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\lhead{\small Ch.07}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Équations différentielles}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
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\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
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% Sections                
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% Subsections
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% Subsubsections
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% Environnements
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\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Proe}{Proéorème}{compteur} % Proéorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
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   {\end{list}}

% Tableaux
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% Maths
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\def\e{{\text{e}}}
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%papier millimétré
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
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   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 7}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Équations \\ différentielles
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}


\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small 11})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\intro{
\begin{minipage}{9.5cm}
   C'est au \crm{17}\up{e} siècle, avec le calcul différentiel et intégral de Newton et Leibniz, qu'apparait la notion d'équations différentielles. Elles sont issues de problèmes de géométrie et de
mécanique. Vers 1700, les méthodes classiques de résolution de certaines équations sont découvertes. \\
   Avec le développement de la mécanique, la résolution des équations différentielles devient une branche importante des mathématiques (grâce à Euler, Lagrange, Laplace\dots) et interviennent dans de nombreuses autre applications comme les sciences de la vie, l'astronomie, la biologie, les sciences économiques, les sciences physiques\dots
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{7cm}
   \includegraphics[width=6.9cm]{ED}
\end{minipage}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}

\begin{Def}
   Une \textbf{équation différentielle} est une relation entre une variable réelle, une fonction qui dépend de cette variable et un certain nombre de ses dérivées successives. \\
   \textbf{Résoudre} une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l'égalité.
\end{Def}

\begin{Ex}
   On cherche à résoudre l'équation différentielle $y'(x)=x^2$ :
   \begin{liste}
      \item on trouve $y(x)=\dfrac{x^3}{3}+c$ où $c$ est une constante réelle ;
      \item on remarque qu'il y a une infinité de solutions, dépendantes de la constante $c$. \\
   \end{liste}
   Si de plus on impose une contrainte du type $y(0)=1$ (condition initiale), on obtient :
   \begin{liste}
      \item $y(0)=\dfrac{0^3}{3}+c=c$. Or, $y(0)=1$ donc, par identification, $c=1$ ;
      \item on trouve $y(x)=\dfrac{x^3}{3}+1$ et dans ce cas, la solution devient unique.
   \end{liste}
\end{Ex}

\begin{Rem}
   Par la suite, on écrira la solution sous la forme $f(x)=\dots$, $g(x)=\dots$ plutôt que $y(x)=\dots$
\end{Rem}

Une fonction peut être dérivable plusieurs fois de suite : par exemple, une fonction $f$ deux fois dérivable est une fonction pour laquelle la dérivée de la dérivée existe, on la note $f''$, ou $y''$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Équation différentielle du type $y'+ay =b$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Solution générale de l'équation $y'+ay=0$}

\begin{Pro}
   On considère l'équation différentielle $y'+ay =0$ où $a$ est un réel et $y$  une fonction dérivable de la variable $x$ définie sur $\R$. \\
   Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :
$$f(x)=k\,\e^{-ax} \quad \mbox{où } k\in \R$$
\end{Pro}

\note{-3.1}{appelée équation linéaire homogène d'ordre 1 à coefficient constant}

\textbf{Démonstration :} \\
On considère l'équation différentielle $(E) : y'+ay=0$.
\begin{liste}
   \item Soit $f$ la fonctions définie sur $\R$ par $f(x)=k\,\e^{-ax}$ : \\
    $f$ est dérivable sur $\R$ de dérivée $f'(x)=-ak\,\e^{-ax}$ et \\
    $f'(x)+af(x)=-ak\,\e^{-ax}+ak\,\e^{-ax}=0$ donc, $f$ est bien solution de $(E)$.
   \item Les solutions de la forme $x\mapsto k\,\e^{-ax}$ sont des solutions de $(E)$. Il reste à montrer qu'il n'en existe pas d'autres. Pour cela, on considère une fonction quelconque $g$ définie et dérivable sur $\R$ solution de $(E)$ : \\   
    soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=g(x)\,\e^{ax}$. \\
    $h$ est dérivable sur $\R$ de dérivée : $h'(x)=g'(x)\,\e^{ax}+ag(x)\,\e^{ax}$ ; \\
    soit $h'(x)=\e^{ax}\left(g'(x)+ag(x)\right) =0$. \\
    On a alors : $h(x)=K \Longleftrightarrow g(x)\,\e^{ax}=K \Longleftrightarrow g(x)=K\,e^{-ax}$. \\
    On a donc montré que toute fonction solution de $(E)$ est nécessairement de la forme $x\mapsto K\,\e^{-ax}$, où $K$ est un  réel quelconque.
\end{liste}

\note{-1.7}{$g$ solution de $(E)$ donc, $g'+ag =0$}

\begin{Ex}
   \begin{liste}
      \item Résolution de l'équation différentielle : $y'-3y =0$ : \\
      les solutions sont du type $f(x)=k\,\e^{3x}$ où $k$ est un réel.
      \item Résolution de l'équation différentielle : $2y'=-5y$ : \\
      cette équation peut s'écrire $y'+\dfrac52y =0$. Les solutions sont du type $f(x)=k\,\e^{-\frac52 x}$.
   \end{liste}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Solution de l'équation $y'+ay=b$}

\begin{Pro}
   On considère l'équation $y'+ay=b$, où $a\neq0$ et $b$ sont des nombres réels et où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\R$. \\
   Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : \\
   $$f(x)=k\,\e^{-ax}+\dfrac{b}{a} \quad \text{où } k\in\R$$
\end{Pro}

\note{-3.4}{appelée équation linéaire d'ordre 1 à coefficients constants}

\begin{Ex}
   On considère l'équation différentielle $y'+2y=4$. \\
   Les solutions de cette équation sont de la forme $f(x) =k\,\e^{-2x}+\dfrac42 =k\,\e^{-2x}+2$.
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Unicité de la solution sous condition initiale}

\begin{Pro}
   Soient $x_0 $, $y_0$ et $a\neq0$ des réels donnés, l'équation différentielle $y'+ay=0$ admet une \textbf{unique solution} $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant $f(x_0)=y_0$.
\end{Pro}

\begin{Ex}
   Résolution de l'équation différentielle $y'-\dfrac12y=2$ dont la solution $f$ vérifie $f(0)=1$ :
   \begin{liste}
      \item les solutions de l'équation sont du type $f(x)=k\,\e^{\frac12x}-4$ où $k$ est une constante réelle.
      \item on obtient une infinité de solutions, en fonction de $k$, dont en voici quelques représentations graphiques : \\
      
      {\psset{unit=0.9,algebraic=true}
      \hspace*{-0.9cm}
      \begin{pspicture*}(-10,-9)(5,4)
         \mili{-10}{-9}{5}{4}
         \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-10,-9)(5,4)
         \rput(-0.3,-0.3){\small 0}
         \psplot[linecolor=blue]{-10}{5}{-50*1.65 ^x-4}
         \rput(-3.7,-8.5){\textcolor{blue}{$k=-50$}}
         \psplot[linecolor=orange]{-10}{5}{-3*1.65 ^x-4}
         \rput(1.8,-8.5){\textcolor{orange}{$k=-3$}}
         \psplot[linecolor=purple]{-10}{5}{-0.1*1.65 ^x-4}
         \rput(4,-5.5){\textcolor{purple}{$k=-0,1$}}
         \psline[linecolor=gray](-10,-4)(5,-4)
         \rput(4.3,-3.6){\textcolor{gray}{$k=0$}}
         \psplot[linecolor=vert]{-10}{5}{1.65^x-4}
         \rput(3.3,3.5){\textcolor{vert}{$k=1$}}        
         \psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-10}{5}{5*1.65 ^x-4} 
         \rput(1.5,3.5){\textcolor{red}{$k=5$}}         
         \psplot[linecolor=violet]{-10}{5}{25*1.65 ^x-4}
         \rput(-3.3,3.5){\textcolor{violet}{$k=25$}} 
         \psdot[linewidth=2pt,linecolor=red](0,1)
      \end{pspicture*}}
      \item parmi toutes ces courbes, une seule passe par le point de coordonnées $(0,1)$ correspondant à la condition $f(0)=1$ (en rouge sur le graphique) : \\ [3pt]
      $f(0)=1 \Longleftrightarrow k\,\e^{\frac12\times0}-4 =1$ \\ [3pt]
      \hspace*{1.3cm} $\Longleftrightarrow k=5$ \\ [3pt]
      d'où $f(x)=5\,\e^{\frac12x}-4$.
   \end{liste}
\end{Ex}

\note{-16.53}{wxMaxima : \\ \hspace*{-1.2cm} {\tt ode2('diff(y,x)-1/2*y=2,y,x)}}

\note{-1.85}{wxMaxima : \\ \hspace*{-1.2cm} {\tt ic1(\%,x=0, y=1) \\ \% correspond à la dernière écriture}}


\end{document}