lance un dé \underline{non pipé},
     \item dans une urne, il y a des boules \underline{indiscernables} au toucher,
     \item on rencontre au \underline{hasard} une personne parmi \dots
  \end{itemize}
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Prop}
  Soit $A$ et $B$ deux événements, on a les propriétés suivantes :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $P(\varnothing)=0$.
      \item $P(\Omega)=1$.
      \item $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)$.
      \item $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère l'ensemble $E$ des entiers de $1$ à $20$. On choisit l'un de ces nombres au hasard. \\
   $A$ est l'événement : « le nombre est multiple de $3$ » :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $A=\{3;6;9;12;15;18\}$,
   \end{dinglist}
   $B$ est l'événement : « le nombre est multiple de $2$ » :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $B=\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\}$,
   \end{dinglist}
   
   Calul des probabilités :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $P(A)=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}=0,3$.
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}=0,7$.
      \item $P(B)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0,5$.
      \item $P(A \cap B)=\dfrac{3}{20}=0,15$.
      \item $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{6}{20}+\dfrac{10}{20}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{13}{20}=0,65$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Probabilités conditionnelles}%__________________

\subsection{Définition}%_________________________________

\begin{Def}
   On suppose que $P(B)\neq 0$.
   \begin{dinglist}{228}
      \item On appelle \underline{probabilité conditionnelle de $A$ relativement à $B$} ou \underline{de $A$ sachant $B$} la probabilité que \\ \hspace*{0.3cm} l'événement $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé.
      \item Cette probabilité vaut $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
   \end{dinglist}   
\end{Def}

\smallskip

\begin{Rem}
   On trouve aussi la notation $P(A/B)$ pour $P_B(A)$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à $6$ faces, équilibré. On suppose que toutes les faces sont équiprobables, et on définit les événements :
   \begin{itemize}
      \item $B$ : "la face obtenue porte un numéro pair" ;
      \item $A$ : "la face obtenue porte un numéro multiple de $3$".
   \end{itemize}
Déterminons la probabilité d'obtenir un numéro multiple de $3$, sachant qu'on a un numéro pair de deux manières différentes.
   \begin{dinglist}{212}
      \item L'événement $(A/B)$ correspond à l'événement "obtenir un numéro multiple de 3" parmi les éventualités de $B$, autrement dit parmi $\{ 2;4;6 \}$. Il n'y a donc que l'issue "obtenir $6$" qui correspond.\\
      Et comme on est en situation d'équiprobabilité, on obtient $P_B(A)=\dfrac{1}{3}$.
      \item Par le calul, on a $P(B)=\dfrac{3}{6}$ et $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$ donc, d'après la formule : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Propriétés}%_______________________________________________________________

\begin{Prop}
   Pour tous événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle, on a : $$P(A\cap B)=P(B)P_B(A)=P(A)P_A(B).$$ 
\end{Prop}

\underline{Démonstration :} Pour $P(B)\neq 0$ et $P(A)\neq 0$, on peut écrire : \\
\begin{itemize}
   \item $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ d'où $P(A\cap B)=P(B)P_B(A).$
   \item $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ d'où $P(A\cap B)=P(A)P_A(B).$
\end{itemize}

\pagebreak

\begin{Prop}
   Soit $S$ un événement de probabilité non nulle, on a :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $0\leq P_S(A)\leq 1$ ;
      \item $P_S(\Omega)=1$ ;
      \item $P_S(\varnothing)=0$ ;
      \item $P_S(\bar{A})=1-P_S(A)$ ;
      \item $P_S(A\cup B)=P_S(A)+P_S(B) - P_S(A\cap B)$ ;
      \item Si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles, alors $P_S(A\cup B)=P_S(A)+P_S(B)$ ;
      \item $P_S(\overline{A} \cap \overline{B})=P_S(\overline{A \cup B})=1-P_S(A\cup B)$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   Ce théroème revient à dire qu'une probabilité conditionnelle relative à un événement $S$ a toutes les propriétés habituelles du calcul des probabilités.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Prop}[Formule des probabilités totales]
   Pour tous $A$ et $B$ de probabilité non nulle : $$P(A)=P_B(A)P(B)+P_{\overline{B}}(A)P(\overline{B}).$$
\end{Prop}

\underline{Démonstration :} \\
$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})=P_B(A)P(B)+P_{\overline{B}}(A)P(\overline{B})$.

\subsection{Exemple de calcul de probabilités conditionnelles par différentes méthodes}%__________________

\begin{Ex}
   Dans un atelier, deux machines $M_1$ et $M_2$ découpent des pièces métalliques identiques. $M_1$ fournit $60\%$ de la production (parmi lesquelles $6,3\%$ sont défectueuses), le reste étant fourni par $M_2$ (dont $4\%$ de la production est défectueuse).\\
   La production du jour est constituée des pièces produites par les deux machines, et on en tire en fin de soirée une pièce au hasard (tous les prélèvements sont supposés équiprobables).
   \begin{enumerate}
      \item Utilisation des formules des probabilités conditionnelles.
      \begin{enumerate}
          \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu'elle est produite par $M_1$ ?
          \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu'elle est produite par $M_2$ ?
          \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse ?
       \end{enumerate}
       \item Utilisation d'un tableau\\
       On suppose maintenant que la production est composée de $10000$ pièces.
       \begin{enumerate}
          \item Reproduire et compléter le tableau suivant qui décrit la production du jour : \\
             \begin{tabular}{|C{4.5}|C{3.5}|C{3.5}|C{2}|}
                 \hline
                  & Nombre de pièces produites par $M_1$   & Nombre de pièces produites par $M_2$ & Total \\
                 \hline
                 Nombre de pièces défectueuses & & & \\
                 \hline
                 Nombre de pièces conformes & & & \\
                 \hline
                 Total & & & \\
                 \hline
             \end{tabular}
         \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu'elle est produite par $M_1$ ?
         \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu'elle est produite par $M_2$ ?
         \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse ?
      \end{enumerate}
      \item Utilisation d'un arbre des probabilités conditionnelles
      \begin{enumerate}
         \item Dresser un arbre des probabilités conditionnelles relatif à la situation proposée.
         \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu'elle est produite par $M_1$ ?
         \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu'elle est produite par $M_2$ ?
         \item Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse ?
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Sol}   
   Soit $D$ l'événement "La pièce prélevée est défectueuse"
   \begin{enumerate}
      \item
      \begin{enumerate}
          \item $P_{M_1}(D)=0,063$.
          \item $P_{M_2}(D)=0,040$.
          \item $P(D)=P(M_1\cap D)+P(M_2\cap D)$ \\
          \hspace*{0.85cm} $=P(M_1)P_{M_1}(D)+P(M_2)P_{M_2}(D)$ \\
          \hspace*{0.85cm} $=0,6\times 0,063+0,4\times 0,040$ \\
          \hspace*{0.85cm} $=0,0538$.
       \end{enumerate}
       \item 
       \begin{enumerate}
          \item 
             \begin{tabular}[t]{|C{4.5}|C{3.5}|C{3.5}|C{2}|}
                 \hline
                  & Nombre de pièces produites par $M_1$ & Nombre de pièces produites par $M_2$ & Total \\
                 \hline
                 Nombre de pièces défectueuses & $378$ & $160$ & $538$ \\
                 \hline
                 Nombre de pièces conformes & $5622$ & $3840$ & $9462$ \\
                 \hline
                 Total & $6000$ & $4000$ & $10000$ \\
                 \hline
             \end{tabular}    
          \item $P_{M_1}(D)=\dfrac{378}{6000}=0,063$.
          \item $P_{M_2}(D)=\dfrac{1600}{4000}=0,040$.
          \item $P(D)=\dfrac{538}{10000}=0,0538$.
      \end{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  arbre de probabilités pondéré : \vspace*{1cm}\\
            \hspace*{1cm}
            \psset{levelsep=4cm,nodesep=1mm}
            \pstree[treemode=R,nrot=:U]{{\Tc*{1mm}}}
     {\pstree{\Tr{$M_1$}\naput{$0,6$}}
        {\Tr{$D$}\naput{$0,063$} \Tr{$\overline{D}$}\nbput{$0,937$}}
      \pstree{\Tr{$M_2$}\nbput{$0,4$}}
        {\Tr{$D$}\naput{$0,04$} \Tr{$\overline{D}$}\nbput{$0,96$}}}   \vspace*{1cm} \\ 
         \item $P_{M_1}(D)=0,063$ d'après l'arbre de probabilités.
         \item $P_{M_2}(D)=0,040$ d'après l'arbre de probabilités.
         \item $P(D)=P(M_1\cap D)+P(M_2\cap D)$ \\
          \hspace*{0.85cm} $=P(M_1)P_{M_1}(D)+P(M_2)P_{M_2}(D)$ \\
          \hspace*{0.85cm} $=0,6\times 0,063+0,4\times 0,040$ \\
          \hspace*{0.85cm} $=0,0538$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Sol}

\pagebreak

\subsection{Evénements indépendants}%______________

\begin{Def}
   On dit que $A$ et $B$ sont des événements \underline{indépendants} si et seulement si $P(A\cap B)=P(A).P(B)$.
\end{Def}

\begin{Ex}
   On considère le tirage au hasard d'une carte d'un jeu de $32$ cartes.\\
   $A=$ "Tirer un as", \quad $B=$ "Tirer un coeur" et \quad $C=$ "Tirer un as rouge".\\
   Indépendance de $A$ et $B$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $P(A)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
      \item $P(B)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.   
      \item $P(A\cap B)=\dfrac{1}{32}=P(A)\times P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.   
   \end{dinglist}   
   Indépendance de $B$ et $C$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $P(B)=\dfrac{1}{4}$.
      \item $P(C)=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}$.   
      \item $P(B\cap C)=\dfrac{1}{32}\neq P(B)\times P(C)$, les événements $B$ et $C$ ne sont donc pas indépendants.   
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   Dans le cas où $A$ et $B$ sont des événements de probabilités non nulles, on a 
   \begin{itemize}
      \item $P(A\cap B)=P(B)P_B(A)=P(A)P_A(B)=P(A).P(B)$, d'où :
      \item $P_B(A)=P(A)$ et $P_A(B)=P(B)$.
   \end{itemize}
\end{Rem}

\begin{Prop}
   Si $A$ et $B$ sont des événements indépendants, alors : $A$ et $\overline{B}$ ; $\overline{A}$ et $B$ ; $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont également des événements indépendants.
\end{Prop}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dénombrement}%______________________________________________________________________

Le problème du calcul de probabilités se réduit souvent à un problème de dénombrement (nombre des issues possibles, nombre de cas favorables ...). 
Voici différentes méthodes de dénombrement :

\subsection{Utilisation de tableaux}%_________________________________________________________

\begin{Ex}
   Voici les résultats d'un sondage effectué au début de l'année 1998 auprès de 1 000 personnes, à propos d'Internet :
   \begin{itemize}
      \item $40 \%$ des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;
      \item $35 \%$ des personnes interrogées ont moins de $25$ ans et, parmi celles-ci, $80 \%$ déclarent être intéressées par Internet ;
      \item $30 \%$ des personnes interrogées ont plus de $50$ ans et, parmi celles-ci, $85 \%$ ne sont pas intéressées par Internet.
   \end{itemize}
   \begin{enumerate}
      \item Reproduire et compléter le tableau suivant :
         $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
         \hline
         & \mbox{Intéressés par Internet} &  \mbox{Non intéressés par Internet} & \mbox{Total}\\
         \hline
         \mbox{Moins de 25 ans} &  & 70 & \\
         \hline
         \mbox{De 25 à 50 ans} & & & \\
         \hline
         \mbox{Plus de 50 ans} & & & \\
         \hline
         \mbox{Total} & & & \\
         \hline
         \end{array}$$
      \item On choisit au hasard une personne parmi les $1 000$ interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :\\
      $A$ : "la personne interrogée est intéressée par Internet" ;\\
      $B$ : "la personne interrogée a moins de $25$ ans".
      \begin{enumerate}
         \item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$.
         \item Définir par une phrase l'événement contraire de $B$, puis calculer sa probabilité.
         \item Définir par une phrase l'événement $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$. En déduire $P(A\cup B)$.
         \item On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité qu'elle ait moins de $50$ ans ?
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Ex}

\begin{Sol}
   \begin{enumerate}
      \item 
         $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
         \hline
         & \mbox{Intéressés par Internet} &  \mbox{Non intéressés par Internet} & \mbox{Total} \\
         \hline
         \mbox{Moins de 25 ans} & 280 & 70 & 350 \\
         \hline
         \mbox{De 25 à 50 ans} & 75 & 275 & 350 \\
         \hline
         \mbox{Plus de 50 ans} & 45 & 255 & 300 \\
         \hline
         \mbox{Total} & 400 & 600 & 1000 \\
         \hline
         \end{array}$$
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item $P(A)=\dfrac{400}{1000}=\dfrac{2}{5}=0,4$ et $P(B)=\dfrac{350}{1000}=\dfrac{7}{20}=0,35$.
         \item $\overline{B}$ : "La personne choisie à $25$ ans ou plus" et $P(\overline{B})=1-P(B)=1-\dfrac{7}{20}=\dfrac{13}{20}=0,65$
         \item $A\cap B=$ "la personne intérrogée est intéressée par Internet ET a moins de $25$ ans".\\
         $P(A\cap B)=\dfrac{250}{1000}=\dfrac{1}{4}=0,25$.\\
         $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{400}{1000}+\dfrac{350}{1000}-\dfrac{250}{1000}=\dfrac{500}{1000}=\dfrac12=0,5$.
         \item $P=\dfrac{70+275}{600}=\dfrac{345}{600}=\dfrac{23}{40}=0,575$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Sol}


\subsection{Utilisation d'arbres}%______________

\begin{Ex} 
   Benoît sait que le congélateur de la cuisine renferme quatre bâtons de crème glacée, de quatre parfums différents (vanille, chocolat, pistache, fraise).\\
   Gourmand et insomniaque, il décide de se lever en pleine nuit, sans allumer la lumière, et de prendre, à tâtons et successivement, deux bâtons dans le congélateur.\\
Tous les choix sont équiprobables.
   \begin{enumerate}
      \item \`A l'aide d'un arbre, déterminer le nombre de couples différents de bâtons qu'il peut ainsi obtenir.
      \item Ses parfums préférés sont vanille et fraise. Calculer les probabilités qu'il obtienne :
      \begin{enumerate}
         \item le bâton à la vanille, puis le bâton au chocolat ;
         \item les bâtons de ses parfums préférés dans un ordre quelconque ;
         \item un seul de ses parfums préférés ;
         \item aucun de ses parfums préférés.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
 \end{Ex}

\begin{Sol}
   \begin{enumerate}
      \item d'après l'arbre, on obtient $4\times 3=12$ possibilités.
      \begin{center}
         \psset{nodesep=1mm}
         \pstree{{\Tc*{1mm}}}
           {\pstree{\Tr{Vanille}}
              {\Tr{C} \Tr{P} \Tr{F}}
              \pstree{\Tr{Chocolat}}
              {\Tr{V} \Tr{P} \Tr{F}}
              \pstree{\Tr{Pistache}}
              {\Tr{V} \Tr{C} \Tr{F}}
            \pstree{\Tr{Fraise}}
              {\Tr{V} \Tr{C} \Tr{P}}} 
      \end{center}
      \item Toutes les situations étant équiprobables, donc, on a :
      \begin{enumerate}
            \item $P=\dfrac{1}{12}$.
            \item $P=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
            \item $P=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.
            \item $P=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
      \end{enumerate}      
   \end{enumerate} 
\end{Sol}


\subsection{Permutations}%____________________________________________________________________

\begin{Def}
   On réalise une \underline{permutation} si on écrit tous les éléments d'un ensemble dans un ordre déterminé.
\end{Def}

\begin{Ex}
   On considère $4$ pions de couleurs, respectivement verte ($V$), rouge ($R$), bleue ($B$) et noire ($N$). On souhaite aligner les pions les uns derrière les autres. De combien de manières différentes (par l'ordre des couleurs) peut-on le faire ?
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour la première position, il y a $4$ couleurs possibles. Pour la seconde, il n'y en a plus que $3$. Pour la troisième position, il ne reste plus que deux possibilités de couleurs, et pour la dernière position, il ne restera qu'une couleur, la dernière. Un arbre permet de décrire complètement ce schéma.
   \item Il y a donc au total $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ possibilités d'ordonner les $4$ pions de couleurs différentes.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   Soit $n \in \N$. On appelle \underline{factorielle} $n$ le nombre noté $n!$ qui vaut
$n!=n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1$. \\
   Par convention, $0!=1$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $3!=1\times 2\times 3=6$.
      \item $6!=1\times 2\times \dots \times 5\times 6=720$.
      \item $8!=1\times 2\times \dots \times 7\times 8=40320$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   \begin{itemize}
      \item $5!$ se lit "factorielle $5$", et non pas "$5$ factorielle" !
      \item Pour tout $n \in \N^*$, on a  $(n+1)!=(n+1)\times n!$
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex} 
   On peut simplifier les expressions contenant des factorielles :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\dfrac{15!}{12!}=15\times 14\times 13=2730$.
      \item $\dfrac{7!}{5!2!}=\dfrac{7\times 6}{2}=21$.
      \item $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)n=n^2+n$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   Inversement, on peut réduire un calcul grâce aux factorielles :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $1\times 5\times 3\times 2\times 4=5!$.
      \item $4\times 5\times 6\times 7\times 8=\dfrac{8}{3}$.
      \item $1\times 3\times 5\times 7\times 9=\dfrac{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9}{2\times 4\times 6\times 8}=\dfrac{9!}{2^4\times 1\times 2\times 3\times 4}=\dfrac{9!}{2^4\times 4!}$.
      \item $2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2n-2) \times (2n)=2^n\times 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n-1) \times (n)=2^n\times n!$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   On dit aussi qu'il y a $n!$ façons de ranger $n$ objets dans $n$ cases, de manière à placer tous les objets dans une et une seule case.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Faire un emploi du temps d'une classe de BTS consiste (grossièrement) à placer $16$ blocs de $2$ heures, dans   un planning hebdomadaire vierge, qui compte $16$ créneaux de $2$ heures. On peut déterminer le nombre d'emplois du temps différents que l'on peut constituer : \\
- de manière exacte ;\\
- en en donnant un ordre de grandeur :
  \begin{dinglist}{212}
      \item $16!=20 922 789 888 000$ ;
      \item soit environ $21 000$ milliards ...
   \end{dinglist}
\end{Ex}

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\subsection{Combinaisons}%__________________________________________________________________

\begin{Def} 
   Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels.
   \begin{dinglist}{228}
      \item on appelle \underline{combinaison} de $p$ éléments parmi $n$ le fait de prélever $p$ éléments parmi $n$, de manière à constituer un groupe dans lequel l'ordre n'a pas d'importance.
      \item Ce nombre de combinaison vaut : $\Cnp=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{n!}{p!(n-p)!} \mbox{ si } p\leq n \\ 0 \mbox{ sinon} \end{array}\right.$
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
   \begin{itemize}
      \item Si l'on s'intéresse à la constitution d'un groupe ordonné, on parle d'\underline{arrangement}, au lieu de combinaison.
      \item On trouve aussi la notation aussi $C^p_n$ au lieu de $\Cnp$.
   \end{itemize}
\end{Rem}

\begin{Ex}
   Calcul des combinaisons $\C{5}{k}$ pour $k$ variant de $0$ à $5$ :
   \begin{multicols}{2}
      \begin{dinglist}{212}
         \item $\C{5}{0}=\dfrac{5!}{0!(5-0)!}=\dfrac{5!}{0!5!}=1$.
         \item $\C{5}{1}=\dfrac{5!}{1!(5-1)!}=\dfrac{5!}{1!4!}=5$.
         \item $\C{5}{2}=\dfrac{5!}{2!(5-2)!}=\dfrac{5!}{2!3!}=10$.
         \item $\C{5}{3}=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}=\dfrac{5!}{3!2!}=10$.      
         \item $\C{5}{4}=\dfrac{5!}{4!(5-4)!}=\dfrac{5!}{4!1!}=5$.
         \item $\C{5}{5}=\dfrac{5!}{5!(5-5)!}=\dfrac{5!}{5!0!}=1$.
      \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Ex}

\medskip

\begin{Ex}
   On tire $5$ cartes au hasard dans un jeu de $32$, pour constituer une main (sans tenir compte de l'ordre d'arrivéedes cartes).
   \begin{dinglist}{212}
      \item Il y a $\C{32}{5}=201376$ mains possibles.
      \item Il y a $\C{4}{3}\times \C{28}{2}=4\times 378=1512$ mains contenant $3$ rois exactement.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop} Soient $n$ et $p$ des entiers naturels tels que $p\leq n$, on a les propriétés suivantes :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\C{n}{0}=\C{n}{n}=1$.
      \item Symétrie : $\Cnp=\C{n}{n-p}$.
      \item Relation de Pascal : $\Cnp+\C{n}{p+1}=\C{n+1}{p+1}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{center}
\textbf{Triangle de pascal :}
\end{center}
\begin{tabular}{*{9}{C{0.5}}C{1.5}c*{9}{C{0.5}}}
   & & & & $\C{0}{0}$ & & & & & & & & & & $1$ & & & & \\ 
   & & & $\C{1}{0}$ & & $\C{1}{1}$ & & & & & & & & $1$ & & $1$ & & & \\ 
   & & $\C{2}{0}$ & & $\C{2}{1}$ & & $\C{2}{2}$ & & & donne : & & & \fbox{$1$} & $+$ & \fbox{$2$} & & $1$ & & \\ 
   & $\C{3}{0}$ & & $\C{3}{1}$ & & $\C{3}{2}$ & & $\C{3}{3}$ & & & & $1$ & & \fbox{$3$} & & $3$ & & $1$ & \\ 
   $\C{4}{0}$ & & $\C{4}{1}$ & & $\C{4}{2}$ & & $\C{4}{3}$ & & $\C{4}{4}$ & & $1$ & & $4$ & & $6$ & & $4$ & & $1$ \\ 
\end{tabular}   

\bigskip

\begin{Prop}[Formule du binôme de Newton]
   Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier naturel $n$, on a : $$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\C{n}{k} a^k\;b^{n-k}$$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Développons $(x+2)^4$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $(x+2)^4=\sum\limits_{k=0}^4\C{n}{k} x^k\;2^{4-k}$.
      \item Le triangle de pascal nous donne les coefficients : pour $n=4$, on obtient respectvement $1$ - $4$ - $6$ - $4$ - $1$.
      \item Donc : $(x+2)^4=1\times 2^4\times x^0+4\times 2^3\times x^1+6\times 2^2\times x^2+4\times 2^1\times x^3+1\times 2^0\times x^4$ \\ \hspace*{2.3cm} $=16+32x+24x^2+8x^3+x^4$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\end{document}