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\lhead[]{\small BTS DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Statistiques à une variable}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2010$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
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\newtheorem{Sol}{Solution}

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\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{STATISTIQUES \`A UNE VARIABLE}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak


Dans tout ce chapitre, on considèrera les $3$ séries statistiques suivantes :

\smallskip

\textbf{Série A :} \\
Notes obtenues à un contrôle dans une classe de $30$ élèves : $$2-3-3-4-5-6-6-7-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-9-10-10-11-11-11-13-13-15-16$$     

\smallskip

\textbf{Série B :} \\
Salaires en euros des employés d'une entreprise :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|*{8}{c|}}
      \hline
      Salaires & $[900;1200]$ &$[1200;1400]$& $[1400;1600]$ &$[1600;1800]$ & $[1800;2000]$ & $[2000;2400]$ & TOTAL \\
      \hline
      Effectif & $30$ & $30$ & $60$ & $80$ & $40$ & $40$ & $280$ \\
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
 
\smallskip
  
\textbf{Série C :} \\
Proportion d'adhérents à un club sportif dans différentes sections :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $17\%$ jouent au handball,
      \item $25\%$ houent au rugby,
      \item $58\%$ jouent au tennis.
   \end{dinglist}   
   
\smallskip
   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   I   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Méthodes de représentation}


%   I.1   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Vocabulaire}

   La \textbf{population} est l'ensemble des individus sur lesquels portent l'étude statistique. \textsf{(Par exemple la classe de BTS domotique, la popolation féminine, les fonctionnaires \dots)} dont chaque élément est appelé \textbf{individu}.

   Un \textbf{échantillon} est une partie de la population considérée.
   
   Le \textbf{caractère} (ou \textbf{variable}) d'une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu :
\begin{dinglist}{237}
   \item Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (ou \textbf{modalités}) numériques, il est \textbf{quantitatif} :
   \begin{itemize}
       \item \textbf{discret} s'il ne peut prendre que des valeurs isolées \textsf{(notes, âge \dots )}
       \item \textbf{continu} dans le cas contraire \textsf{(poids, taille \dots )}. Dans ce cas on effectue souvent un regroupement des valeurs par \textbf{classes}.
    \end{itemize}
  \item Sinon, on dit qu'il est \textbf{qualitatif} \textsf{(couleur des yeux, sport pratiqué \dots )}: les modalités ne sont pas des nombres.
\end{dinglist}

   A chaque valeur (ou classe) est associée un \textbf{effectif} $n$: c'est le nombre  d'individus associés à cette valeur.

\smallskip

   Faire des \textbf{statistiques}, c'est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données, numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat \dots

   Les plus gros "consommateurs" de statistiques sont les assureurs (risques d'accidents, de maladie des assurés), les médecins (épidémiologie), les démographes (populations et leur dynamique), les économistes (emploi, conjoncture économique), les météorologues \dots

\pagebreak

%   I.2   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Tableaux}

\begin{Def}
   On considère une série statistique $X$ à caractère quantitatif, dont les $p$ valeurs sont données par \\
   $x_1$, $x_2$, \dots, $x_p$ d'effectifs associés $n_1$, $n_2$, \dots, $n_p$ avec $n_1+n_2+...+n_p=N$.
   \begin{dinglist}{228}
      \item A chaque valeur (ou classe) est associée une \underline{fréquence} $f_i$: c'est la proportion d'individus associés \\ \hspace*{0.2cm} à cette valeur.
      \item $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ est un nombre compris entre $0$ et $1$, que l'on peut écrire sous forme de pourcentage.
      \item L'ensemble des fréquences de toutes les valeurs du caractère s'appelle la \underline{distribution des fréquences} \\ \hspace*{0.2cm} de la série statistique.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   On peut représenter la \textbf{série A} par un tableau d'effectifs, et le compléter par la distribution des fréquences :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|*{19}{C{0.4}|}}
      \hline       
      Notes & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ & $19$ \\
      \hline
      Eff. & $0$ & $1$ & $2$ & $1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $5$ & $6$ & $2$ & $3$ & $0$ & $2$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ 
      \hline
      Fréq. en \% & $0$ & $3$ & $7$ & $3$ & $3$ & $7$ & $10$ & $17$ & $20$ & $7$ & $10$ & $0$ & $7$ & $0$ & $3$ & $3$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ 
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   On peut vérifier que la somme des fréquences est égale à $1$ (ou à $100$ si on les exprime en pourcentages).
\end{Rem}

   On peut aussi faire un regroupement par classe, ce qui rend l'étude moins précise, mais qui permet d'avoir une vision plus globale.

\smallskip

\begin{Ex}
   Toujours pour la \textbf{série A}, si on regroupe les données par classes d'amplitude $5$ points, on obtient :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|*{6}{C{2}|}}
      \hline       
      Notes & $[~0~;~5~[$ & $[~5~;~10~[$ & $[~10~;~15~[$ & $[~15~;~20~[$ & total \\
      \hline
      Effectif & $4$ & $17$ & $7$ & $2$ & $30$ \\
      \hline
      Fréquence & $0,13$ & $0,57$ & $0,23$ & $0,07$ & $1$ \\
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
\end{Ex}


%   I.3   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Graphiques}

   Lorsque le caractère étudié est \textbf{quantitatif et discret}, on peut représenter la série statistique étudiée par un \textbf{diagramme en bâtons}: la hauteur de chaque bâton est alors proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) associé à chaque valeur.

\smallskip

\begin{Ex}
   Voici le diagramme en bâtons représentant la série des notes de la \textbf{série A} :
   \begin{center}
     \psset{unit=0.7cm}
     \begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(20,6.3)
         \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-0.5)(20,6)
         \psaxes{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(20,6)   
         \psline[linewidth=0.1](2,0)(2,1)
         \psline[linewidth=0.1](3,0)(3,2)
         \psline[linewidth=0.1](4,0)(4,1)
         \psline[linewidth=0.1](5,0)(5,1)
         \psline[linewidth=0.1](6,0)(6,2)
         \psline[linewidth=0.1](7,0)(7,3)
         \psline[linewidth=0.1](8,0)(8,5))
         \psline[linewidth=0.1](8.8,0)(8.8,6)
         \psline[linewidth=0.1](9.8,0)(9.8,2)
         \psline[linewidth=0.1](10.8,0)(10.8,3)
         \psline[linewidth=0.1](12.8,0)(12.8,2)
         \psline[linewidth=0.1](14.8,0)(14.8,1)
         \psline[linewidth=0.1](15.8,0)(15.8,1)
         \rput(0,6.4){\small Effectif}
         \rput(20,0.4){\small Notes}
      \end{pspicture}
   \end{center}  
\end{Ex}

   Lorsque le caractère étudié est \textbf{quantitatif et continu}, et lorsque les modalités sont regroupées en classes, on peut représenter la série par un \textbf{histogramme}: l'aire de chaque rectangle est alors proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe.\\
   Lorsque les classes ont la même \textbf{amplitude}, c'est la hauteur qui est proportionnelle à l'effectif. \\

\begin{Ex}
   Pour la \textbf{série B}, on obtient par exemple l'histogramme suivant :
   \begin{center}
   \psset{unit=0.9,linecolor=gray,fillstyle=hlines}
   \begin{pspicture}[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](8,-0.3)(25,5.8)
      \psgrid[labels=none](8,0)(25,6)
      \psaxes[labels=none](8,0)(25,6)   
      \pspolygon(9,0)(9,2)(12,2)(12,0)
      \pspolygon(12,0)(12,3)(14,3)(14,0)
      \pspolygon(14,0)(14,6)(16,6)(16,0)
      \pspolygon(16,0)(16,4)(18,4)(18,0)
      \pspolygon(18,0)(18,2)(20,2)(20,0)
      \pspolygon(20,0)(20,1)(24,1)(24,0)
      \pspolygon(22,5)(22,6)(23,6)(23,5)
      \rput(9,-0.4){$900$}
      \rput(12,-0.4){$1200$}
      \rput(14,-0.4){$1400$}
      \rput(16,-0.4){$1600$}
      \rput(18,-0.4){$1800$}
      \rput(20,-0.4){$2000$}
      \rput(24,-0.4){$2400$}
      \rput(21,5.5){\small Légende :}
      \rput(24.1,5.5){\small $5$ salariés}
      
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{Ex}

   Enfin, lorsque le caractère est \textbf{qualitatif}, on peut représenter la série par :
   
   $\bullet$ \textbf{Un diagramme circulaire} (\og camemberts\fg) : \\
   La mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l'effectif associé. \\

$\bullet$ \textbf{Un diagramme en tuyaux d'orgue :} \\
   Chaque classe est représentée par un rectangle de même largeur et de longueur proportionnelle à l'effectif, donc à la fréquence.
   
 $\bullet$ \textbf{un diagramme en bandes :} \\
   Chaque classe est représentée par un rectangle de même largeur et de longueur proportionnelle à l'effectif, donc à la fréquence.
   
\smallskip
    
\begin{Ex}
   Diagrammes de la \textbf{série C}
   
   \begin{multicols}{3}
      \begin{flushleft}
      \psset{unit=0.8}
      \begin{pspicture}(-3,-4)(3,4)
         \pscircle(0,0){3}
         \pswedge(0,0){3}{0}{61}
         \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){3}{61}{150}
         \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0){3}{150}{360}
         \rput(1.8,0.8){\small Handball}
         \rput(-0.4,1.6){\small Rugby}
         \rput(-0,-1.6){\small Tennis}
      \end{pspicture} \\
      Diagramme circulaire
      \end{flushleft}
      \begin{center}
      \psset{unit=0.85}
      \begin{pspicture}(0,-1)(10,7) 
         \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(10,6)        
         \pspolygon(1,0)(3,0)(3,1.7)(1,1.7)
         \rput(2,-0.5){\small Handball}  
         \rput(2,0.8){$17\%$}
         \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(6,0)(6,2.5)(4,2.5)
         \rput(5,-0.5){\small Rugby}
         \rput(5,1.2){$25\%$}
         \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7,0)(9,0)(9,5.8)(7,5.8)
         \rput(8,-0.5){\small Tennis}
         \rput(8,3){$58\%$}
      \end{pspicture} \\
      Diagramme en tuyau d'orgue
      \end{center}       
      \begin{flushright}
      \psset{unit=0.7}
      \begin{pspicture}(0,-0.5)(4,10) 
         \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0)(4,0)(4,5.8)(0,5.8)
         \rput(2,3.1){\small Tennis}
         \rput(2,2.5){\small $58\%$}
         \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,5.8)(4,5.8)(4,8.3)(0,8.3)
         \rput(2,7.1){\small Rugby}
         \rput(2,6.5){\small $25\%$}      
         \pspolygon(0,8.3)(4,8.3)(4,10)(0,10)
         \rput(2,9.5){\small Handball}
         \rput(2,8.9){\small $17\%$}
      \end{pspicture} \\
      Diagramme en bandes
      \end{flushright}      
   \end{multicols}
\end{Ex}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   II   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Caractéristiques de position}

   Dans le premier paragraphe, on a commencé à condenser les informations pour les rendre plus lisibles. \\
   Dans ce deuxième paragraphe, on va synthétiser encore davantage l'information pour les caractères quantitatifs en cherchant quelques nombres permettant de décrire au mieux la population observée.
 
%   II.1   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Moyenne}

\begin{Def}
   Soit une série statistique à caractère quantitatif, dont les $p$ valeurs sont données par $x_1$, $x_2$, \dots, $x_p$ d'effectifs associés $n_1$, $n_2$, \dots, $n_p$ avec $n_1+n_2+...+n_p=N$. \\ 
   La \underline{moyenne pondérée} de cette série est le nombre noté $\overline{x}$ qui vaut   $$\overline{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}{n_ix_i}.$$
\end{Def}

\smallskip

\begin{Rem}
   Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs $x_i$ le \textbf{centre de chaque classe}; ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrémités de la classe.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
     \item Dans la \textbf{série A}, la moyenne du contrôle est égale à $\overline{m}=\dfrac{254}{30}\approx 8,47$.
     \item Dans la \textbf{série B}, une estimation du salaire moyen est donné par : $\overline{S}=\dfrac{460500}{280}\approx 1644,64$. 
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   On peut aussi calculer une moyenne à partir de la distribution de fréquences : $$\overline{x} =f_1x_1+f_2x_2+\dots +f_px_p =\sum_{i=1}^p f_ix_i.$$
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Prop}[Linéarité de la moyenne]
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si on ajoute (ou soustrait) un même nombre $k$ à toutes les valeurs d'une série, alors la moyenne \\ \hspace*{0.2cm}de cette série se trouve augmentée (resp. diminuée) de $k$.
      \item Si on multiplie (ou divise) par un même nombre non nul $k$ toutes les valeurs d'une série, alors la \\ \hspace*{0.2cm}moyenne de cette série se trouve multipliée (resp. divisée) par $k$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère la \textbf{série A} :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Si on ajoute $1,5$ points à chaque note du contrôle, alors la moyenne de classe devient \\
         \hspace*{0.2cm} $\overline{m}=8,47+1,5=9,97$.
      \item Si on augmente chaque note de $10\%$, cela revient à multiplier chaque note par $1,1$, ce qui donne \\ 
         \hspace*{0.2cm} $\overline{m}=8,47\times1,1=9,32$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}[Moyenne par sous-groupes]
   Soit une série statistique, d'effectif total $N$, de moyenne $\overline{x}$. \\
   Si on divise cette série en deux sous-groupes \textbf{disjoints} d'effectifs respectifs $p$ et $q$ (avec $p+q=N$) de moyennes respectives $\overline{x}_1$ et $\overline{x}_2$, alors on a : $$\overline{x}=\dfrac{p}{N} \times \overline{x}_1+\dfrac{q}{N} \times \overline{x}_2.$$
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   On suppose par exemple que les $12$ garçons de la classe de la \textbf{série A} ont obtenu une moyenne globale de $8$ sur $20$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item La moyenne du groupe formé par les filles de la classe vérifie : $9,47 =\dfrac{12}{30}\times 8+\dfrac{18}{30} \times \overline{m}_f$ .
      \item Soit $\overline{m}_f=\dfrac{30}{18}\left(9,47-\dfrac{12}{30}\times 8\right)=10,45.$
   \end{dinglist}
\end{Ex}
 
%   II.2   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Médiane}

\begin{Def}
   Soit une série statistique ordonnée dont les $n$ valeurs sont $x_1\leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant \dots \leqslant x_n$. \\
   La \underline{médiane} est un nombre $M$ qui permet de diviser cette série en deux sous-groupes de même effectif.
   \begin{dinglist}{228}
      \item Si $n$ est \underline{impair}, $n$ est la valeur de cette série qui est située au milieu, à savoir la valeur dont le \\ \hspace*{0.3cm} rang est $\dfrac{n+1}{2}$, notée $x_{\frac{n+1}{2}}$.
      \item Si $n$ est \underline{pair}, $n$ est le centre l'intervalle médian, qui est l'intervalle formé par les deux nombres \\ \hspace*{0.3cm} situés \og au milieu \fg{} de la série, à savoir $x_{\frac{n}{2}}$ et $x_{\frac{n}{2}+1}$.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La médiane de la série \og $2-5-6-8-9-9-10$ \fg{} est $8$.
      \item La médiane de la série \og $2-5-6-8-9-9$ \fg{} est $7$.
      \item La médiane de la série \og $2-5-6-6-9-10$ \fg{} est $6$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   On souhaite calculer la médiane de la \textbf{série A}.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour cela, on commence par remplir le tableau des effectifs cumulés croissants : \\
         \begin{center}
         \begin{tabular}{|*{20}{c|}}
            \hline
            Notes & $01$ & $02$ & $03$ & $04$ & $05$ & $06$ & $07$ & $08$ & $09$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ & $19$ \\
            \hline
            Eff. & $0$ & $1$ & $2$ & $1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $5$ & $6$ & $2$ & $3$ & $0$ & $2$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
            \hline
            ECC. & $0$ & $1$ & $3$ & $4$ & $5$ & $7$ & $10$ & \ovalbox{$15$} & \ovalbox{$21$} & $23$ & $26$ & $26$ & $28$ & $28$ & $29$ & $30$ & $30$ & $30$ & $30$ \\
            \hline
         \end{tabular}
         \end{center} \\
         
      \item Ensuite, l'effectif étant de $30$, on chosit la moyenne entre la $15^{ième}$ et la $16^{ième}$ note. \\
         \hspace*{0.2cm} On obtient $Med=\dfrac{8+9}{2}=8,5$.
      \item Ce qui signifie que la moitié des notes est inférieure ou égale à $8,5$, et que l'autre moitié des notes est supérieure \\ \hspace*{0.2cm} ou égale à $8,5$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\pagebreak

Dans le cas de répartition par classes, la médiane peut être évaluée soit graphiquement, soit par interpolation affine à l'aide d'un polygône des effectifs cumulés.

\medskip

\begin{Ex}
   On choisit la répartition par classes de la \textbf{série A} :
   \begin{dinglist}{212}
      \item On commence par créer le tableau des fréquences cumulées croissantes : \\
         \hspace*{0.2cm} (On en profite aussi pour indiquer les fréquences cumulées décroissantes). \\      
         \begin{center}
         \begin{tabular}{|*{5}{C{2}|}}
            \hline       
            Notes & $[~0~;~5~[$ & $[~5~;~10~[$ & $[~10~;~15~[$ & $[~15~;~20~[$ \\
            \hline
            Fréq. en \% & $13$ & $57$ & $23$ & $7$ \\
            \hline
            F.c.c. & $13$ & $70$ & $93$ & $100$ \\
            \hline
            F.c.d. & $87$ & $43$ & $7$ & $0$ \\
            \hline
         \end{tabular}
         \end{center}
      \item Puis on place les points correpondants aux extrémités de chaque classe sur un graphique :
         \begin{center} 
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(20,11.5)
            \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-0.5)(20,10)
            \psaxes[Dx=5,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(20,10)   
            \psline[linecolor=red](0,0)(5,1.3)(10,7)(15,9.3)(20,10)
            \psline[linecolor=blue](0,10)(5,8.7)(10,3)(15,0.7)(20,0) 
            \psline[linestyle=dashed]{->}(0,5)(8.245,5)(8.245,0)       
            \rput(0,10.7){\small Effectif en \%}
            \rput(20,-0.5){\small Notes}
            \rput(-0.3,2){$0$}
            \rput(-0.3,4){$0$}
            \rput(-0.3,6){$0$}
            \rput(-0.3,8){$0$}
            \rput(-0.4,-0.5){$0$}
            \rput(-0.5,10){$100$}
            \rput(8.25,-0.5){Med.}
            \rput(19,9.5){\textcolor{red}{F.c.c.}}
            \rput(1,9.3){\textcolor{blue}{F.c.d.}}
            \psdot(8.245,5)
            \psdots[linecolor=red](5,1.3)(10,7)         
         \end{pspicture}
         \end{center}
      \item On détermine le point du polygône d'ordonnée $50\%$ et on trouver eniron $8,2$.
      \item Pour trouver la médiane, on peut aussi tracer le polygône des fréquences cumulées décroissantes et lire l'abscisse \\ \hspace*{0.2cm} du point de concours des deux polygônes. On trouve aussi $8,2$.
      \item Enfin, par le calcul, $50\%$ se situe dans l'intervalle $[~5~;~10~[$. \\
         \hspace*{0.2cm} On fait l'hypothèse que les longeurs des axes sont uniformément réparties dans cette classe. \\
         \hspace*{0.2cm} On peut alors procéder à une interpolation linéaire d'après le théoème de Thalès :
         \begin{center} 
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-0.5,-1.3)(11,8.5)
            \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-0.5)(11,8)
            \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(11,8)   
            \psline[linecolor=red](5,1.3)(10,7) 
            \psline[linestyle=dashed](0,1.3)(5,1.3)(5,0)
            \psline[linestyle=dashed](0,7)(10,7)(10,0)
            \psline[linestyle=dashed](0,5)(8.25,5)(8.25,0)
            \psline[linestyle=dashed](5,1.3)(10,1.3)
            \rput(8.25,-0.5){$M$}
            \rput(5,-0.5){$5$}
            \rput(10,-0.5){$10$}
            \rput(-0.5,1.3){$13$}
            \rput(-0.5,7){$70$}
            \rput(-0.5,5){$50$}
            \psdot(8.245,5)     
         \end{pspicture}
         \end{center}
         \hspace*{0.2cm} $\dfrac{M-5}{10-5}=\dfrac{50-13}{70-13} \Longleftrightarrow \dfrac{M-5}{5}=\dfrac{37}{57} \Longleftrightarrow M=5\times\dfrac{37}{57}+5 = \dfrac{470}{57} \approx 8,25$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%   II.3   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Quartiles, déciles ...}

\begin{Def}
   Soit une série statistique.
   \begin{dinglist}{228}
      \item On appelle \underline{quartiles} de la série un triplet de réels $(~Q_1~;~Q_2~;~Q_3~)$ qui sépare la série en quatre \\
         \hspace*{0.2cm} groupes de même effectif.
      \item On appelle \underline{déciles} de la série un $9$-uplet de réels $(~D_1~;~D_2~;~...~;~D_9~)$ qui sépare la série en dix \\
         \hspace*{0.2cm} groupes de même effectif.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Rem}
   Par définition, si $X$ est une série statistique, $Q_2=D_5=Med(X)$.
\end{Rem}

Le calcul des valeurs des quartiles ou des déciles se fait en général à partir des graphiques des effectifs (ou fréquences) cumulés croissants, par interpolation linéaire. \\
La calculatrice donne les valeurs de $Q_1$, $Med$ et $Q_3$.

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour la \textbf{série A}, la calculatrice nous donne $Q_1=7$, $Méd=8,5$ et $Q_3=10$.
      \item Graphiquement, on trouve $D_1\approx 3,8$ et $D_9\approx 14,2$.
      \item Pour la \textbf{série B}, on trouve $Q_1=1500$, $Med=1700$ et $Q_3=1900$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   III   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Caractéristiques de dispersion}


%   III.1   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Etendue}

Il s'agit de la première mesure de la dispersion d'une série statistique. Son principal mérite a longtemps été d'exister, et de fournir une information sur la dispersion très simple à obtenir. 

\smallskip

\begin{Def}
   Soit $X$ une série statistique discrète. On appelle \underline{étendue} de la série le réel, défini par \\ $Etd(X)=\max(X)-\min(X)$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   L'étendue de la \textbf{série A} est de $16-2=14$.
\end{Ex}


%   III.2   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Intervalle interquartille}

\begin{Def}
   On appelle \underline{intervalle inter-quartiles} l'intervalle $[~Q_1~;~Q_3~]$. \\
   L'amplitude de cet intervalle est appelée \underline{écart inter-quartiles}.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Dans la \textbf{série A}, l'intervalle interquartile est l'intervalle $[~7~;~10~]$ dont l'écart vaut $10-7=3$.
      \item Cet intervalle comprend donc la moitié des notes de la série située au centre de celle-ci.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\pagebreak

%   III.3   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Variance d'une série statistique}

\begin{Def}
La \underline{variance} d'une série statistique est le nombre noté $V(x)$ obtenu comme moyenne des carrés des écarts constatés par rapport à la moyenne de la série :
$$V(X) =\dfrac{n_1(x_1-\bar{x})^2+n_2(x_2-\bar{x})^2+...+n_p(x_p-\bar{x})^2}{n_1+n_2+...+n_p}} =\dfrac1N\sum_{i=1}^pn_i(x_i-\bar{x})^2.$$
\end{Def}

\smallskip

\begin{Rem}
   Cette formule s'applique bien sûr au cas d'une série statistique sans coefficients : on est ramené à une série
pour laquelle tous les coefficients valent $1$.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   La variance de la \textbf{série B} vaut : \\
   $V(X) =\dfrac{30(1050-1645)^2+30(1300-1645)^2+...+40(2200-1645)^2}{280}} \approx 109346$.
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   On utilise aussi la formule : 
   $$V(X)=\dfrac1N\sum_{i=1}^pn_ix_i^2-\bar{x}^2.$$
\end{Prop}

%   III.6   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Ecart-type d'une série statistique}

\begin{Def}
   L'\underline{écart-type} d'une série statistique $X$, noté $\sigma(X)$, est la racine carrée de la variance de cette série : $$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}.$$
\end{Def}

\begin{Ex}
   L'écart-type de la \textbf{série B} vaut : $\sigma (X)=\sqrt{109561}= 331$.
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   La variance et l'écart-type présentent les propriétés suivantes :
   \begin{dinglist}{169}
      \item La variance et l'écart-type sont des nombres positifs ou nuls,
      \item Une variance nulle ou un écart-type nul signifient que toutes les valeurs de la série son égales à \\ \hspace*{0.2cm}sa moyenne,
      \item Plus la variance (ou l'écart-type) d'une série est grande, plus cette série est dispersée autour de \\ \hspace*{0.2cm}sa moyenne,
   \end{dinglist}
\end{Prop}





\end{document}