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\lhead[]{\small BTS DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Fonctions}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2010$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE}
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\newtheorem{Sol}{Solution}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3} 


\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{FONCTIONS}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fonctions usuelles}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions en escalier}

\begin{Def}
   Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.
\end{Def}

\begin{Ex}
   La fonction définie sur $[-8~;+\infty~[$ par $f(x)=
   \left\{\begin{array}{rcl}
          -2 & \text{si} & -8 \leq x < -2 \\
          6 & \text{si} & -2 \leq x \leq 0 \\
          3 & \text{si} & 0 < x < 4 \\
          1 & \text{si} & 4 \leq x \\
          \end{array}\right.$ \quad est une fonction en escalier.
\begin{center}
  \psset{unit=0.6}
   \begin{pspicture}(-9,-3)(15,7)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-9,-3)(15,7)
      \psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(-9,-3)(15,7)
      \psline[linecolor=red]{*-[}(-8,-2)(-2,-2)
      \psline[linecolor=blue]{*-*}(-2,6)(0,6)
      \psline[linecolor=orange]{]-[}(0,3)(4,3)
      \psline[linecolor=green]{*-}(4,1)(14,1)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions affines}

\begin{Def}
   $a$ et $b$ sont deux réels donnés. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est appelée \underline{fonction affine}. \\
   Sa représentation graphique est la droite d’équation $y = ax+b$, où :
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le réel $a$ est le coefficient directeur de cette droite.
      \item Le réel $b$ est l'ordonnée à l'origine.
   \end{dinglist}
\end{Def}

Une fonction affine est dérivable sur $\R$ de dérivée $f'(x)=a$. D'où les tableaux de variation suivants :

\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      $a>0$ \\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lC{0.8}C{0.8}C{0.8}r|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & & $+$ & & \\
         \hline
         variations & \psline{->}(1,-0.5)(4.5,0.1) & & & & $+\infty$ \\
         de $f$ & $-\infty$ & & & & \\
         \hline
         signe de $f$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{center}
      $a<0$ \\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lC{0.8}C{0.8}C{0.8}r|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & & $-$ & & \\
         \hline
         variations & $+\infty$ \psline{->}(0,0.1)(4,-0.5) & & & & \\
         de $f$ & & & & & $-\infty$ \\
         \hline
         signe de $f$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\end{multicols}

\pagebreak

\begin{Ex}
   \begin{multicols}{2}
   
      Le graphique ci-contre représente les droites d'équation : \\        \vspace*{0.5cm} 
      $d_1:y=x+1$ \\   \vspace*{0.5cm}
      $d_2:y=2$ \\     \vspace*{0.5cm}
      $d_3:y=-3x-2$ \\ \vspace*{0.5cm}
      $d_4:x=-1$ \\    \vspace*{0.5cm}
      $d_5:y=\dfrac34x-3$ \\
   \begin{center}
   \psset{unit=0.7cm}
   \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-4)(4,4)
      \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
      \rput(-0.25,-0.25){$0$}
      \rput(1,-0.3){$1$}
      \rput(-0.3,1){$1$}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=red](-4,2)(4,2)    
      \rput(-3.3,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](-1,-4)(-1,4)
      \rput(-0.6,3.5){\textcolor{blue}{$d_4$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=orange](-4,-3)(3,4)
      \rput(-3,-1.5){\textcolor{orange}{$d_1$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=green](-2,4)(0.67,-4)
      \rput(1,-3.8){\textcolor{green}{$d_3$}}
      \psline[linewidth=0.05](-1.33,-4)(4,0)
      \rput(3,-1.2){$d_5$}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction logarithme}

\begin{Def}
   La fonction \underline{logarithme népérien}, notée $\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x\to \dfrac1x$ définie sur $]~0~;~+\infty~[$ qui s'annule en $1$.
\end{Def}

Conséquences directes :
\begin{itemize}
   \item $\ln(1)=0$,
   \item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]~0~;~+\infty~[$ et pour tout  $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac1x$.
\end{itemize}

\begin{Prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $n$ est un entier naturel, alors : 
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$
      \item $\ln\left(\dfrac1a\right)= -\ln(a)$.
      \item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.
	  \item $\ln(a^n)=n\ln(a)$.
	  \item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac12\ln(a)$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications.

\smallskip

\begin{Ex}
   Transformations d'expressions numériques et algébriques :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln\left(\dfrac{192}{108}\right) =\ln\left(\dfrac{16}{9}\right) =\ln(16)-\ln(9)=\ln(2^4)-\ln(3^2) =4\ln(2)-2\ln(3)$.
      \item $\ln(\sqrt{96}) =\dfrac12\ln(96) =\dfrac12\ln(2^5\times3) =\dfrac12[5\ln(2)+\ln(3)]$.
      \item $\ln(x+3)+\ln(2x+1) =\ln[(x+3)(2x+1)] =\ln(2x^2+7x+3)$ pour $x\in-\left]~\dfrac12~;~+\infty~\right[$.
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   On a les limites importantes suivantes :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln x=-\infty$.
      \item $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$.
   \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Prop}

\textbf{Conséquence :}
La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $\ln$. \\

\begin{minipage}{8cm}
   D'où le tableau de variations et la courbe :\\
   \begin{center}   
   \renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|C{1}|lC{2}r|}
         \hline
         $x$ & $0$ & $1$ & $+\infty$ \\
         \hline
         $f'(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         & & & $+\infty$ \\
         $f$ & & $\psline{->}(-1.2,-0.5)(1.2,0.5)$ & \\
         & $-\infty$ & & \\
         \hline
         signe & ~~~~~~$-$ & $0$ & $+$~~~~~~\\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(-2,-5.5)(9,3)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](-1,-5)(9,3)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-5)(9,3)
      \psplot[linecolor=red]{0.006}{9}{x ln}
      \rput{15}(4,2){\textcolor{red}{$y=\ln(x)$}}
      \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.7,0)(2.7,1)(0,1)
      \rput(2.6,-0.4){\textcolor{blue}{$e$}}
      \psdot[linecolor=red](1,0)
      \psdot[linecolor=red](2.7,1)
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction exponentielle}

\begin{Def}
   La fonction \underline{exponentielle}, est la fonction définie sur $\R$ par $\exp(x)=e^x$, $e^x$ étant l'unique nombre réel positif dont le logarithme vaut $x$.
\end{Def}

\begin{Rem}
   On dit que la fonction exponentielle est la fonction \underline{réciproque} de la fonction logarithme, ce qui signifie que graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice ($y=x$) dans un repère othonormal.
\end{Rem}
 
\textbf{Conséquences directes :}
\begin{itemize}
   \item $\exp(x)>0$. \\
   \item $\exp(1)=e^1=e\approx 2,718$. \\
   \item $\ln(e^x)=x$. \\
   \item $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$. \\
   \item $x\in\R$ et $y=e^x \Longleftrightarrow y\in\R^*_+$ et $\ln(y)=x$.
\end{itemize}

\begin{Prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels et $n$ est un entier relatif, alors : 
   \begin{dinglist}{169}
      \item $e^{a+b}=e^a\times e^b$
      \item $\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}$.
      \item $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$.
      \item $(e^a)^n=e^{an}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

En résumé, l'exponentielle à la particularité de transformer les sommes en produits, les différences en quotients et les multiplications en puissances. (inversement au logarithme !).

\bigskip

\begin{Ex}
   Transformations d'expressions numériques et algébriques :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $e^2\times e^3\times \dfrac{1}{e^4}\times(e^{-2})^{-3} =e^{2+3-4+6}=e^7$.
      \item $e^{x+3}\times e^{2x+1} =e^{(x+3)+(2x+1)} =e^{3x+4}.$
      \item $(e^{x-2})^2 =e^{2x-4}.$
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   On a les limites importantes suivantes :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0$.
      \item $\lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty$.
   \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Prop}

\textbf{Conséquence :}
La droite d'équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction $\exp$.

\begin{Prop}
   La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ de dérivée $(e^x)'=e^x$.
\end{Prop}

\begin{minipage}{7cm}
   D'où le tableau de variations et la courbe : \\
   \begin{center}   
   \renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|C{1}|lC{2}r|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & $0$ & $+\infty$ \\
         \hline
         $f'(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         & & & $+\infty$ \\
         $f$ & & $\psline{->}(-1.2,-0.5)(1.2,0.5)$ & \\
         & $0$ & & \\
         \hline
         signe & & $+$ & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(-7,-1)(3,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-5,-1)(3,6)
      \psaxes{->}(0,0)(-5,-1)(3,6)
      \psplot[linecolor=red]{-5}{1.8}{2.72 x exp}
      \rput{72}(2,3.5){\textcolor{red}{$y=\exp(x)$}}
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions puissance}

\begin{Def}
   Soit $\alpha$ un nombre réel, la fonction puissance (d'exposant) $\alpha$, notée $f_{\alpha}$ est la fonction qui, à tout nombre $x\in\R^*_+$ associe $$f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$$
\end{Def}

\begin{Ex}
Dans le cas où $\alpha=\dfrac12$, on a $f_{\frac12}(x)=x^{\frac12}=e^{\frac12\ln x}=\sqrt{x}$.
\end{Ex}

\begin{Prop}
Pour tout $\alpha$, la fonction $f_{\alpha}$ est dérivable sur $\R^*_+$ de dérivée $f'_{\alpha}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$.
\end{Prop}

\textbf{Sens de variation : }\\
Dans le cas où $\alpha=0$, la fonction $f_0(x)=x^0=1$ est constante sur $\R_+^*$. \\

Dans le cas où $\alpha\not= 0$, $f'_{\alpha}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ est du signe de $\alpha$ sur $\R^*_+$. \\

D'où les tableaux de variation suivants :

\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      $\alpha<0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c||lC{3}r|} 
         \hline
         $x$ & $0$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & $-$ & \\
         \hline
         variations & $+\infty$ \psline{->}(0,0.1)(3.9,-1) & & \\
         de $f_{\alpha}$ & & & \\
         & & & $0$ \\
         \hline
         signe de $f_{\alpha}$ & & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
  \begin{center}
      $\alpha>0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c||lC{3}r|} 
         \hline
         $x$ & $0$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         variations & \psline{->}(0.4,-1)(3.8,0) & & $+\infty$\\
         de $f_{\alpha}$ & & &  \\
         & $0$ & & \\
         \hline
         signe de $f_{\alpha}$ & & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\end{multicols}

Allure des courbes représentatives des fonctions puissance : \\

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,0)(5,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
      \psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
      \psplot[linecolor=red]{0.2}{5}{x -1 exp}
      \psplot[linecolor=blue]{0.04}{5}{x -0.5 exp} 
      \psplot[linecolor=green]{0.58}{5}{x -3 exp}     
      \rput(4,4){\textcolor{blue}{$y=x^{-0.5}$}}
      \rput(4,3){\textcolor{red}{$y=x^{-1}$}}
      \rput(4,2){\textcolor{green}{$y=x^{-3}$}}
      \psdot(1,1)
   \end{pspicture} \\ 
   \begin{pspicture}(0,0)(5,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
      \psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
      \psplot[linecolor=red]{0}{5}{x 1 exp}
      \psplot[linecolor=blue]{0}{5}{x 0.5 exp} 
      \psplot[linecolor=green]{0}{2.24}{x 2 exp}     
      \rput{15}(4,2.3){\textcolor{blue}{$y=x^{0.5}$}}
      \rput{45}(4,3.5){\textcolor{red}{$y=x^1$}}
      \rput{75}(2.2,3.5){\textcolor{green}{$y=x^2$}}
      \psdot(1,1)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{limites}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Interprétation graphique}

\underline{Limite en un point :} \\     
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-3}{4}{1 3 x add sqrt add}
            \psdot[linecolor=blue](-3,1)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -3}f(x)=1$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-2,-1)(6,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2}{1.62}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psplot[linecolor=red]{2.38}{6}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](2,-1)(2,7)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=+\infty$ \\
      La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=2$.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}   
         \begin{pspicture}(-6,-6)(1,2.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psplot[linecolor=red]{-6}{-2.17}{1 2 x add div}
            \psplot[linecolor=red]{-1.5}{1}{1 2 x add div}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-2,2)(-2,-6)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -2^-}f(x)=-\infty$ \\
      La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=-2$.
   \end{minipage}

\underline{Limite en $+\infty$ :} \\     
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.8}{4}{2 1 3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{-3.32}{2 1 3 x add div add}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-4,2)(4,2)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=2$ \\
      La courbe admet une asymptote horizontale d'équation $y=2$.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}   
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}

\underline{Limite en $-\infty$ :} \\      
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{3.17}{4}{1 1 -3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{2.5}{1 1 -3 x add div add}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-4,1)(4,1)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=1$ \\
      La courbe admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}   
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}


\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction et $d$ la droite d'équation $y=ax+b$ tel que : $$\lim\limits_{x \to \pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$$ on dit alors que la droite $d$ est une \underline{asymptote oblique} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.
\end{Def}

\bigskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1$.
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psaxes{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psplot[linecolor=red]{-6}{-0.2}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psplot[linecolor=red]{0.35}{6}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-6,-2)(6,4)
      \end{pspicture}
   \end{center}   
   $\lim\limits_{x\to +\infty}\left[f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$. \\
   La courbe admet une asymptote oblique d'équation $y=\dfrac12x+1$.
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limites des fonctions usuelles}

Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de référence (la notation \og $*$ \fg signifie qu'il faut appliquer la \og règle des signes \fg).
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|*{8}{C{1.3}|}}
   \hline
   $f(x)$ & $x^n$ \qquad $n\in\N$ & $\dfrac{1}{x^n}$ \qquad $n\in\N$ & $x^{\alpha}$ \qquad $\alpha\in\R^+$ & $\dfrac{1}{x^{\alpha}}$ \qquad $\alpha\in\R^+$ & $\ln x$ & $\exp x$ & $\cos x$ & $\sin x$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ & $*\infty$ & $0^*$ &  indéfini & indéfini & indéfini & $0^+$ & aucune & aucune \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)$ & $0^*$ & $*\infty$ & indéfini & indéfini & indéfini & $1^-$ & $1^-$ & $0^-$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $1^+$ & $1^+$ & $0^+$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $+\infty$ & aucune & aucune \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations sur les limites}

Dans tout ce qui suit, la notation \og FI \fg{} désigne une Forme Indéterminée, c'est à dire qu'on ne sait pas calculer par une opération élémentaire.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'une somme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|C{2}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
   \hline  
   $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~g$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~(f+g)$ & $l+l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & FI \\ 
   \hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de \og sommes \fg{} de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~e^x&=&1}{\lim\limits_{x \to 0}~x^3&=&0} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(e^x+x^3\right)=1$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=+\infty$
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln x&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\ln x+x^2\right)=+\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right)=-\infty$.    
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right)$ \quad est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un produit}

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
      \hline  
      $\lim~f$ & $l$ & $l\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~g$ &$l'$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \\ 
      \hline
      $\lim~(f\times g)$ & $l\times l'$ & $*\infty$& $*\infty$ & FI \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\bigskip

\begin{Ex}
   Calcul de \og produit \fg{} de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)&=&4}{\lim\limits_{x\to 0}~(e^x-2)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~[(e^x+3)\times(e^x-2)]=-4$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-3)&=&-3}{\lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right]=-\infty$
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)& =&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}[(x-1)\times x^3]=+\infty$.   
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x^2+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right]$ \quad est une forme indéterminée du type $0\times\infty$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un quotient}

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|*{6}{C{1}|}}
      \hline  
      $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~g$ & $l'\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~\left(\dfrac{f}{g}\right)$ & $\dfrac{l}{l'}$ & $0$ & $*\infty$ & $*\infty$  & FI & FI \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de \og quotients \fg{} de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)&=&4}{\lim\limits_{x\to 0}~e^x-2)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{e^x+3}{e^x-2}\right)=e^5$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{1}{x}-3\right)&=&-3}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x^2}\right)=0^-$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~x-4&=&-4}{\lim\limits_{x \to 0^+}~x&=&0^+} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right)=-\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-1)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)=+\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right)$ \quad est une forme indéterminée.   
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~x^2&=&0}{\lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x}&=&0} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right)$ \quad est une forme indéterminée .
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Compositions}

\begin{Prop}
   Soient deux fonctions : $f$ définie de $I$ dans $J$ et $g$ de $J$ dans $\R$. \\
   Si $\Lim{\lim\limits_{x \to a}f(x)=b}{\lim\limits_{x \to b}g(x)=c}$ \quad alors \quad $\lim\limits_{x \to a}~(g\circ f)(x)=\lim\limits_{x \to a}g[f(x)]=c$.
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Calcul de "composition" de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x+3)&=&-\infty}{\lim\limits_{X\to -\infty}~e^X&=&0} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}~e^{x+3}=0$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~(2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln X&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln(2x+1)=+\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(x+4)&=&4}{\lim\limits_{X\to 4}~\sqrt{X}&=&2} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4}=2$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées}

Dans ce cas, toutes les situations sont {\it a priori} possibles : existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite infinie ; absence de limite. \\
Seule une étude particulière permet de lever l'indétermination.

Rappelons pour commencer les cas d'indétermination des limites :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
      \hline
      $\lim f(x)$ & $\lim g(x)$ & Limite indéterminée & type d'indétermination \\
      \hline
      $+\infty$ & $-\infty$ & $f(x)+g(x)$ & $\infty - \infty$ \\
      \hline
      $0$ & $\pm \infty$ & $f(x) \times g(x)$ & $0 \times  \infty$ \\
      \hline
      $0$ & $0$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{0}{0}$ \\
      \hline
      $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{\infty}{\infty}$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg{} :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~3x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~-x&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$ est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$. 
	  \item On met $x^2$ en facteur : $f(x)=3x^2-x=x^2\left(3-\dfrac{1}{x}\right)$.
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(3-\dfrac{1}{x}\right)&=&1}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.	  
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en $\pm \infty$ est dictée par le comportement
de son terme de plus haut degré en $\pm \infty$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} :    
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(2x^2-3)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right)$ est une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} . 
      \item Pour $x\not= 0$, on factorise par la puissance de $x$ maximale et on simplifie : \\
      \hspace*{0.3cm} $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3} =\dfrac{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{3}{x^2}\right)} =\dfrac{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{2-\dfrac{3}{x^2}}$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)&=&1}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(2-\frac{3}{x^2}\right)&=&2} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=\dfrac12$.     
   \end{dinglist}
\end{Ex} 
  
\smallskip

\begin{Rem}
De manière générale, le comportement d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$ est dictée par le comportement
du quotient des deux termes de plus haut degré.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $0\times \infty$ \fg{} :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}& =&0}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+1)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right]$ est une forme indéterminée du type \og $0\times\infty$ \fg{}. 
	  \item On développe : $f(x)=\dfrac{1}{x}(x^2+1)=x+\dfrac{1}{x}$.
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^+}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.	  
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $\dfrac00$ \fg{} :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to 1}~(x^2-1)&=&0}{\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)&=&0} \quad \lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)$ est une forme indéterminée du type $\dfrac00$. 
	  \item On factorise : $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$.
	  \item $\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)=0$ \quad donc : \quad $\lim\limits_{x\to 1}~f(x)=0$.
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Croissance comparée de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance}

\begin{Prop}
   Pour tout nombre réel $\alpha$ strictement positif :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}}\right)=0$.
      \item $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{e^x}{x^{\alpha}}\right)=+\infty$.
   \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Prop}

\textbf{L'idée à retenir :}
Au voisinage de $+\infty$, les fonctions $x\to\ln x$, $x\to x^{\alpha}$ et $x\to e^x$ prennent des valeurs qui se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dérivation}

Dans cette partie, $f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $C$ sa courbe représentative dans un repère. $a$ et $x$ sont deux réels distincts de $I$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Nombre dérivé en un point} 

On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction $f$ au voisinage d'un point d'une courbe.

\medskip

\begin{Ex}
Pour $h$ voisin de $0$, on a :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $(1+h)^2=1+2h+h^2$ \hspace{2cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^2 \approx 1+2h$. \\
      \item $(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3$ \hspace{1cm} donc,  quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^3 \approx 1+3h$. \\ 
      \item $\dfrac{1}{1+h}=1-h+\dfrac{h^2}{1+h}$ \hspace{2cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $\dfrac{1}{1+h} \approx 1-h$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie en $a$ et au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \underline{dérivable en $a$} s'il existe un réel $A$ est une fonction $\epsilon$ tels que, au voisinage de $h=0$, on a :
   $$f(a+h)=f(a)+Ah+h\epsilon(h), \text{ avec } \lim_{h\to 0}~\epsilon(h)=0.$$
   A est appelé \underline{nombre dérivé} de $f$ en $a$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$. 
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(a+h)=(a+h)^2=a^2+2ah+h^2=f(a)+(2a)h+h(h)$.
      \item Donc, $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $A=2a$ et $\epsilon(h)=h$ de limite nulle en $0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le \underline{taux de variation} de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ est le quotient :
$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
      \item Avec $x=a+h$, ce quotient s'écrit aussi : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
      \item $f$ est \underline{dérivable} en $a$ et on note cette dérivée $f'(a)$ si la limite suivante existe :
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item  le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : \\
         \hspace*{0.3cm} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h} =\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} =\dfrac{2ah+h^2}{h} =2a+h$.
      \item donc, $f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}~(2a+h)=2a$.
      \item En particulier, $f'(3)=6$, $f'(0)=0$ ...
   \end{dinglist}   
\end{Ex}

\begin{minipage}{6cm}
   \textbf{Interprétation graphique :}\\
   Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ se rapproche du point $A$. \\
   Ainsi, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente $\mathcal{T}$ au point $A$ \\
   $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $a$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
   \begin{center}
   \begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \psplot[linewidth=0.05]{0.55}{5.46}{x x mul -1 mul 6 x mul add -4 add}
      \psdot(1,1)
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \psdot(4,4)
      \rput(4,4.3){$M$}
      \rput(4,-0.6){$a+h$}
      \rput(-1,4){$f(a+h)$}
      \rput(1.6,4.6){\textcolor{red}{$\mathcal{T}$}}
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue](-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
      \psline[linecolor=blue](-0.33,-1)(4,5.5)
      \psline[linecolor=blue](0.33,-1)(2.5,5.5)
      \psline[linecolor=red]{<->}(0.5,-1)(2,5)
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction dérivée} 

\begin{Def}
  Soit $f$ une fonction dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelé \underline{fonction dérivée} de $f$ sur $I$.
\end{Def}

On obtient le tableau de dérivation suivant :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{3}|c|}
      \hline 
      Fonction $f$ & Fonction $f'$ & Ensemble de définition de $f$ \\ 
      \hline  
      $k$ & $0$ & $\R$ \\ 
      \hline  
      $ax+b$ & $a$ & $\R$ \\ 
      \hline   
      $\dfrac{1}{x}$ & $ -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\ 
      \hline
      $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &$\R_+^*$ \\ 
      \hline
      $x^{\alpha}$ & $\alpha x^{\alpha-1}$ & $\R$ si $\alpha\in\N^*$ ou $\R^*$ si $\alpha\in\Z_-^*$  ou $\R_+^*$ si $\alpha\in\R$\\
      \hline 
      $\ln(x)$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\R_+^*$ \\
      \hline
      $e^x$ & $e^x$ & $\R$ \\
      \hline      
      $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\R$ \\
      \hline
      $\cos(x)$ & $ -\sin(x)$ & $\R$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}
 
\smallskip

\begin{Ex}
Calcul de la dérivée des fonctions suivantes :\\
   \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
   \begin{tabular}{p{0.5cm}!{\ding{212}}llp{2cm}!{\ding{212}}ll}
      & $f(x)=\pi$ & $f'(x)=0$ & & $f(x)=x^3$ & $f'(x)=3x^2$ \\
      & $f(x)=x^{\frac23}$ & $f'(x)=\frac23x^{-\frac13}$ & & $f(x)=x^{2007}$ & $f'(x)=2007x^{2006}$ \\
   \end{tabular}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Dérivées successives}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les \underline{dérivées successives} de $f$ notées :
$$f' \quad , \quad f'' \quad , \quad f''' \quad , \quad \dots \quad , \quad f^{(n)}.$$
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2+x+3$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=6x^2-2x+1$.
      \item $f''(x)=12x-2$.
      \item $f'''(x)=12$.
      \item $f^{(4)}=0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

En physique et en mécanique, on utilise la notation différenteielle : \qquad $\dfrac{df}{dx}=f'$ \qquad et \qquad $\dfrac{d^2f}{dx^2}=f''$

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}
   \begin{Ex}
      Dans un circuit R, L, C en série, on a :
      \begin{dinglist}{212}
         \item $i=\dfrac{dq}{dt}$.
         \item $e=-L\dfrac{di}{dt}$.
         \item donc : $e=-L\dfrac{d^2q}{dt^2}$.
      \end{dinglist}
   \end{Ex}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
   \begin{pspicture}(0,0)(5.5,3)
      \psdot(2.5,0)
      \psline(2.5,0)(0,0)(0,2)(0.5,2)
      \psframe(0.5,1.6)(2,2.4)
      \psline(2,2)(2.5,2)
      \pscurve(2.5,2)(2.75,2.4)(3,2)
      \pscurve(3,2)(3.25,2.4)(3.5,2)  
      \pscurve(3.5,2)(3.75,2.4)(4,2)       
      \psline(4,2)(4.5,2)
      \psline(4.5,1.6)(4.5,2.4)
      \psline(5,1.6)(5,2.4)
      \psline(5,2)(5.5,2)(5.5,0)(3,0)
      \psdot(3,0)
      \rput(1.25,2.7){R}
      \rput(3.25,2.7){L}
      \rput(4.75,2.7){C}     
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations}

   $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{5}|C{4}|C{4}|}
      \hline 
      Opération & Fonction & Dérivée \\ 
      \hline  
      Addition & $u+v$ & $u'+v'$\\ 
      \hline  
      Multiplication par un nombre & $k\times u$ avec $k\in\R$ & $k\times u'$\\
      \hline  
      Multiplication &  $u\times v$ & $u'\times v+u\times v'$\\
      \hline 
      Puissance & $u^n$ & $n\times u'\times u^{n-1}$ \\
      \hline 
      Division & $\dfrac{u}{v}$ & $ \dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2} $\\
      \hline 
      Inverse & $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$\\
      \hline 
      Fonction composée & $f\circ g$ & $f'\circ g\times g'$ \\
      \hline 
      exponentielle & $e^u$ & $u'~e^u$ \\
      \hline 
      logarithme & $\ln(u)$ & $\dfrac{u'}{u}$ \\
      \hline 
      sinus & $\sin(u)$ & $u'~\cos(u)$  \\
      \hline
      cosinus & $\cos(u)$ & $-u'~\sin(u)$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center} 

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de dérivées :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x)=x^3+x+3$ : On utilise la formule $(u+v)'=u'+v'$ avec $u(x)=x^3$ et $v(x)=x+3$. \\
\\       \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3x^2+1$. \\
      \item $f(x)=3(x^2+4)$ : on utilise la formule $(ku)'=ku'$ avec $k=3$ et $u(x)=x^2+4$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=6x$. \\
      \item $f(x)=(-2x+3)(5x-3)$ : On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=-2x+3$ et $v(x)=5x-3$. \\  
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-20x+21$.
      \item $f(x)=(2x-7)^2$ : on utilise la formule $(u^2)'=2uu'$ avec $u(x)=2x-7$. \\  
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=4(2x-7)$. \\
      \item $f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+3}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=3x-4$ et $v(x)=x^2+3$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x+9}{(x^2+3)^2}$. \\
      \item $f(x)=\dfrac{1}{-3x+1}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec  $v(x)=-3x+1$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{3}{(-3x+1)^2}$. \\
      \item $f(x)=e^{3x+1}$ : On utilise la formule $(e^u)'=u'~e^u$ avec $u(x)=3x+1$. \\
          \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3~e^{3x+1}$. \\
      \item $f(x)=ln(-2x+5)$ : On utilise la formule $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=-2x+5$. \\
          \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-2}{-2x+5}$. \\
      \item $f(x)=\cos(2x+1)$ : On utilise la formule $\cos'(u)=-u'\sin(u)$ avec $u(x)=2x+1$. \\
          \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-2\sin(2x+1)$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Equation de la tangente} 

\begin{Prop}
   Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.\\
   La \underline{tangente} $\mathcal{T}_a$ en $a$ à la courbe $C_f$ a pour équation : $$\mathcal{T}_a : y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f(x)=x^2+2$. Les équations des tangentes en $0$ et en $-1$ sont :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=2x$
      \item $f'(0)=0$ donc $T_0 : y=0\times(x-0)+f(0)=2$.
      \item $f'(-1)=-2$ donc $T_{-1} : y=-2\times(x+1)+f(-1)=-2x+1$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Etude des variations d'une fonction}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction}

L'idée est qu'il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbe $\mathcal{C}$ et le sens de variation de la fonction $f$.

\begin{Prop}
   On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.
   \begin{dinglist}{169}
      \item $f$ est croissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\geqslant0$ pour tout $x\in I$.
      \item $f$ est décroissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\leqslant0$ pour tout $x\in I$.
      \item $f$ est constante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

Il est donc possible de déterminer les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.

\medskip

\begin{Ex}
   \textbf{\'Etude d'une fonction polynôme :} \\  
   Soit $f(x)=2x^3-3x^2-12x-1$, définie et dérivable sur $\R$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)$.
      \item On détermine le signe de $x^2-x-2$ en cherchant ses racines et on trouve $-1$ et $2$. \\
               \hspace*{0.3cm} $f'(x)=6(x+1)(x-2)$ est positive sauf entre ses racines $-1$ et $2$.
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction $f$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
                    \hline
                    $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $2$ & & $+\infty$\\
                    \hline
                    signe de $f'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ &\\
                    \hline
                     & &  & $6$ & & & & $+\infty$\\
                     variations de $f$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
                     & $-\infty$ & & & & $-21$ & &\\
                    \hline
                 \end{tabular}
              \end{center}
      \item $f$ est croissante sur $]-\infty~;-1~]$ et sur $[~2~;+\infty~[$ et décroissante sur $[~-1~;~2~]$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   \textbf{Etude d'une fonction logarithme :} \\
   
   Soit $g(x)=2x^2+1-\ln x$, définie et dérivable sur $\R_+^*$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x>0$ on a $g'(x)=4x-\dfrac1x= \dfrac{4x^2-1}{x} =\dfrac{(2x+1)(2x-1)}{x}$.
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction $g$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c||lcccr|}
                    \hline
                    $x$ & $0$ & & $\frac12$ & & $+\infty$\\
                    \hline
                    $2x+1$ & & $+$ & | & $+$ & \\
                    \hline
                    $2x-1$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
                    \hline
                    $x$ & & $+$ & | & $+$ & \\
                    \hline
                    signe de $g'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ &\\
                    \hline
                     & $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
                     variations de $g$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
                     & & & $\frac32+\ln 2$ & & \\
                    \hline
                 \end{tabular}
              \end{center}
      \item $g$ est décroissante sur $\left[~0~;~\dfrac12~\right[$ et croissante sur $\left[~\dfrac12~;+\infty~\right[$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   \textbf{Etude d'une fonction exponentielle :} \\
   
   Soit $h(x)=(x+2)~e^{-x}$, définie et dérivable sur $\R$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=1\times e^{-x}+(x+2)\times (-e^{-x})=(1-x-2)~e^{-x}=(-x-1)~e^{-x}$.
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction $h$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
                    \hline
                    $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $+\infty$\\
                    \hline
                    $-x-1$ & & $+$ & | & $-$ & \\
                    \hline
                    $e^{-x}$ & & $+$ & | & $+$ & \\
                    \hline
                    signe de $h'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
                    \hline
                     & & & $e$ & & \\
                     variations de $h$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ &\\
                     & $-\infty$ & & & & $0$ \\
                    \hline
                 \end{tabular}
              \end{center}
      \item $h$ est croissante sur $[-\infty~;-1~]$ et décroissante sur $[-1~;+\infty~[$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Extremum d'une fonction}

\begin{Prop}
   $f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$. \\
   Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ distinct des extrémités de $I$, alors $f'(a)=0$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   Attention, la réciproque n'est pas vraie : le fait que $f'(a)=0$ n'implique pas forcément qu'il existe un extremum en $a$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $f(x)=x^3$ est définie et dérivable sur $\R$.
      \item $f'(x)=3x^2$ donc, $f'(0)=0$ mais $f$ n'admet ni minimum, ni maximum en $0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}  
\begin{center}
   \psset{unit=1.5}
   \begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-1.1)(1,1.1)
      \uput{0}[0](0.6,0.8){$y=x^3$}
      \psplot[linecolor=red]{-1}{1}{x x mul x mul}
      \psline[linecolor=blue,linewidth=0.03]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{Rem}
   La tangente à la courbe en un point $a$ où $f'(a)=0$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Résolution de l'équation $f(x)=\lambda$} 

\begin{Prop}
   Si $f$ est une fonction continue, dérivable et strictement croissante [resp. décroissante] sur un intervalle $[\,a;b\,]$ alors, pour tout $\lambda \in [\,f(a);f(b)\,]$ [resp. $[\,f(b);f(a)\,]$], l'équation $f(x)=\lambda$ admet une solution unique sur l'intervalle $[\,a;b\,]$.
\end{Prop}

\begin{center}
  \begin{pspicture}(-1,-2)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \pscurve[linecolor=red](-1,-1)(1,1)(2,3)(4,4)(6,4.5)
      \psdot(1,1)
      \psdot(4,4)
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue]{->}(0,3)(2,3)(2,0)
      \rput(-0.6,3){\textcolor{blue}{$\lambda$}}
      \rput(2,-0.6){\textcolor{blue}{$x$}}
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \rput(4,4.3){$B$}
      \rput(4,-0.6){$b$}
      \rput(-0.6,4){$f(b)$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
 Soit $f(x)=x^3+x+1=0$, $f$ est définie et dérivable sur $\R$. Résolvons l'équation $f(x)=0$ à $10^{-1}$ près.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+1$.
      \item $f'$ est strictement positive sur $\R$, on en déduit que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
      \item on calcule $f(-1)=-1$ et $f(0)=1$.
      \item D'après le théorème, $0 \in [\,f(-1);f(0)\,]=[\,-1;1\,]$, l'équation 
$f(x)=0$ admet donc une solution unique dans l'intervalle $[-1;1\,]$.
      \item A la calculatrice, on trouve $f(-0,7)=-0,043<0$ et $f(-0,6)=0,184>0$.
      \item La racine vaut donc $-0,7$ à $10^{-1}$ près.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\end{document}