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\lhead[]{\small $T$^{ale} BTS~DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Fonctions circulaires / Estimations}}
\rhead[]{\small {Mardi $8$ décembre $2009$}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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\newtheorem{Exo}{\ding{50}~~Exercice}
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\begin{document}


\setlength{\parindent}{0cm}


\bigskip

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$4$
   \end{LARGE}}
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}[Fonctions circulaires]

On considère la fonctions $f$ définie sur l'intervalle $I=\left[~-\dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{3\pi}{2}~\right]$ par $f(x) =e^{-x}(\cos x-\sin x)$.
\begin{enumerate}
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item Montrer que $f'(x) =-2e^{-x}\cos x$.
      \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $I$.
      \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $I$.
   \end{enumerate}
   \item Construire le tableau de valeurs de $f$ pour les valeurs suivantes : \\
      $-\dfrac{3\pi}{2}$; $-\pi$; $-\dfrac{\pi}{2}$; $-\dfrac{\pi}{4}$; $0$; $\dfrac{\pi}{2}$; $\dfrac{3\pi}{4}$; $\pi$; $\dfrac{3\pi}{2}$. \\
      \textit{On donnera les valeurs arrondies à $0,01$.}
   \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentatives de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique $2$ cm.
   \begin{enumerate}
      \item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
      \item Construire la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle $I$.
   \end{enumerate}
\end{enumerate} 
    
\end{Exo}


\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}[Statistiques inférentielles : estimation]

Sur une portion de route où la vitesse des véhicules est limitée à $90$ km/h, on effectue un contrôle des vitesses avec un instrument de mesure de grande précision. \\
On mesure la vitesse (en km/h) d'un véhicule sur vingt et on obtient les résultats suivants pour un échantillon de $100$ véhicules que l'on assimile à un échantillon obtenu par prélèvement aléatoire avec remise : \\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
   \hline
   Vitesse (en km/h) & Effectif \\
   \hline
   $[~75~;~80~[$ & $5$ \\
   \hline
   $[~80~;~85~[$ & $10$ \\
   \hline
   $[~85~;~90~[$ & $20$ \\
   \hline
   $[~90~;~95~[$ & $36$ \\
   \hline
   $[~95~;~100~[$ & $15$ \\
   \hline
   $[~100~;~105~[$ & $8$ \\
   \hline
   $[~105~;~110~[$ & $6$ \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
   \item En supposant que les valeurs observées sont celles du centre de la classe, calculer, à $10^{-2}$ près, la moyenne $\overline x$ et l'écart-type $s$ des vitesses pour cet échantillon.
   \item \`A partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu $ et de l'écart-type $\sigma$ des vitesses des $2000$ véhicules de la population observée.
   \item On suppose que la variable aléatoire $\overline X$ qui, à tout échantillon de taille $n =100$ obtenu comme précédemment, associe la moyenne des vitesses de l'échantillon, suit la loi normale ${\calN} (\mu, \sigma /\sqrt n)$. On prend pour valeur de $s$ l'estimation ponctuelle obtenue au 2.
   \begin{enumerate}
      \item Déterminer un intervalle de confiance de la vitesse moyenne $\mu $ de la population avec le coefficient de confiance $99\% $.
      \item Quelle doit être la taille minimale $n$ de l'échantillon pour connaître, avec le coefficient de confiance $95\% $ la vitesse moyenne de la population à $0,5$ km/h  près ?
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{Exo}



\pagebreak %____%________%_CORRECTION %_______%______%____%

\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
\setcounter{Exo}{0}

\begin{center}
\textbf{Correction}
\end{center}

\begin{large}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}

\begin{enumerate}
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item $f'(x) =-e^{-x}(\cos x-\sin x)+e^{-x}(-\sin x-\cos x)$\\
      $f'(x) =e^{-x}(-\cos x+\sin x-\sin x-\cos x)$ \\
      \fbox{$f'(x) =-2e^{-x}\cos x$} \\
      
      \item On obtient le tableau de signes suivant : \\
      \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\dfrac{3\pi}{2}$ & & $-\dfrac{\pi}{2}$ & & $\dfrac{\pi}{2}$ & & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ [5pt]
         \hline
         signe de $-2e^{-x}$ & & $-$ & | & $-$ & | & $-$ & \\ 
         \hline
         signe de $\cos x$ & & $-$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\ 
         \hline
      \end{tabular} \\
      
      \item D'où le tableau de variations : \\
      \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\dfrac{3\pi}{2}$ & & $-\dfrac{\pi}{2}$ & & $\dfrac{\pi}{2}$ & & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ [5pt]
         \hline
         & & & $e^{\pi/2}$ & & & & $e^{3\pi/2}$ \\
         Variations de $f$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
         & $-e^{3\pi/2}$ & & & & $-e^{-\pi/2}$ & & \\
         \hline
      \end{tabular} \\
   \end{enumerate} \\
   
   \item Tableau de valeurs : \\
   \begin{tabular}{|C{1}|C{1.5}|C{1.5}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
      \hline
      $x$ & $-\dfrac{3\pi}{2}$ & $-\pi$ & $-\dfrac{\pi}{2}$ & $-\dfrac{\pi}{4}$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\pi$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ [5pt]
      \hline
      $f(x)$ & $-111,32$ & $-23,14$ & $4,81$ & $3,10$ & $1$ & $-0,21$ & $-0,13$ & $-0,04$ & $0,01$ \\
      \hline
   \end{tabular} \\

   \item
   \begin{enumerate}
      \item $\mathcal{T} :y =f'(0)(x-0)+f(0)$ avec $f'(0) =-2e^0\cos0 =-2$ et $f(0) =e^0(\cos0-\sin0) =1$. \\
      \fbox{$\mathcal{T} :y-2x+1$} \\
      
      \item Représentation graphique : \\
      
\pagebreak
           
      \begin{center}
      \begin{pspicture}(0,0)(15,10)
         \includegraphics[width=15cm]{./fonction_ds4}
      \end{pspicture}
      \end{center}
   \end{enumerate}
\end{enumerate} 
    
\end{Exo}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}

\begin{enumerate}
   \item La calculatrice nous donne : \fbox{$\overline x =92,2$ et $s =7,17$} \\
   
   \item On obtient donc les estimations ponctuelles : \fbox{$\mu =92,2$ et $\sigma =7,17\sqrt{\dfrac{100}{99}} =7,21$} \\
   
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item L'intervalle est : $I =\left[~\mu-t\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}~;~\mu+t\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}~\right]$ avec $2\Pi(t)-1=0,99$. \\
      D'où $\Pi(t) =\dfrac{1+0,99}{2} =0,995$ soit $t =2,575$. \\
      $I =\left[~92,2-2,575\times\dfrac{7,21}{\sqrt{100}}~;~92,2+2,575\times\dfrac{7,21}{\sqrt{100}}~\right]$. \\
      \fbox{L'intervalle de confiance de $\mu$ avec le coefficient de confiance de $99\%$ est $[~90,3~;~94,1~]$} \\
      
      \item Si l'on veut connaître la vitesse moyenne à $0,5$ km/h près, l'intervalle de confiance doit avoir une amplitude de $2\times0,5 =1$ km/h. \\
      Donc : $\left(\mu+t\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\mu-t\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =2t\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =1$. \\
      $\sqrt{n} =2t\sigma$ ou encore $n =(2t\sigma)^2$. \\
      Or, $2\Pi(t)-1 =0,95 \Longleftrightarrow t=1,95$, \\
      d'où $n =(2\times1,96\times7,21)^2 =798,8$. \\
      \fbox{L'échantillon doit avoir une taille minimale de $799$ résultats}
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{Exo}

\end{large}

\end{document}