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\lhead[]{\small $1$^{ère} BTS\;DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{\'Etude de fonction}}
\rhead[]{\small {Lundi $24$ novembre $2008$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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\theoremstyle{break}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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\begin{document}
 % _______________%_____SUJET 

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
         Devoir surveillé n°3
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parindent}{0cm} 
\baselineskip 17pt
%\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Large}\textbf{\'Etude d'une fonction comportant du logarithme et de l'exponentielle.}\end{Large} \\

\begin{center}
   \textbf{Partie A - \'Etude d'une fonction auxiliaire}
\end{center}

Soit $g$ la fonction définie sur $]~1~;~+\infty~[$ par
$$g(x) =1-{x-1\over e^x}.$$

\begin{enumerate}
   \item Déterminer la valeur exacte de $g(2)$.
   \item Calculer la limite de la fonction $g$ en $1$.
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item En remarquant que $g(x) =1-\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{1}{e^x}$, calculer la limite de la fonction $g$ en $+\infty $.
      \item En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$, dont on précisera une équation.
   \end {enumerate}
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction
$g$. Calculer $g'(x)$.
      \item \'Etudier le signe de $g'(x)$ sur $]~1~;~+\infty ~[$.
      \item Dresser le tableau de variations de $g$.
      \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $]~1~;~+\infty~[$.
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
   \textbf{Partie B - \'Etude d'une fonction}
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $]~1~;~+\infty~[$ par
   $$f(x) ={1\over e^x}-{1\over e^2}+\ln(x-1).$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $1$ cm.

\begin{enumerate}
   \item
   \begin{enumerate}
      \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $1$. \\
         En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$, dont on précisera une équation.
      \item Calculer la limite de $f$ en $+\infty $.
   \end{enumerate}
   \item
   \begin{enumerate}
      \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction
$f$. Calculer $f'(x)$.
      \item Montrer que $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x-1}$.
      \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]~1~;~+\infty~[$. Dresser la tableau de variation de $f$.
   \end{enumerate}
   \item
   \begin{enumerate}
      \item Calculer $f(2)$.
      \item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $2$. (On donnera les coefficients exacts, puis leur valeur approchée à $0,01$ près).
   \end{enumerate}
   \item
   \begin{enumerate}
      \item Justifier que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[~3~;~5~]$.
      \item Donner une valeur de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
   \end{enumerate}   
\end{enumerate}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
   \textbf{Partie C - Représentation graphique}
\end{center}
  
Dans le repère défini précédemment, tracer les droites $\Delta$ et $T$ puis la courbe $\mathcal{C}$.


\pagebreak %____%________%_CORRECTION %_______%______%____%


%\baselineskip 20pt

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction du DS n°3
   \end{LARGE}}
\end{center}
 
\begin{center}
   \textbf{Partie A - \'Etude d'une fonction auxiliaire}
\end{center}

\begin{enumerate}
   \item On trouve $g(2) =1-\dfrac{2-1}{e^2}$ donc : \fbox{$g(2) =1-e^{-2}$} \\
   
   \item On a $\Lim{\lim\limits_{x\to 1}(x-1) =0}{\lim\limits_{x\to 1}{e^x} =e}$ donc : $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{e^x} =0$ et \fbox{$\lim\limits_{x\to 1}g(x) =1$} \vspace*{0.4cm} \\
   
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item $\Limite{\lim\limits_{x\to +\infty}1 =1}{\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{x}{e^x} =0}{\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{1}{e^x} =0}$ donc : \fbox{$\lim\limits_{x\to +\infty}g(x) =1$}
      \item Le résulat précédent signifie que \fbox{la droite d'équation $y=1$} est asymptote horizontale en $+\infty $ à la courbe représentative de la fonction $g$. 
   \end{enumerate} \vspace*{0.5cm} \\   
   \item
   \begin{enumerate}
      \item Reprenons la première écriture de $g(x)$. Il vient : \\
         $\displaystyle{g'(x) =0-{1\times e^x-(x-1)e^x\over(e^x)^2} ={(x-2)e^x\over e^{2x}} \Longrightarrow}$ \fbox{$g'(x) =\dfrac{x-2}{e^x}$}
      \item Le signe de $g'(x)$ est alors celui de $(x-2)$ puisque $e^x$ est toujours strictement positif donc :\\
         \fbox{$g'(x)\leq0$ sur $[~1~;~2~]$ et $g'(x)\geq0$ sur $[~2~;~+\infty~]$}     
      \item D'où le tableau de variation :
         \begin{center}   
         \begin{tabular}{|C{1}|lcC{2}cr|}
            \hline
            $x$ & $1$ & & $2$ & & $+\infty$ \\
            \hline
            $g'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
            \hline
            & $1$ & & & & $1$ \\
            $g$ & & $\psline{->}(-0.4,0.7)(0.8,-0.5)$ & & $\psline{->}(-0.8,-0.5)(0.6,0.7)$ & \\
            & & & $1-e^{-2}$ & & \\
            \hline
         \end{tabular}
         \end{center}     
      \item Au vu du tableau de variation, étant donné que $1-e^{-2}\approx0,86>0$, \fbox{$g(x)$ est toujours positif} puisque son minimum est strictement positif.
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}
   \textbf{Partie B - \'Etude d'une fonction.}
\end{center}

\begin{enumerate}
   \item
   \begin{enumerate}
      \item On a $\Lim{\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{1}{e^2} =\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^2}}{\lim\limits_{x\to 1}{\ln(x-1)} =-\infty}$ donc, \fbox{$\lim\limits_{x\to 1}~f(x)= -\infty$} \\
         On en déduit que la droite $\Delta $ d'équation \fbox{$x=1$} est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
      \item $\Limite{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^x} =0}{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^2} =\dfrac{1}{e^2}}{\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x-1) =+\infty}$, donc : \fbox{$\lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)= +\infty$}
   \end{enumerate} \vspace*{2cm} \\   
   \item
   \begin{enumerate}
      \item $\displaystyle{f'(x) ={-e^x\over(e^x)^2}-0+{1\over x-1}}$ donc : \fbox{$\displaystyle{f'(x) =-{1\over e^x}+{1\over x-1}}$}
      \item $\displaystyle{{g(x)\over x-1} ={1\over x-1}-{x-1\over e^x(x-1)} ={1\over x-1}-{1\over e^x}}$. D'où \fbox{$f'(x) =\dfrac{g(x)}{x-1}$}
      \item On a montré précédemment que $g(x)$ était toujours strictement positif sur l'intervalle considéré, donc $f'(x)$ est du signe de $(x-1)$, qui est toujours positif sur l'intervalle, d'où le tableau de variation :
         \begin{center}   
         \begin{tabular}{|C{1}||lC{2}r|}
            \hline
            $x$ & $1$ & & $+\infty$ \\
            \hline
            $f'(x)$ & & $+$ & \\
            \hline
            & & & $+\infty$ \\
            $f$ & & $\psline{->}(-1.2,-0.5)(1.2,0.7)$ & \\
            & $-\infty$ & & \\
            \hline
         \end{tabular}
         \end{center}    
   \end{enumerate} \vspace*{0.5cm} \\
   \item
   \begin{enumerate}
      \item On trouve $\displaystyle{f(2) ={1\over e^2}-{1\over e^2}+\ln(2-1) =\ln(1)}$ d'où \fbox{$f(2) =0$}
      \item $T$ a pour équation $ y=f'(2)(x-2)+f(2)=(1-e^{-2})(x-2)$ soit \fbox{$T : y =(1-e^{-2})x-2+2e^{-2}\approx0,86x-1,73$}
   \end{enumerate} \vspace*{0.5cm} \\
   
   \item
   \begin{enumerate}
      \item La fonction est continue, strictement croissante sur $[~3~;~5~]$. De plus, $f(3)\approx0,61<1$ et $f(5)\approx1,26>1$. \\
         Donc, \fbox{l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[~3~;~5~]$}
      \item $f(4,05)<1$ et $f(4,06)>1$. Donc : \fbox{$\alpha\approx4,05$}
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
   \textbf{Partie C - Représentation graphique.}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1.3}
\begin{pspicture}(-1,-5)(9,3.5)
   \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](-1,-5)(9,3)
   \psaxes{->}(0,0)(-1,-5)(9,3)
   \psplot[linecolor=red]{1.005}{9}{x 1 sub ln 2.71 -1 x mul exp add 0.135 sub}
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   \psdot[linecolor=red](4.05,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}