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\lhead[]{\small BTS~DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Calcul matriciel}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2010$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
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\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\slshape}
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\newshadedtheorem{Def}{Définition}
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\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}


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%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3} 


\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{Calcul matriciel}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   I   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Matrices}

\begin{Def}
   Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. \\
   Une \textbf{matrice} $n\times p$ est un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes, que l'on note
$$A= \begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
        a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np}
     \end{pmatrix} \quad \mbox{ou} \quad
A= \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq n;1\leq j\leq p}$$
Le premier indice $i$ désigne la ligne, le deuxième $j$ la colonne.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La matrice $A= \begin{pmatrix}
                              1 & 17 & 0 \\
                              \frac12 & \sqrt5 & 5
                           \end{pmatrix}$ est une matrice $2\times3$ à deux lignes et trois colonnes.
      \item $a_{23}$ est le coefficient situé à l'intersection de la $2^{ième}$ ligne et de la $3^{ième}$ colonne, il vaut $5$.
   \end{dinglist} 
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Def}
   Soit $A$ une matrice $n\times p$. 
   \begin{dinglist}{228}
      \item Si $p=1$, $A$ est une \textbf{matrice colonne} : $A= \begin{pmatrix} 
         a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n
      \end{pmatrix}$
      \item Si $n=1$, $A$ est une \textbf{matrice ligne} : $A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_p \end{pmatrix}$
      \item Si $n=p$, $A$ est une \textbf{matrice carrée}. Les coefficients $a_{ii}$ sont appelés coefficients diagonaux :
         $$A= \begin{pmatrix}
                 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
                 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
                 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
                 a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
              \end{pmatrix}$$
     \item La matrice $n\times p$ dont tous les coefficients sont nuls s'appelle la \textbf{matrice nulle}.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La matrice $M= \begin{pmatrix}
                             2 \\ -3
                           \end{pmatrix}$ est une matrice colonne.
      \item La matrice $N= \begin{pmatrix}
                              -1 & 2 & 7 & 5 \\        
                           \end{pmatrix}$ est une matrice ligne.
      \item La matrice $P= \begin{pmatrix}
                              2 & 21 & -3 \\
                              1 & -1 & 6 \\
                              -4 & 0 & \pi  
                           \end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'orde $3$.
      \item La matrice $O= \begin{pmatrix}
                              0 & 0 & 0 \\
                              0 & 0 & 0 
                           \end{pmatrix}$ est une matrice nulle.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\textbf{Matrices carrées particulières :}

Soit $A=\left(a_{ij}\right)$ une matrice carrée de taille $n$.
\begin{itemize}
   \item Si $a_{ij}=0$ dès que $i>j$, $A$ est appelée matrice \textbf{triangulaire supérieure} : 
      $$A= \begin{pmatrix}
         a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
         0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & a_{nn}
      \end{pmatrix}$$
   \item Si $a_{ij}=0$ dès que $i<j$, $A$ est appelée  matrice \textbf{triangulaire inférieure} :
      $$A= \begin{pmatrix}
         a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
         a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np}
      \end{pmatrix}$$
   \item Si $a_{ij}=0$ dès que $i\not=j$, $A$ est appelée \textbf{matrice diagonale} :
      $$A= \begin{pmatrix}
         a_{11} &  0 & \cdots & 0 \\
         0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & a_{nn}
      \end{pmatrix}$$
   \item Si de plus les termes diagonaux sont tous égaux à $1$, elle est appelée \textbf{matrice unité} :
      $$A= \begin{pmatrix}
         1 &  0 & \cdots & 0 \\
         0 & 1 & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & 1
      \end{pmatrix}$$
   \end{itemize}

\vspace{1cm}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Matrice triangulaire supérieure : $T= \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 \\
            0 & 4 & 0 \\
            0 & 0 & 6
         \end{pmatrix}$
      \item Matrice triangulaire inférieure : $V= \begin{pmatrix}
            1 & 0 \\
            5 & 6
         \end{pmatrix}$
      \item Matrice diagonale : $D= \begin{pmatrix} 
            -1 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 5 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 17 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & e
         \end{pmatrix}$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   Les matrices $A=\left(a_{ij}\right)$
et $B=\left(b_{ij}\right)$ de dimension $n\times p$ sont
\textbf{égales} ssi $a_{ij}=b_{ij}$ pour tous $i,j$.
\end{Prop}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   II   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Opérations sur les matrices}


%%%   II.1   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Prop}[Multiplication d'une matrice par un scalaire]
   Si $A=\left(a_{ij}\right)$ et $\lambda\in\R$, on définit $\lambda A$ comme étant la matrice $C=\left(c_{ij}\right)$ telle que $c_{ij}=\lambda a_{ij}$ pour tous $i,j$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
On considère la matrice $A= \begin{pmatrix}
      \frac12 & 1 \\
      0 & -\frac34
   \end{pmatrix}$, \quad alors $-2A= \begin{pmatrix}
      -2\times\frac12 & -2\times1 \\
      -2\times0 & -2\times-\frac34
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
      -1 & -2 \\
      0 & \frac32
   \end{pmatrix}$
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}[Somme de deux matrices de même taille]
   Si $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ sont deux matrices $n\times p$, on définit la somme $A+B$ comme étant la matrice $C=\left(c_{ij}\right)$ de taille $n\times p$ telle que $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ pour tous $i,j$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Somme de dexu matrices $2\times3$ :
      $$\begin{pmatrix}
         1 & 0 & -1 \\
         2 & 1 & 4
      \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
         0 & -1 & -2 \\
         -3 & 1 & 5
      \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
         1+0 & 0-1 & -1-2 \\
         2-3 & 1-1 & 4+5
      \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
         1 & -1 & -3 \\
         -1 & 2 & 9
      \end{pmatrix}$$
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}[Produit de deux matrices]
   Soit $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $n\times p$ et $B=\left(b_{jk}\right)$ de taille $p\times q$, on définit le produit $A\times B$ (aussi noté $AB$) comme étant la matrice $C=\left(c_{ik}\right)$ définie par $c_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p a_{ij}b_{jk}$ pour $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq q$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   Le produit n'est défini que si le nombre de
colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.
\end{Rem}

\renewcommand{\arraystretch}{1.7} 
\textbf{Présentation du calcul :}
   $$\begin{array}{cc}
      & \begin{pmatrix}
           ~~0~~ & ~~1~~ & ~~1~~ \\
           2 & 2 & 0 \\
           -1 & 3 & 1
        \end{pmatrix}\\ [1cm]
      \begin{pmatrix}
         ~~1~~ & ~~2~~ & ~~-1~~ \\
         1 & 0 & 3
      \end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
         ~~\cdot~~ & ~~c_{12}~~ & ~~\cdot~~ \\
         \cdot & \cdot & \cdot
      \end{pmatrix}
   \end{array}$$
   \psline[linecolor=red]{->}(6.2,1.9)(10.4,4)
   \psline[linecolor=red]{->}(7.2,1.9)(10.4,3.2)
   \psline[linecolor=red]{->}(8.3,1.9)(10.4,2.4)
   \psframe[linecolor=blue](6,1.1)(8.6,1.8)
   \psframe[linecolor=blue](10.5,2.1)(11.2,4.4)
   \psframe[linecolor=blue](10.5,1.1)(11.2,1.8)
   
   on a donc $c_{12}=1\times1+2\times2-1\times3=2.$
   
   On obtient donc :
   \renewcommand{\arraystretch}{1.2}    
   $ \begin{pmatrix}
           1 & 2 & -1 \\
           1 & 0 & 3
        \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
           0 & 1 & 1 \\
           2 & 2 & 0 \\
           -1 & 3 & 1
        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
           5 & 2 & 0 \\
           -3 & 10 & 4
        \end{pmatrix}  
\end{document}