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\lhead[]{\small BTS DOMOTIQUE}
\chead[]{}
\rhead[]{\textsc{Résumé \og statistiques et probabilités \fg}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
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\begin{document}


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\setlength{\parindent}{0cm} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Probabilités}

Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements, on a les propriétés suivantes :
\begin{dinglist}{169}
   \item $P(\varnothing) =0$ \qquad , \qquad $P(\Omega) =1$ \qquad et \qquad $0\leqslant P(A)\leqslant1$.
   \item $P(\overline{A}) =1-P(A)$.
   \item $P(A\cup B) =P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ \quad et \quad $P(A\cup B )=P(A)+P(B)$ si $A$ et $B$ sont disjoints.
   \item $P_B(A) =P(A/B) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
   \item $P(A\cap B) =P(B)P_B(A) =P(A)P_A(B)$ \quad et \quad $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ si $A$ et $B$ sont indépendants.
\end{dinglist}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Lois de probabilité}

Espérance : $E(X) =p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n =\sum\limits_{i=1}^n p_ix_i$. \\
   \hspace*{1.9cm} $E(X_1+X_2) =E(X_1)+E(X_2)$. \\
Variance : $V(X) =\sum\limits_{i=1}^n p_i\,[\,x_i-E(X)\,]^2 =\sum\limits_{i=1}^n p_ix_i^2-[E(X)]^2 =E(X^2)-E^2(X)$. \\
Écart-type : $\sigma(X )=\sqrt{V(X)}$. \\
   \hspace*{2cm} $\sigma(X_1+X_2) =\sqrt{\sigma^2(X_1)+\sigma^2(X_2)}$. \\

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
   \hline
   Loi & Notation & Probabilité & Espérance & Variance \\
   \hline
   Loi de Bernoulli & $\mathcal{B}(p)$ & $P(X=1)=p$ ; $P(X=0)=q$ & $E(X)=p$ & $V(X)=pq$ \\
   \hline
   Loi Binomiale & $\mathcal{B}(n;p)$ & $P(X=k) =C_n^k\times p^k\times q^{n-k}$ & $E(X) =np$ & $V(X) =npq$ \\
   \hline
   Loi de Poisson & $\mathcal{P}(\lambda)$ & $P(X=k) =e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ & $E(X )=\lambda$ & $V(X) =\lambda$ \\
   \hline
   Loi Normale & $\mathcal{N}(m;\sigma)$ & $\displaystyle{P(a\leq X \leq b) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac12\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2}dx}$ & $E(X) =m$ & $V(X) =\sigma^2$ \\
   \hdashline
   Centrée réduite & $\mathcal{N}(0;1)$ & $\displaystule{\Pi(t) =P(T\leq t)  =\int_{-\infty}^t\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12x^2}dx}$ & $E(X) =0$ & $V(X) =1$ \\
   \hline
\end{tabular}   

Si $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$, alors $T =\dfrac{X-m}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N}(0;1)$.
   
La variable aléatoire $T$ possède les propriétés suivantes :

\begin{minipage}{10cm}
   \begin{dinglist}{169}
      \item Pour tout $t$ : $P(T\geq t) =1-\Pi(t)$.
      \item Pour tout $t$ positif : $\Pi(-t) =1-\Pi(t)$.
      \item Pour tous $a\leq b$ : $P(a\leq T\leq b)=\Pi(b)-\Pi(a)$.
      \item Pour tout $t\geq 0$ : $P(-t\leq T \leq t)=2\Pi(t)-1$.
   \end{dinglist}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}   
\psset{yunit=2.5,xunit=1.8}
\begin{pspicture}(-2,0)(2,1)%  
   \psplot[linecolor=red]{-2}{2}{0.135 x x mul exp 0.8 mul}
   \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=tagada,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot[linecolor=red]{-2}{0.5}{0.135 x x mul exp 0.8 mul}\psline(0.5,0.48)(0.5,0)(-2,0)}
   \psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=0.008]{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,1.2)
   \rput(0,0.3){$\Pi(t)$}
   \rput(0.6,-0.2){$t$}
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Approximation et échantillonnage}

Sous certaines conditions, on peut approcher la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par :
\begin{dinglist}{169}
   \item la loi de poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ où $\lambda=np$,
   \item la loi normale $\mathcal{N}(m;\sigma)$ où $m=np$ et $\sigma=\sqrt{npq}$.
\end{dinglist}
La loi d'échantillonnage de taille $n$ de :
\begin{dinglist}{169}
   \item la moyenne $\overline{X_n}$ peut être approchée par la loi normale $\mathcal{N}\left(m,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.
   \item la fréquence $f_n$  peut être approchée par la loi normale $\mathcal{N}\left(p;\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)$.
\end{dinglist}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Estimations}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
   \hline
   \begin{minipage}{2.8cm} 
      Paramètre de la population totale à estimer
   \end{minipage} 
   &
   \begin{minipage}{3.2cm} 
      Valeur du paramètre dans l'échantillon de taille $n$ 
   \end{minipage} 
   &
   \begin{minipage}{3.2cm} 
      Estimation ponctuelle pour la population totale
   \end{minipage} 
   &
   \begin{minipage}{6.5cm} 
      Estimation par intervalle de confiance au niveau de confiance $2\Pi(t)-1 =1-\alpha$ pour la population totale
   \end{minipage} \\ [20pt]
   \hline
   Moyenne} & $m_$e & $m =m_e$ &
$\left[m_e-t\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}};m_e+t\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right]$ \\ [12pt]
   \hline
   \'Ecart-type & $\sigma_e$ & $\sigma =\sigma_e\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}$ & \\ [12pt]
   \hline
   Fréquence & $f_e$ & $f=f_e$ & $\left[f_e-t\sqrt{\dfrac{f_e(1-f_e)}{n-1}};f_e+t\sqrt{\dfrac{f_e(1-f_e)}{n-1}}}\right]$ \\ [12pt]
   \hline
\end{tabular}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Tests d'hypothèse}

Construction du test de validité d'hypothèse :
\begin{itemize}
   \item \underline{\'Etape $1$} : détermination de la variable aléatoire de décision et de ses paramètres,
   \item \underline{\'Etape $2$} : choix des deux hypothèses : l'hypothèse nulle $H_o$ et l'hypothèse alternative $H_l$,
   \item \underline{\'Etape $3$} : l'hypothèse nulle étant considérée comme vraie et compte tenu de l'hypothèse alternative, détermination de la zone critique selon le niveau de risque $\alpha$ donné,
   \item \underline{\'Etape $4$} : rédaction d'une règle de décision.
\end{itemize}
Utilisation du test d'hypothèse :
\begin{itemize}
   \item \underline{\'Etape $5$} : calcul des caractéristiques d'un échantillon particulier puis application de la règle de décision.
\end{itemize}

 
\end{document}