\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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% En-tête et pieds de page
\headwidth = 17cm
\pagestyle{fancy} 
\fancyhf{}
\lhead{\small Ch.02}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Limites de fonctions}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
\setlength{\marginparwidth}{3cm}
\reversemarginpar

\newcommand\note[2]{%note
   \marginpar[\footnotesize\it\raggedleft \vspace*{#1cm} \textcolor{blue!50}{#2}]}

\newcommand\image[2]{%image
   \marginpar{\vspace*{#1cm} \includegraphics[width=\marginparwidth]{#2}}}

\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
\titlespacing*{\part}{3.1cm}{-0.5cm}{0.5cm} 
\titleformat{\part}[hang]
                {\Huge\bf}
                {}
                {}
                {}
                {} 
                
% Sections                
\titlespacing*{\section}{-3cm}{1cm}{0.75cm} 
\titleformat{\section}[hang]
                {\LARGE\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesection}}
                {10pt}
                {}[\vspace{-0.09cm}\titlerule]
                {}          

% Subsections
\titleformat{\subsection}[hang]
                {\Large\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  

% Environnements
\newboxedtheorem[titlebackground=red!50,background=red!25,boxcolor=red,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Def}{Définition}{compteur} % Définition

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Pro}{Proriété}{compteur} % Proriété

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Proe}{Proéorème}{compteur} % Proéorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
         \setlength{\itemsep}{0.1cm}}}
   {\end{list}}

% Tableaux
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

% Maths
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\crm}[1]{\textsc{\romannumeral #1}} % Romains
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{rl} #1\\ #2 \end{array}\right.} % Systèmes 2X2
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Rep}{(O;\V{\imath};\V{\jmath})} % Repère Oij
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
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% Divers
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%papier millimétré
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}

\graphicspath{{../Images/}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](1,1)(1,8)
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1,6)(4,7)
   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 2}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Limites de fonctions
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}

%\AddToShipoutPicture*{\unitlength=1cm{\rput(14,9){\includegraphics[width=10cm]{PDG}}}} % Image en filigrane

\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small 4})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%
\intro{
\begin{minipage}{9.5cm}
   On peut faire commencer l'histoire du concept de limite avec le philosophe grec {\bf Zénon d'Élée} (-450). Il est connu pour ses paradoxes qui prétendent démontrer l'impossibilité du mouvement. \\
   Par exemple, celui d'Achille et de la tortue :  \\
   \og Achille, situé en O, poursuit une tortue qui se trouve en A. Le temps qu'il arrive en A, la tortue sera en B. Achille devra donc ensuite aller en B. Mais alors la tortue sera en C, et ainsi de suite. Achille pourra se rapprocher sans cesse de la tortue, mais il ne pourra jamais la rattraper. \fg
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{6.5cm}
   \includegraphics[width=6cm]{zenon}
\end{minipage}

L'Analyse fit d'énormes progrès au cours des \crm{17}\up{e} et \crm{18}\up{e} siècles. Les mathématiciens de cette époque avaient une intuition de la notion de limite mais il faudra attendre le \crm{19}\up{e} avec le français {\bf Louis-Augustin Cauchy} (1789-1857), puis l'allemand {\bf Karl Weierstrass} (1815-1897) pour avoir une définition précise de la limite.
}

		
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Asymptotes parallèles aux axes}

%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Approche graphique}

On considère la fonction $f$, définie pour tout $x\neq3$ par $f(x)= \dfrac{1}{x+3}+2 =\dfrac{2x+7}{x+3}$.

On souhaite représenter cette fonction. On construit le tableau de valeurs suivant :
\begin{center}
\begin{small}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}{%
\begin{tabular}{|c|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|C{0.6}|}
   \hline
   $x$  & -8 & -7 & -6 & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
   \hline
   $f(x)$ & 1,8 & 1,75 & 1,67 & 1,5 & 1 & & 3 & 2,5 & 2,33 & 2,25 & 2,2 \\
   \hline
\end{tabular}}
\end{small}

\note{-0.45}{la fonction n'est pas définie pour $x =-3$}

Ce qui donne :	
	
\begin{pspicture*}(-8,-0.6)(2,4)
   \mili{-8}{-1}{2}{4}
   \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-0.6)(2,4)
   \psplot[plotpoints=5,linecolor=red,linestyle=none,showpoints=true]{-8}{-4}{2 1 3 x add div add}
   \psplot[linecolor=red]{-8}{-4}{2 1 3 x add div add}            \psplot[plotpoints=5,linecolor=red,linestyle=none,showpoints=true]{-2}{2}{2 1 3 x add div add}
  \psplot[linecolor=red]{-2}{2}{2 1 3 x add div add}
\end{pspicture*}
\end{center}

Graphiquement, on observe deux phénomènes :
\begin{liste}
   \item entre $-4$ et $-2$, nous n'avons pas assez d'éléments pour savoir ce qu'il se passe. Il nous faut construire un tableau plus précis avec des valeurs proches de $-3$ : \\ [-3pt]
   
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}{\small%   
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   $x$ & $-3,1$	& $-3,01$ & $-3,001$ & $-3,0001$ & $-2,9999$ & $-2,999$ &	$-2,99$	 & $-2,9$ \\
   \hline
   $f(x)$ & $-8$	& $-98$ & $-998$ & $-9998$ & $10002$ & $1002$ & $102$ & $12$ \\
   \hline
   \end{tabular}}

\ \\ [-3pt]   
   On remarque que plus on se rapproche de $-3$, plus la courbe prend de grandes valeurs . On note $\lim\limits_{x\to-3^-} f(x) =-\infty$ et $\lim\limits_{x\to-3^+} f(x) =+\infty$.
   \item \og avant \fg{} 8 et \og après \fg{} 2, on a l'impression que la courbe se rapproche de la droite d'équation $y =2$. Afin d'étayer ce phénomène, on construit un tableau avec de grandes valeurs en valeur absolue : \\ [-3pt]
   
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}{\small%
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   $x$  & $-10^4$ & $-10^3$ & $-10^2$ & $-10$ & $10$ & $10^2$ & $10^3$ & $10^4$ \\
   \hline
   $f(x)$ & $1,9999$ & $1,9990$ & $1,989$ & $1,8571$ 	& $2,0769$ & $2,0097$ & $2,0010$	& $2,0001$  \\
   \hline
\end{tabular}}

\ \\ [-3pt]
   On remarque que plus on se rapproche de $\pm\infty$, plus les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $2$ . On note $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) =2$ \, et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =2$.
\end{liste}

\bigskip

Ce qui nous permet d'obtenir un graphique plus complet :

\psset{unit=0.9}
\begin{pspicture*}(-10,-5)(5,8)
   \mili{-10}{-5}{5}{8}
   \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-10,-5)(5,8)
   \psplot[plotpoints=100,linecolor=red]{-10}{-3.1}{2 1 3 x add div add}            
   \psplot[plotpoints=100,linecolor=red]{-2.9}{5}{2 1 3 x add div add}
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-10,2)(5,2)
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-3,-5)(-3,8)
   \small{%
      \rput(-5.1,-4.6){$\lim\limits_{x\to-3^-} f(x) =-\infty$}
      \rput(-0.9,7.3){$\lim\limits_{x\to-3^+} f(x) =+\infty$}
      \rput(-8.5,1.3){$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) =2^-$}
      \rput(3.5,2.7){$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =2^+$}}
\end{pspicture*}

\note{-6}{les notations seront introduites dans les paragraphes suivants}
				
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limite finie d'une fonction à l'infini}
		
\begin{Def}
   $a$ est un nombre réel. Soit $f$ une fonction définie sur au moins $]\,a;+\infty[$ (respectivement $]-\infty,a\,[$). Lorsque le réel $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes vers $+\infty$, (respectivement vers $-\infty$), si les nombres $f(x)$ deviennent de plus proches d'une réel $\ell$, on dit que $f(x)$ a pour {\bf limite} $\ell$ en $+\infty$ (respectivement vers $-\infty$). On note :
   $$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) =\ell \qquad \text{et} \quad \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =\ell$$
\end{Def}

{\psset{yunit=1.5}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3.5)(7,1.8)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(6,1.5)
   \rput(-0.3,-0.2){\footnotesize{O}}
   \rput(6.2,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,1.7){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](2.47,-2)(6,-1.3)
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(2.48,-1.2)(6,-1.2)
   \rput(4.2,-1){\footnotesize{$x\to+\infty$}}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(2.35,-1.35)(2.35,-2)
   \rput(1.5,-1.7){\footnotesize{$\red f(x)\black\to\blue\ell$}}
   \psplot[linecolor=red,plotpoints=1000]{1.3}{6}{1 x -1 add div -2 add}
   \psline[linecolor=blue](0,-2)(6,-2)
   \rput(-.3,-2){\blue{{$\ell$}}}
   \rput(3.15,-3){$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =\ell$}
\end{pspicture*} %%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{pspicture*}(-5.8,-2.5)(1.5,2.8)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5.8,-1.5)(1,2.5)
   \rput(-0.3,-0.2){\footnotesize{O}}
   \rput(1.2,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,2.7){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](-5.8,1.57)(-1.5,2)
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(-1.5,1.45)(-5.8,1.45)
   \rput(-3.6,1.25){\footnotesize{$x\to-\infty$}}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(-1.4,1.57)(-1.4,2)
   \rput(-0.66,1.8){\footnotesize{$\red f(x)\black\to\blue\ell$}}
   \psplot[linecolor=red,plotpoints=1000]{-5.8}{0.7}{1 x -1 add div 2 add}
   \psline[linecolor=blue](-5.8,2)(0,2)
   \rput(.2,2){\blue$\ell$}
   \rput(-3.15,-2){$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) =\ell$}
\end{pspicture*}}

\begin{Def}
   On dit que la droite d'équation $y=\ell$ est une \textbf{asymptote horizontale} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
\end{Def}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limite infinie d'une fonction en un point}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de la forme $]\,a\,;b\,]$ ou $[\,b\,;a\,[$ où $a$ et $b$ sont des réels. Lorsque le réel $x$ s'approche de $a$, si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus
   \begin{liste}
      \item grands, on dit que $f$ a pour {\bf limite} $+\infty$ en $a$ et on note : $$\lim \limits_{x\to a}f(x)=+\infty$$
      \item grands en valeur absolue, mais négatifs, on dit que $f$ a pour {\bf limite} $-\infty$ en $a$ et on note : $$\lim\limits _{x\to a}f(x)=-\infty$$
   \end{liste} 
\end{Def}

\begin{Rem}
   Lorsque le fonction n'est pas définie en $a$, on précise si on s'en approche
   \begin{liste}
      \item par valeurs inférieures : $\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=\pm\infty$ \, ou \, $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ ;
      \item par valeurs supérieurs : $\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=\pm\infty$ \, ou \, $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$.
   \end{liste}
\end{Rem}

\note{-2}{$\pm\infty$ signifie que la limite est soit $+\infty$, soit $-\infty$}

On obtient les quatre cas suivants :

\begin{pspicture}(-1.5,-1.9)(6,4)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-1)(5.5,4)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(5.7,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,4.25){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](1,1.6)(1.45,4)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{1.2}{5.5}{1/(x-1)-1}
   \psline[linecolor=blue](1,0)(1,4)
   \rput(1,-0.3){\blue$a$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(1.45,1.44)(1,1.44)
   \rput(1.2,1.1){\footnotesize{$x\to\blue a$}}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(1.6,1.6)(1.6,4)
   \rput(2.7,2.7){\footnotesize{$\red f(x)\black\to+\infty$}}
   \rput(3,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-4,-1.9)(2,4)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4.5,-1)(1.5,4)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(1.75,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,4.3){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](1,1.6)(0.55,4)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{0.8}{-4.5}{-1/(x-1)-1}
   \psline[linecolor=blue](1,0)(1,4)
   \rput(1,-0.3){\blue$a$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(0.55,1.44)(1,1.44)
   \rput(0.75,1.2){\footnotesize{$x\to\blue a$}}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(0.4,1.6)(0.4,4)
   \rput(-0.8,2.6){\footnotesize{$\red f(x)\black\to+\infty$}}
   \rput(-1,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-5,-5.4)(2,1.5)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-4)(1.5,1)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(1.8,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,1.3){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](1,-1.6)(0.55,-4)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{0.8}{-4}{1/(x-1)+1}
   \psline[linecolor=blue](1,0)(1,-4)
   \rput(1,0.3){\blue$a$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(0.55,-1.44)(1,-1.44)
   \rput(0.75,-1.2){\footnotesize{$x\to\blue a$}}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(0.4,-1.6)(0.4,-4)
   \rput(-0.8,-2.6){\footnotesize{$\red f(x)\black\to+\infty$}}
   \rput(-1,-5){$\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-0.5,-5.4)(6,1.5)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-3.5)(5.5,1)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(5.7,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,1.3){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](1,-1.6)(1.45,-4)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{1.2}{5.5}{-1/(x-1)+1}
   \psline[linecolor=blue](1,0)(1,-4)
   \rput(1,0.3){\blue$a$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(1.45,-1.44)(1,-1.44)
   \rput(1.2,-1.2){\footnotesize{$x\to\blue a$}}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(1.6,-1.6)(1.6,-4)
   \rput(2.5,-2.6){\footnotesize{$\red f(x)\black\to+\infty$}}
   \rput(3,-5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}

\begin{Def}
   Dans le cas où la limite en $a$ vaut $\pm\infty$, on dit que la droite d'équation $x=a$ est une \textbf{asymptote verticale} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
\end{Def}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limite infinie d'une fonction en l'infini}
		
\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie au moins sur $]\,a\,;+\infty[$ (respectivement $]-\infty\,;a\,[$). Lorsque le réel $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$), si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus
   \begin{liste}
      \item grands, on dit que $f$ a pour {\bf limite} $+\infty$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) et on note : $$\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \quad \text{(resp. } \lim\limits_{x\to -\infty }f(x)=+\infty)$$
      \item  grands en valeur absolue et négatifs, on dit que $f$ a pour {\bf limite} $-\infty$ en $+\infty$ (respectivement $-\infty$) et on note : $$\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=-\infty \quad \text{(resp. }\lim\limits_{x\to -\infty }f(x)=-\infty)$$
   \end{liste} 
\end{Def}

\begin{pspicture}(-1.5,-2)(6,4)
   \def\f{.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)+.2*x+.5}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-.5)(5.9,3.8)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(6.1,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,4){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](3.834,2)(6,3.45)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{-1}{6}{\f}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(3.6,2)(3.6,3.45)
   \rput(2.5,2.7){\footnotesize $\red f(x)\black\to+\infty$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(3.834,1.8)(6,1.8)
   \rput(5,1.55){\footnotesize $x\to+\infty$}
   \rput(3,-1){$\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$}
\end{pspicture} 
\begin{pspicture}(-6.5,-2)(1,4)
   \def\f{.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)-.2*x+.5}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5.9,-.5)(0.9,3.8)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(1.1,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,4){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](-3.834,2)(-6,3.45)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{-6}{1}{\f}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(-3.6,2)(-3.6,3.45)
   \rput(-2.5,2.7){\footnotesize $\red f(x)\black\to+\infty$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(-3.834,1.8)(-6,1.8)
   \rput(-5,1.55){\footnotesize $x\to-\infty$}
   \rput(-3,-1){$\lim\limits_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$}
\end{pspicture} 

\begin{pspicture}(-1.5,-5.5)(6,1)
   \def\f{-.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)-.2*x-.5}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-3.8)(5.9,0.5)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(6.1,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,1){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](3.834,-3.45)(6,-2)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{-1}{6}{\f}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(3.6,-2)(3.6,-3.45)
   \rput(2.5,-2.7){\footnotesize $\red f(x)\black\to-\infty$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(3.834,-1.8)(6,-1.8)
   \rput(5,-1.55){\footnotesize $x\to+\infty$}
   \rput(3,-4.5){$\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$}
\end{pspicture} 
\begin{pspicture}(-6.5,-5.5)(1,1)
   \def\f{-.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)+.2*x-.5}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5.9,-3.8)(0.9,0.5)
   \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize{O}}
   \rput(1.1,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(0,1){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!25,linecolor=white](-3.834,-3.45)(-6,-2)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{-6}{1}{\f}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(-3.6,-2)(-3.6,-3.45)
   \rput(-2.5,-2.7){\footnotesize $\red f(x)\black\to-\infty$}
   \psline[linestyle=dotted]{|->}(-3.834,-1.8)(-6,-1.8)
   \rput(-5,-1.55){\footnotesize $x\to-\infty$}
   \rput(-3,-4.5){$\lim\limits_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$}
\end{pspicture} 

\begin{Rem}
   Certaines fonctions n'admettent pas de limite  en l'infini : par exemple les fonctions cosinus et sinus.
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limites des fonctions usuelles}

\intro{%
\begin{pspicture}(-3,-2)(3.5,7)
   \mili{-3}{-1}{3}{7}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-1)(3,7)
   \rput(-0.2,-0.2){\footnotesize{O}}
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x^2}
   \rput(0,-1.5){\normalfont{fonction carré}}
   \rput(-2.1,6.5){\small$\lim\limits_{x\to -\infty}{x^2}= +\infty$}
   \rput(2,6.5){\small$\lim\limits_{x\to +\infty}{x^2}= +\infty$}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-2,-5)(2.5,4)
   \mili{-2}{-4}{2}{4}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-2,-4)(2,4)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-1.6}{1.6}{x^3}
   \rput(0,-4.5){\normalfont{fonction cube}}
   \rput(-1.25,-3.5){\small$\lim\limits_{x\to -\infty}{x^3}= -\infty$}
   \rput(1.35,3.5){\small$\lim\limits_{x\to +\infty}{x^3}= +\infty$}
   \rput(-0.2,-0.2){\footnotesize{O}}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-3,-5)(3,4)
   \mili{-3}{-4}{3}{4}
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-4)(3,4)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-3}{-0.25}{1/x}
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{3}{0.25}{1/x}
   \rput(0,-4.5){\normalfont{fonction inverse}}
   \rput(-1.65,-3.5){\small$\lim\limits_{x\to -\infty}{\dfrac{1}{x}}= -\infty$}
   \rput(1.65,3.5){\small$\lim\limits_{x\to 0^+}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$}
   \rput(-2,0.5){\small$\lim\limits_{x\to -\infty}{\dfrac{1}{x}}=0^-$}
   \rput(2,-0.5){\small$\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac{1}{x}}=0^+$}
   \rput(-0.2,-0.2){\footnotesize{O}}
\end{pspicture}}

\end{document}