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\lhead[]{\small $1$^{ère} BTS\;DOMOTIQUE}
\chead[]{\textsc{Développements limités}}
\rhead[]{\small {Lundi $30$ mars $2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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\renewcommand{\arraystretch}{2} 


\begin{document}
 % _______________%_____SUJET 

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
         Devoir surveillé n°6
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parindent}{0cm} 
\baselineskip 22pt
%\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{Exo}
   Déterminer dans chaque cas le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre indiqué :
   \begin{enumerate}
      \item $f(x)=e^{\cos(x)}$ à l'ordre $2$.
      \item $f(x)=\ln(1+x^2)-\dfrac{2}{1+x^2}$ à l'ordre $8$.
      \item $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4+x}}$ à l'odre $3$.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   \`A l'aide de développements limités, déterminer les limites suivantes :
   \begin{enumerate}
      \item $\lim\limits_{t\to0}~\dfrac{1-\cos t}{t^2}$.
      \item $\lim\limits_{t\to0}~\dfrac{\sin t -t}{t^2}$.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1+2x}{1+x+x^2}$.
   \begin{enumerate}
      \item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
      \item Déterminer le développement limité à l'odre $3$ en $0$ de $F$.
      \item En déduire le développement limité à l'odre $2$ en $0$ de $f$.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{2x}(1-x)+1$ et $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $2$ cm. 
   \begin{enumerate}
      \item Démontrer que le développement limité d'ordre 3 de $f$ au voisinage de 0 est :
      $$f(x) =2+x-{2\over3}x^3+x^3\varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \qquad\lim_{t \to 0}\varepsilon (x)=0.$$
      \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
      \item  \'Etudier la position de $T$ par rapport à $C_f$ au voisinage de ce point.
      \item Dans le repère $\Rep$, tracer $T$ et $C_f$.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\pagebreak %____%________%_CORRECTION %_______%______%____%

\setcounter{Exo}{0}

\baselineskip 20pt

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction du DS n°6
   \end{LARGE}}
\end{center}

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item $e^X =1+X+\dfrac{X^2}{2}+X^2\varepsilon_1(X)$ \quad et \quad $\cos(x) =1-\dfrac{x^2}{2}+x^2\varepsilon_2(x)$. Donc :\\
         $f(x) =1 +\left(1-\dfrac{x^2}{2} +x^2\varepsilon_2(x)\right) +\dfrac{\left(1-\dfrac{x^2}{2}+x^2\varepsilon_2(x)\right)^2}{2} +x^2\varepsilon_3(x)$. \\
         $f(x) =1 +1 -\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{1-x^2}{2} +x^2\varepsilon_4(x)$. \\
         D'où : \fbox{$f(x) =\dfrac{5}{2}-x^2+x^2\varepsilon_4(x)$} \\
         
      \item $\ln(1+x^2) = x^2 -\dfrac{(x^2)^2}{2} +\dfrac{(x^2)^3}{3} -\dfrac{(x^2)^4}{4} +x^8\varepsilon_1(x) =x^2 -\dfrac{x^4}{2} +\dfrac{x^6}{3} -\dfrac{x^8}{4} +x^8\varepsilon_1(x) $ \\
      $\dfrac{2}{1+x^2} = 2\times\left[1-(x^2)+(x^2)^2-(x^2)^3+(x^2)^4+x^8\varepsilon_2(x)\right] =2-2x^2+2x^4-2x^6+2x^8+x^8\varepsilon_2(x)$. \\
      $f(x) =x^2 -\dfrac{x^4}{2} +\dfrac{x^6}{3} -\dfrac{x^8}{4}-2+2x^2-2x^4+2x^6-2x^8+x^8\varepsilon_3(x)$. \\
      D'où : \fbox{$f(x) =-2+3x^2-\dfrac52x^4+\dfrac73x^6-\dfrac94x^8+x^8\varepsilon_3(x)$} \\
      
      \item $\dfrac{1}{\sqrt{4+x}} =(4+x)^{-\frac12} =\left[4\left(1+\dfrac{x}{4}\right)\right]^{-\frac12} =4^{-\frac12}\left(1+\dfrac{x}{4}\right)^{-\frac12} =\dfrac12\times\left(1+\dfrac{x}{4}\right)^{-\frac12}$. \\
      Or, $(1+X)^{-\frac12} =1 -\dfrac12 X+\dfrac{-\frac12(-\frac12-1)}{2!}X^2 +\dfrac{-\frac12(-\frac12-1)(-\frac12-2)}{3!}X^3 +X^3\varepsilon(X)$ \\
      \hspace*{2.45cm} $=1-\dfrac12X+\dfrac38X^2-\dfrac{5}{16}X^3+X^3\varepsilon(X)$. \\  
      $f(x) =\dfrac12\left(1-\dfrac12\times\dfrac{x}{4}+\dfrac38\times\left(\dfrac{x}{4}\right)^2-\dfrac{5}{16}\times\left(\dfrac{x}{4}\right)^3 +x^3\varepsilon_1(x)\right)$ \\
      D'où : \fbox{$f(x) =\dfrac12-\dfrac{1}{16}x+\dfrac{3}{256}x^2-\dfrac{5}{2048}x^3+x^3\varepsilon_1(x)$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item $\dfrac{1-\cos t}{t^2} =\dfrac{1-1+\dfrac{t^2}{2!}+t^2\varepsilon(t)}{t^2} =\dfrac12+\varepsilon(t)$. \\
      $\lim\limits_{t\to0}\dfrac{1-\cos t}{t^2} =\lim\limits_{t\to0}\left(\dfrac12+\varepsilon(t)\right) =\dfrac12$ car $\lim\limits_{t\to0}\varepsilon(t) =0$. \\
      D'où \fbox{$\lim\limits_{t\to0}\dfrac{1-\cos t}{t^2} =\dfrac12$} \\
      
      \item $\dfrac{\sin t -t}{t^2} =\dfrac{t-\dfrac{t^3}{3!}+t^3\varepsilon(t)-t}{t^2} =-\dfrac{t}{6}+t\varepsilon(t)$. \\
      $\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t -t}{t^2} =\lim\limits_{t\to0}\left(-\dfrac{t}{6}+t\varepsilon(t)\right) =0$ car $\lim\limits_{t\to0}~\dfrac{t}{6} =0$ et  $\lim\limits_{t\to0}~t\varepsilon(t) =0$. \\
      D'où \fbox{$\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t-t}{t^2} =0$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\pagebreak

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item \fbox{$F(x)= \ln(1+x+x^2)$}
      \item $\ln(1+X) =X-\dfrac{X^2}{2}+\dfrac{X^3}{3}+X^3\varepsilon(X)$. \\
      $F(x) =\ln(1+(x+x^2)) =\left(x+x^2\right)-\dfrac{\left(x+x^2\right)^2}{2}+\dfrac{\left(x+x^2\right)^3}{3}+x^3\varepsilon_1(x)$. \\
      $F(x) =x+x^2-\dfrac{x^2+2x^3}{2}+\dfrac{x^3}{3}+x^3\varepsilon_1(x)$. \\
      D'où : \fbox{$F(x) =x+\dfrac12x^2-\dfrac23x^3+x^3\varepsilon_1(x)$}
      \item En dérivant le développement limité à l'odre $3$ de $F$, on obtient : \\
      \fbox{$f(x) =1+x-2x^2+x^2\varepsilon_2(x)$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item $e^{2x} =1+(2x)+\dfrac{(2x)^2}{2!}+\dfrac{(2x)^3}{3!}+x^3\varepsilon_1(x) =1+2x+2x^2+\dfrac43x^3+x^3\varepsilon_1(x)$. \\
      $f(x) =\left(1+2x+2x^2+\dfrac43x^3+x^3\varepsilon_1(x)\right)(1-x)+1 =2+2x+2x^2+\dfrac43x^3-x-2x^2-2x^3+x^3\varepsilon_2(x)$. \\
      D'où : \fbox{$f(x) =2+x-\dfrac23x^3+x^3\varepsilon_2(x)$}
      \item La tangente $T$ en $0$ a donc pour équation \fbox{$T:y=2+x$}
      \item $f(x)-(2+x)=-\dfrac23x^3+x^3\varepsilon(x)$. \\
      On admet que le signe de $f(x)-(1+x)$ est le même que celui de $-\dfrac23x^3$ car $x^3\varepsilon_2(x)$ est négligeable aux alentours de $0$, on a donc le tableau suivant :
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|lC{2}cC{2}r|}
         \hline
         $x$ &  & & $0$ & &  \\
         \hline
         Signe de $f(x)-(x+1)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
         \hline
         Position relative de $C_f$ et $T$ & & $C_f$ est au dessus de $T$ & | & $C_f$ est en dessous de $T$ & \\
         \hline
      \end{tabular}
      \end{center}
      \item Graphique :
      \begin{center}
      \psset{unit=1.2}
      \begin{pspicture}(-5,-3)(2,4)
         \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](-5,-3)(2,4)
         \psaxes{->}(0,0)(-5,-3)(2,4)
         \psplot[linecolor=red]{-5}{1.3}{2.71 2 x mul exp 1 x sub mul 1 add}
         \rput(1.6,-2.5){\textcolor{red}{$C_f$}}
         \psline[linecolor=blue]{<->}(2,4)(-3,-1)
         \rput(2,3.2){\textcolor{blue}{$T$}}
      \end{pspicture}
      \end{center}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}