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\lhead[]{\small BTS DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Fonctions}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2010$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\shadecolor{lightgray}
\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Sol}{Solution}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
%\newcommand{\V}{\overrightarrow}
%\newcommand{\Rep}{(O;\V{i};\V{j})}
%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
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%\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3} 


\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{FONCTIONS}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fonctions usuelles}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions en escalier}

\begin{Def}
   Une fonction en escalier est une fonction \dotfill .
\end{Def}

\begin{Ex}
   La fonction définie sur $[-8~;+\infty~[$ par $f(x)=
   \left\{\begin{array}{rcl}
          -2 & \text{si} & -8 \leq x < -2 \\
          6 & \text{si} & -2 \leq x \leq 0 \\
          3 & \text{si} & 0 < x < 4 \\
          1 & \text{si} & 4 \leq x \\
          \end{array}\right.$ \quad est une fonction en escalier.
\begin{center}
  \psset{unit=0.6}
   \begin{pspicture}(-9,-3)(15,7)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-9,-3)(15,7)
      \psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(-9,-3)(15,7)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions affines}

\begin{Def}
   $a$ et $b$ sont deux réels donnés. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est appelée \dotfill
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le réel $a$ est \dotfill
      \item Le réel $b$ est \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

Une fonction affine est dérivable sur $\R$ de dérivée $f'(x)=$\dots\dots. D'où les tableaux de variation suivants :

\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      $a>0$ \\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lC{0.8}C{1}C{0.8}r|} 
         \hline
         $x$ & & & & & \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & & & &  \\
         \hline
         variations & & & & & \\
         de $f$ & & & & &  \\
         & & & & &  \\
         \hline
         signe de $f$ & & & & &  \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{center}
      $a<0$ \\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lC{0.8}C{1}C{0.8}r|} 
         \hline
         $x$ & & & & & \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & & & &  \\
         \hline
         variations & & & & & \\
         de $f$ & & & & &  \\
         & & & & &  \\
         \hline
         signe de $f$ & & & & &  \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\end{multicols}

\pagebreak

\begin{Ex}
   \begin{multicols}{2}
   
      Le graphique ci-contre représente les droites d'équation : \\        \vspace*{0.5cm} 
      $d_1:y=x+1$ \\   \vspace*{0.5cm}
      $d_2:y=2$ \\     \vspace*{0.5cm}
      $d_3:y=-3x-2$ \\ \vspace*{0.5cm}
      $d_4:x=-1$ \\    \vspace*{0.5cm}
      $d_5:y=\dfrac34x-3$ \\
   \begin{center}
   \psset{unit=0.8cm}
   \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-4)(4,4)
      \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
      \rput(-0.25,-0.25){$0$}
      \rput(1,-0.3){$1$}
      \rput(-0.3,1){$1$}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction logarithme}

\begin{Def}
   La fonction \underline{logarithme népérien}, notée $\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x\to$ \dots\dots\dots définie sur   qui s'annule en \dots\dots\dots.
\end{Def}

Conséquences directes :
\begin{itemize}
   \item $\ln(1)=$ \dotfill
   \item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]~0~;~+\infty~[$ et pour tout  $x>0$, $\ln(x)=$ \dotfill
\end{itemize} \\

\begin{Prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $n$ est un entier naturel, alors : 
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\ln(ab)=$ \dotfill
      \item $\ln\left(\dfrac1a\right)=$ \dotfill
      \item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=$ \dotfill
	  \item $\ln(a^n)=$ \dotfill
	  \item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=$ \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Prop}

En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en \dots\dots\dots\dots\dots\dots , les quotients en \dots\dots\dots\dots\dots\dots et les puissances en \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\


\begin{Ex}
   Transformations d'expressions numériques et algébriques (sur les intervalles où elles sont définies):
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln\left(\dfrac{192}{108}\right) =$ \dotfill \\      
      \item $\ln(\sqrt{96}) =$ \dotfill \\
      \item $\ln(x+3)+\ln(2x+1) =$ \dotfill \\
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   On a les limites importantes suivantes :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln x$=\dots\dots\dots\dots\dots\dots
      \item $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=$\dots\dots\dots\dots\dots\dots 
   \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Prop}

\textbf{Conséquence :}
La droite $x=0$ est donc \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots   à la courbe représentative de la fonction $\ln$. \\

\begin{minipage}{8cm}
   D'où le tableau de variations et la courbe :\\
   \begin{center}   
   \renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|C{1}|lC{3}r|}
         \hline
         $x$ & & & \\
         \hline
         $f'(x)$ & & & \\
         \hline
         & & & \\
         $f$ & & & \\
         & & & \\
         \hline
         signe & & & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(-2,-5)(9,3)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](-1,-5)(9,3)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-5)(9,3)
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction exponentielle}

\begin{Def}
   La fonction \underline{exponentielle}, est la fonction définie sur $\R$ par $\exp(x)=e^x$, $e^x$ étant l'unique nombre réel positif dont le logarithme vaut $x$.
\end{Def}

\begin{Rem}
   On dit que la fonction exponentielle est la fonction \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots de la fonction logarithme, ce qui signifie que graphiquement, \dotfill
\end{Rem}
 
\textbf{Conséquences directes :}

\begin{itemize}
   \item $\exp(x)$ \dotfill \\
   \item $\exp(1)$ \dotfill \\
   \item $\ln(e^x)$ \dotfill \\
   \item $e^{\ln x}$ \dotfill \\
   \item Pour tout $x\in\R$ et tout $y>0$ : $y=e^x$ \dotfill \\
\end{itemize}

\begin{Prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels et $n$ est un entier relatif, alors : 
   \begin{dinglist}{169}
      \item $e^{a+b}$ \dotfill
      \item $\dfrac{1}{e^a}$ \dotfill
      \item $\dfrac{e^a}{e^b}$ \dotfill
      \item $(e^a)^n$ \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Prop}

En résumé, l'exponentielle à la particularité de transformer les sommes en \dots\dots\dots\dots\dots\dots , les différences en \dots\dots\dots\dots\dots\dots  et les multiplications en \dots\dots\dots\dots\dots\dots . (inversement au logarithme !).

\smallskip

\begin{Ex}
   Transformations d'expressions numériques et algébriques :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $e^2\times e^3\times \dfrac{1}{e^4}\times (e^{-2})^{-3}$ \dotfill \\
      \item $e^{x+3}\times e^{2x+1}$ \dotfill \\
      \item $(e^{x-2})^2$ \dotfill 
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   On a les limites importantes suivantes :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x \to -\infty}e^x$=\dots\dots\dots\dots\dots\dots
      \item $\lim\limits_{x \to +\infty}e^x$=\dots\dots\dots\dots\dots\dots
   \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Prop}

\textbf{Conséquence :}
La droite d'équation $y=0$ est donc \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots   à la courbe représentative de la fonction $\exp$.

\begin{Prop}
   La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ de dérivée $(e^x)'=$ \dotfill
\end{Prop}

\begin{minipage}{7cm}
   D'où le tableau de variations et la courbe : \\
   \begin{center}   
   \renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|C{1}|lC{3}r|}
         \hline
         $x$ & & & \\
         \hline
         $f'(x)$ & & &  \\
         \hline
         & & &  \\
         $f$ & & &  \\
         & & &  \\
         \hline
         signe & & &  \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(-7,-1)(3,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-5,-1)(3,6)
      \psaxes{->}(0,0)(-5,-1)(3,6)
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions puissance}

\begin{Def}
   Soit $\alpha$ un nombre réel, la fonction puissance (d'exposant) $\alpha$, notée $f_{\alpha}$ est la fonction qui, à tout nombre $x\in\R^*_+$ associe $$f_{\alpha}(x)=\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots  $$
\end{Def}

\begin{Ex}
Dans le cas où $\alpha=\dfrac12$, on a \dotfill
\end{Ex}

\begin{Prop}
Pour tout $\alpha$, la fonction $f_{\alpha}$ est dérivable sur $\R^*_+$ de dérivée $f'_{\alpha}(x)=$ \dotfill 
\end{Prop}

\textbf{Sens de variation : }\\
Dans le cas où $\alpha=0$, \dotfill \vspace*{0.2cm}

Dans le cas où $\alpha\not= 0$, \dotfill \\

D'où les tableaux de variation suivants :

\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      $\alpha<0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c||lC{4}r|} 
         \hline
         $x$ & & & \\ 
         \hline
         signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & & \\
         \hline
         variations & & & \\
         de $f_{\alpha}$ & & & \\
         & & & \\
         \hline
         signe de $f_{\alpha}$ & & & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
  \begin{center}
      $\alpha>0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c||lC{4}r|} 
         \hline
         $x$ & & & \\ 
         \hline
         signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & & \\
         \hline
         variations & & & \\
         de $f_{\alpha}$ & & & \\
         & & & \\
         \hline
         signe de $f_{\alpha}$ & & & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\end{multicols}

Allure des courbes représentatives des fonctions puissance : \\

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,0)(5,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
      \psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
   \end{pspicture} \\ 
   \begin{pspicture}(0,0)(5,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
      \psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{limites}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Interprétation graphique}

\underline{Limite en un point :} \\     
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-3}{4}{1 3 x add sqrt add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-2,-1)(6,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2}{1.62}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psplot[linecolor=red]{2.38}{6}{1 x -2 add x -2 add mul div}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}   
         \begin{pspicture}(-6,-6)(1,2.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psplot[linecolor=red]{-6}{-2.17}{1 2 x add div}
            \psplot[linecolor=red]{-1.5}{1}{1 2 x add div}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill
   \end{minipage}

\underline{Limite en $+\infty$ :} \\     
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.8}{4}{2 1 3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{-3.32}{2 1 3 x add div add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}   
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill
   \end{minipage}

\underline{Limite en $-\infty$ :} \\      
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{3.17}{4}{1 1 -3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{2.5}{1 1 -3 x add div add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill \\
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill \\
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.6}   
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2.4)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \dotfill \\ .\dotfill \\ .\dotfill \\
   \end{minipage}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction et $d$ la droite d'équation $y=ax+b$ tel que : \\
   .\dotfill \\
   on dit alors que la droite $d$ est une \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots   à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.
\end{Def}

\bigskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1$.
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psaxes{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psplot[linecolor=red]{-6}{-0.2}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psplot[linecolor=red]{0.35}{6}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
      \end{pspicture}
   \end{center}   
   .\dotfill \\ 
   
   .\dotfill \\ 
   
   .\dotfill \\
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limites des fonctions usuelles}

Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de référence (la notation \og $*$ \fg signifie qu'il faut appliquer la \og règle des signes \fg).
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|*{8}{C{1.3}|}}
   \hline
   $f(x)$ & $x^n$ \qquad $n\in\N$ & $\dfrac{1}{x^n}$ \qquad $n\in\N$ & $x^{\alpha}$ \qquad $\alpha\in\R^+$ & $\dfrac{1}{x^{\alpha}}$ \qquad $\alpha\in\R^+$ & $\ln x$ & $\exp x$ & $\cos x$ & $\sin x$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ & & & & & & & & \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)$ & & & & & & & & \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)$ & & & & & & & & \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ & & & & & & & & \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations sur les limites}

Dans tout ce qui suit, la notation \og FI \fg{} désigne une Forme Indéterminée, c'est à dire qu'on ne sait pas calculer par une opération élémentaire.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'une somme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|C{2}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
   \hline  
   $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~g$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~(f+g)$ & & & & & \\ 
   \hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de \og sommes \fg{} de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0}~\left(e^x+x^3\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\ln x+x^2\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right) \dotfill$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un produit}

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
      \hline  
      $\lim~f$ & $l$ & $l\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~g$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \\ 
      \hline
      $\lim~(f\times g)$ & & & & \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\bigskip

\begin{Ex}
   Calcul de \og produit \fg{} de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0}~[(e^x+3)\times(e^x-2)] \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right] \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}[(x-1)\times x^3] \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right] \dotfill$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un quotient}

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|*{6}{C{1}|}}
      \hline  
      $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~g$ & $l'\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~\left(\dfrac{f}{g}\right)$ & & & & & & \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de \og quotients \fg{} de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{e^x+3}{e^x-2}\right) \dotfill$    
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}-3}{x^2}\right) \dotfill$ 
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right) \dotfill$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Compositions}

\begin{Prop}
   Soient deux fonctions : $f$ définie de $I$ dans $J$ et $g$ de $J$ dans $\R$. \\
   Si $\Lim{\lim\limits_{x \to a}f(x)=b}{\lim\limits_{x \to b}g(x)=c}$ \quad alors \dotfill
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Calcul de "composition" de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to -\infty}~e^{x+3} \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln(2x+1) \dotfill$
      \item $\Limfill \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4} \dotfill$
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées}

Dans ce cas, toutes les situations sont {\it a priori} possibles : existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite infinie ; absence de limite. \\
Seule une étude particulière permet de lever l'indétermination.

Rappelons pour commencer les cas d'indétermination des limites :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
      \hline
      $\lim f(x)$ & $\lim g(x)$ & Limite indéterminée & type d'indétermination \\
      \hline
      & & & \\
      & & & \\
      \hline
      & & & \\
      & & & \\
      \hline
      & & & \\
      & & & \\
      \hline
      & & & \\
      & & & \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg{} :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Limfill \lim\limits_{x\to -\infty}~(3x^2-x) \dotfill$
	  \item On met $x^2$ en facteur : \dotfill \\
	  
	  \item $\Limfill \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) \dotfill$
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en $\pm \infty$ est dictée par le comportement
de son terme de plus haut degré en $\pm \infty$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} :    
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Limfill \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right) \dotfill$
	  \item Pour $x\not= 0$, on factorise par la puissance de $x$ maximale et on simplifie : \\
	  
      \hspace*{0.3cm} .\dotfill \\
	  
	  \item $\Limfill \lim\limits_{x\to +\infty}~f(x) \dotfill$     
   \end{dinglist}
\end{Ex} 
  
\smallskip

\begin{Rem}
De manière générale, le comportement d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$ est dicté par le comportement
du quotient des deux termes de plus haut degré.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $0\times \infty$ \fg{} :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Limfill \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right] \dotfill$
	  \item On développe : \dotfill \\
	  
	  \item $\Limfill \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) \dotfill$
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type \og $\dfrac00$ \fg{} :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Limfill \lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right) \dotfill$
	  \item On factorise : \dotfill \\
	  
	  \item \dotfill
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Croissance comparée de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance}

\begin{Prop}
   Pour tout nombre réel $\alpha$ strictement positif :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}}\right)=\dots\dots\dots$.
      \item $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{e^x}{x^{\alpha}}\right)=\dots\dots\dots$.
   \end{dinglist}
   \end{multicols}
\end{Prop}

\textbf{L'idée à retenir :}
Au voisinage de $+\infty$, les fonctions $x\to\ln x$, $x\to x^{\alpha}$ et $x\to e^x$ prennent des valeurs qui se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dérivation}

Dans cette partie, $f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $C$ sa courbe représentative dans un repère. $a$ et $x$ sont deux réels distincts de $I$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Nombre dérivé en un point} 

On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction $f$ au voisinage d'un point d'une courbe.

\bigskip

\begin{Ex}
Pour $h$ voisin de $0$, on a : \\
   \begin{dinglist}{212}
      \item $(1+h)^2=\dotfill$ donc, quand $h$ tend vers $0$, $(1+h)^2\approx$ \dotfill \\
      
      \item $(1+h)^3=\dotfill$ donc,  quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^3 \approx$ \dotfill \\
      
      \item $\dfrac{1}{1+h}=\dotfill$ donc, quand $h$ tend vers $0$ : $\dfrac{1}{1+h} \approx$ \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie en $a$ et au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots  s'il existe un réel $A$ est une fonction $\epsilon$ tels que, au voisinage de $h=0$, on a : \\ [15pt]
   .\dotfill  \\ [15pt]
   A est appelé \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots de $f$ en $a$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$. 
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(a+h)=\dotfill $.
      \item Donc, $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le \underline{taux de variation} de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ est le quotient : \dotfill \\
      \item Avec $x=a+h$, ce quotient s'écrit aussi : \dotfill \\
      \item $f$ est \underline{dérivable} en $a$ et on note cette dérivée $f'(a)$ si la limite suivante existe : \\[15pt]
.\dotfill
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item  le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : \\
         \hspace*{0.3cm} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dotfill$
      \item donc, $f'(a)=\dotfill$
      \item En particulier, $f'(3)=\dots\dots$, $f'(0)=\dots\dots$ ...
   \end{dinglist}   
\end{Ex}

\begin{minipage}{6cm}
   \textbf{Interprétation graphique :}\\
   Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ se rapproche du point $A$. \\
   Ainsi, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente $\mathcal{T}$ au point $A$ \\
   $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $a$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
   \begin{center}
   \begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \psplot[linewidth=0.05]{0.55}{5.46}{x x mul -1 mul 6 x mul add -4 add}
      \psdot(1,1)
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \psdot(4,4)
      \rput(4,4.3){$M$}
      \rput(4,-0.6){$a+h$}
      \rput(-1,4){$f(a+h)$}
      \rput(1.6,4.6){\textcolor{red}{$\mathcal{T}$}}
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=red]{<->}(0.5,-1)(2,5)
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction dérivée} 

\begin{Def}
  Soit $f$ une fonction dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelé \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots de $f$ sur $I$.
\end{Def}

On obtient le tableau de dérivation suivant :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{3}|C{7}|}
      \hline 
      Fonction $f$ & Fonction $f'$ & Ensemble de définition de $f$ \\ 
      \hline  
      $k$ & & \\ 
      \hline  
      $ax+b$ & & \\ 
      \hline   
      $\dfrac{1}{x}$ & & \\ 
      \hline
      $\sqrt{x}$ & & \\  
      \hline
      $x^{\alpha}$ & & \\
      \hline 
      $\ln(x)$ & & \\ 
      \hline
      $e^x$ & & \\ 
      \hline      
      $\sin(x)$ & & \\ 
      \hline
      $\cos(x)$ & & \\ 
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}
 
\smallskip

\begin{Ex}
Calcul de la dérivée des fonctions suivantes :\\
   \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
   \begin{tabular}{p{0.5cm}!{\ding{212}}lC{4}p{1cm}!{\ding{212}}lC{4}}
      & $f(x)=\pi$ & \dotfill & & $f(x)=x^3$ & \dotfill  \\
      & $f(x)=x^{\frac23}$ & \dotfill & & $f(x)=x^{2007}$ & \dotfill  \\
   \end{tabular}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Dérivées successives}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les \underline{dérivées successives} de $f$ notées : \\ [15pt]
.\dotfill
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2+x+3$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=\dotfill$
      \item $f''(x)=\dotfill$
      \item $f'''(x)=\dotfill$
      \item $f^{(4)}=\dotfill$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

En physique et en mécanique, on utilise la notation différenteielle : \qquad $\dfrac{df}{dx}=f'$ \qquad et \qquad $\dfrac{d^2f}{dx^2}=f''$

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}
   \begin{Ex}
      Dans un circuit R, L, C en série, on a :
      \begin{dinglist}{212}
         \item $i=\dfrac{dq}{dt}$.
         \item $e=-L\dfrac{di}{dt}$.
         \item donc : $e=-L\dfrac{d^2q}{dt^2}$.
      \end{dinglist}
   \end{Ex}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
   \begin{pspicture}(0,0)(5.5,3)
      \psdot(2.5,0)
      \psline(2.5,0)(0,0)(0,2)(0.5,2)
      \psframe(0.5,1.6)(2,2.4)
      \psline(2,2)(2.5,2)
      \pscurve(2.5,2)(2.75,2.4)(3,2)
      \pscurve(3,2)(3.25,2.4)(3.5,2)  
      \pscurve(3.5,2)(3.75,2.4)(4,2)       
      \psline(4,2)(4.5,2)
      \psline(4.5,1.6)(4.5,2.4)
      \psline(5,1.6)(5,2.4)
      \psline(5,2)(5.5,2)(5.5,0)(3,0)
      \psdot(3,0)
      \rput(1.25,2.7){R}
      \rput(3.25,2.7){L}
      \rput(4.75,2.7){C}     
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations}

   $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{5}|C{4}|C{4}|}
      \hline 
      Opération & Fonction & Dérivée \\ 
      \hline  
      Addition & & \\ 
      \hline  
      Multiplication par un nombre & & \\ 
      \hline  
      Multiplication & & \\ 
      \hline 
      Puissance & & \\ [9pt]
      \hline 
      Division & & \\  [9pt]
      \hline 
      Inverse & & \\  [9pt]
      \hline 
      Fonction composée & & \\ 
      \hline 
      exponentielle & & \\  [9pt]
      \hline 
      logarithme & & \\  [9pt]
      \hline 
      sinus & & \\ 
      \hline
      cosinus & & \\ 
      \hline
   \end{tabular}
\end{center} 

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de dérivées :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x)=x^3+x+3$ : \dotfill \\ [4pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=3(x^2+4)$ : \dotfill \\ [4pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=(-2x+3)(5x-3)$ : \dotfill \\ [4pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=(2x-7)^2$ : \dotfill \\ [4pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+3}$ : \dotfill \\ [10pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=\dfrac{1}{-3x+1}$ :: \dotfill \\ [10pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=e^{3x+1}$ : \dotfill \\ [5pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=\ln(-2x+5)$ : \dotfill \\ [10pt]
         .\dotfill \\
      \item $f(x)=\cos(2x+1)$ : \dotfill \\ [4pt]
         .\dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Equation de la tangente} 

\begin{Prop}
   Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.\\
   La \underline{tangente} $\mathcal{T}_a$ en $a$ à la courbe $C_f$ a pour équation : \\ [15pt]
   .\dotfill
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f(x)=x^2+2$. Les équations des tangentes en $0$ et en $-1$ sont :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=\dotfill$
      \item \dotfill
      \item \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Etude des variations d'une fonction}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction}

L'idée est qu'il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbe $\mathcal{C}$ et le sens de variation de la fonction $f$.

\begin{Prop}
   On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.
   \begin{dinglist}{169}
      \item $f$ est croissante sur $I \Longleftrightarrow$ \dotfill
      \item $f$ est décroissante sur $I \Longleftrightarrow $ \dotfill
      \item $f$ est constante sur $I \Longleftrightarrow $ \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Prop}

Il est donc possible de déterminer les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.

\medskip

\begin{Ex}
   \textbf{\'Etude d'une fonction polynôme :} \\  
   Soit $f(x)=2x^3-3x^2-12x-1$, définie et dérivable sur $\R$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $f'(x)$ \dotfill
      \item On détermine le signe de $x^2-x-2$ en cherchant ses racines et on trouve \dotfill
         \hspace*{0.3cm} .\dotfill
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction $f$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|cccC{4}ccc|}
                    \hline
                    $x$ & & & & & & & \\  [4pt]
                    \hline
                    signe de $f'(x)$ & & & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                     & & & & & & & \\ [4pt]
                     variations de $f$ & & & & & & & \\
                     & & & & & & & \\ [4pt]
                    \hline 
                 \end{tabular} \\ [15pt]
              \end{center} 
              
      \item \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   \textbf{Etude d'une fonction logarithme :} \\   
   Soit $g(x)=2x^2+1-\ln x$, définie et dérivable sur $\R_+^*$. Déterminons son sens de variation : \\
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x>0$ on a $g'(x)=$ \dotfill
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction $g$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c||lcC{4}cr|}
                    \hline
                    $x$ & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    signe de $g'(x)$ & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    variations de $g$ & & & & & \\ [4pt]
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                 \end{tabular} \\ [16pt]
              \end{center}
      \item \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   \textbf{Etude d'une fonction exponentielle :} \\  
   Soit $h(x)=(x+2)~e^{-x}$, définie et dérivable sur $\R$. Déterminons son sens de variation : \\
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=$ \dotfill
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction $h$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|lcC{4}cr|}
                    \hline
                    $x$ & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    signe de $h'(x)$ & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                    & & & & & \\ [4pt]
                    variations de $h$ & & & & & \\ [4pt]
                    & & & & & \\ [4pt]
                    \hline
                 \end{tabular} \\ [16pt]
              \end{center}
      \item \dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Extremum d'une fonction}

\begin{Prop}
   $f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$. Si $f$ admet un extremum (\dotfill) \\ [4pt]
   en $a$ distinct des extrémités de $I$, alors \dotfill
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   Attention, la réciproque n'est pas vraie : le fait que $f'(a)=0$ n'implique pas forcément qu'il existe un extremum en $a$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $f(x)=x^3$ est définie et dérivable sur $\R$.
      \item $f'(x)=3x^2$ donc, $f'(0)=0$ mais $f$ n'admet ni minimum, ni maximum en $0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}  
\begin{center}
   \psset{unit=1.5}
   \begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-1.1)(1,1.1)
      \uput{0}[0](0.6,0.8){$y=x^3$}
      \psplot[linecolor=red]{-1}{1}{x x mul x mul}
      \psline[linecolor=blue,linewidth=0.03]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{Rem}
   La tangente à la courbe en un point $a$ où $f'(a)=0$ est \dotfill
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Résolution de l'équation $f(x)=\lambda$} 

\begin{Prop}
   Si $f$ est une fonction continue, dérivable et strictement monotone \dotfill \\ [4pt]
   sur un intervalle $[~a~;~b~]$ alors, pour tout $\lambda \in [~f(a)~;~f(b)~]$, l'équation $f(x)=\lambda$ \dotfill \\ [4pt]
   .\dotfill
\end{Prop}

\begin{center}
  \psset{unit=0.8}
  \begin{pspicture}(-1,-2)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \pscurve[linecolor=red](-1,-1)(1,1)(2,3)(4,4)(6,4.5)
      \psdot(1,1)
      \psdot(4,4)
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \rput(4,4.3){$B$}
      \rput(4,-0.6){$b$}
      \rput(-0.6,4){$f(b)$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
 Soit $f(x)=x^3+x+1=0$, $f$ est définie et dérivable sur $\R$. Résolvons l'équation $f(x)=0$ à $10^{-1}$ près. \\
   \begin{dinglist}{212}
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill \\
      \item .\dotfill
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\end{document}