\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{etex}

% Packages Ecriture
\usepackage[latin1]{inputenc} % Caractères accentués
\usepackage[french]{babel} % Traduction française
\usepackage[T1]{fontenc} % Codage des caractères
\usepackage{lmodern} % Polices vectorielles

% Packages Mise en page
\usepackage[vmargin=2.5cm,lmargin=5cm,rmargin=2cm]{geometry} % Marges
\usepackage{fancyhdr} % Gestion des ET et PDP
\usepackage{sectsty} % Définition des sections
\usepackage{titletoc} % Gestion des sections, titres ...
\usepackage{titlesec}
\usepackage{boiboites} % Boites d'environnement
\usepackage{framed} % Création d'environnements
\usepackage[framed,thmmarks]{ntheorem} % Gestions des environnements theorem
\usepackage{lastpage}

% Packages mathématiques
\usepackage{amsmath} % Equations
\usepackage{amssymb} % Symboles
\usepackage{amsfonts} % Symbloes
\usepackage{pifont} % Font
\usepackage{xlop} % Opérations
\usepackage{multido} % Boucles
\usepackage{cancel} % Barrer
\usepackage[]{algorithm2e} % Création d'algorithmes
%\usepackage{algo} % Algorithme en français

% Packages Tableaux
\usepackage{tabularx} % Tableaux
\usepackage{multirow} %Gestion des lignes
\usepackage{multicol} % Gestion des colonnes
\usepackage{array} %Tableaux maths
\usepackage{arydshln} % Lignes en pointillés
\usepackage{fancybox} % Boites

% Packages Figures et graphiques
\usepackage{graphics} % Inclusion de figures
\usepackage{graphicx} % Inclusion de figures
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-eucl} % Graphiques
\usepackage[pstricks]{bclogo} % Logo
\usepackage{epsfig} % Inclusion de figures eps


% Mise en page
\setlength{\parindent}{0cm} 
\setlength{\parskip}{0.25cm plus 1ex minus 1ex}

% En-tête et pieds de page
\headwidth = 17cm
\pagestyle{fancy} 
\fancyhf{}
\lhead{\small Ch.11}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Prise de décision et estimation}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
\setlength{\marginparwidth}{3cm}
\reversemarginpar

\newcommand\note[2]{%note
   \marginpar[\footnotesize\it\raggedleft \vspace*{#1cm} \textcolor{blue!50}{#2}]}

\newcommand\image[2]{%image
   \marginpar{\vspace*{#1cm} \includegraphics[width=2cm]{#2}}}

\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
\titlespacing*{\part}{3.1cm}{-0.5cm}{0.5cm} 
\titleformat{\part}[hang]
                {\Huge\bf}
                {}
                {}
                {}
                {} 
                
% Sections                
\titlespacing*{\section}{-3cm}{1cm}{0.75cm} 
\titleformat{\section}[hang]
                {\LARGE\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesection}}
                {10pt}
                {}[\vspace{-0.09cm}\titlerule]
                {}          

% Subsections
\titleformat{\subsection}[hang]
                {\Large\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  

% Subsubsections
\titleformat{\subsubsection}[hang]
                {\large\bf\color{blue}}
                {{\thesubsubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  
                
% Environnements
\newboxedtheorem[titlebackground=red!50,background=red!25,boxcolor=red,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Def}{Définition}{compteur} % Définition

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Pro}{Proriété}{compteur} % Proriété

\newboxedtheorem[titlebackground=yellow!50,background=yellow!25,boxcolor=yellow,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Test}{Test}{compteur} % Théorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
         \setlength{\itemsep}{0.1cm}}}
   {\end{list}}

% Tableaux
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

% Maths
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\crm}[1]{\textsc{\romannumeral #1}} % Romains
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.} % Systèmes 2X2
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Rep}{(O,I,J)} % Repère Oij
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}} % système de limites
\def\dt{{\text{d}t}} % intégrales
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module

% Divers
\hbadness=10000
\hfuzz=50pt
\pdfcompresslevel9
\definecolor{vert}{RGB}{27,214,136}
\renewcommand\logowidth{12pt} % taille du logo

% Algobox
\definecolor{fond}{gray}{0.95}
\newenvironment{cadrecode}{%
  \def\FrameCommand{{\color[HTML]{888888}\vrule width 3pt}\colorbox{fond}}%
  \MakeFramed {\hsize 10cm \advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}

%papier millimétré
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}

\graphicspath{{../Images/}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](1,1)(1,8)
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1,6)(4,7)
   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 11}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Prise de décision et estimation
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}


\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small 17})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\intro{
\begin{minipage}{10cm}
   Lorsqu'on s'intéresse à une caractéristique d'une population, il est parfois impossible de tester chaque individu, on est alors amené à travailler sur des échantillons. L'inférence statistique consiste à induire les caractéristiques inconnues d'une population à partir d'un échantillon issu de cette population. \\
   Les méthodes d'inférence statistiques ont connu deux grandes phases de développement. La première commence à la fin du $\crm{19}$\up{e} siècle, avec des travaux qui dégagent les notions de test d'hypothèse et d'intervalle de confiance. \\
   La seconde, qui perdure aujourd'hui, a été rendue possible grâce à la puissance de calcul des ordinateurs et à la banalisation de l'outil informatique à partir de la fin des années 1940.
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{6cm}
   \includegraphics[width=5.9cm]{fluct}
\end{minipage}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Échantillonnage}

%%%%%%%%%%%%
\subsection{Intervalle de fluctuation d'une fréquence}

La théorie de l'échantillonnage se pose la question suivante : \\
en supposant connus les paramètres statistiques d'une population, que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ?

On suppose que ces échantillons de taille $n$ sont prélevés au hasard et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise. On connait la proportion $p$ du caractère $C$ de la population $P$ et on cherche la fréquence $f$ théorique de ce caractère.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(8,4)
   \psellipse[fillcolor=yellow!50,fillstyle=solid](4,2)(4,2)
   \rput(2,2.5){\scriptsize Population $P$}
   \rput(2,1.9){\scriptsize Proportion $p$}
   \rput(2,1.6){\scriptsize du caractère $C$}
   \pscircle[fillcolor=yellow,fillstyle=solid](5.5,2){1.3}
   \rput(5.5,2.6){\scriptsize Échantillon}
   \rput(5.5,2.3){\scriptsize de taille $n$}
   \rput(5.5,1.7){\scriptsize\red fréquence}
    \rput(5.5,1.4){\scriptsize\red $f$ de $C$ ?}
   \psline[linewidth=6pt]{<-}(4.2,2)(3.2,2)
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{Def}
   Soit $p$ la proportion d'un caractère $C$ d'une population $P$. Dans un échantillon de taille $n$ vérifiant $n\geq30, np\geq5$ et $n(1-p)\geq5$, la fréquence $f$ du caractère $C$ appartient à l'intervalle :
  $$\left[\,p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\,p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,\right]$$
  avec un probabilité de 95\,\%. \\
  Cet intervalle est appelé {\bf intervalle de fluctuation asymptotique} à 95\,\%.
\end{Def}

\note{-3.5}{en seconde, on avait $\left[\,p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,\right]$}

\pagebreak

\textbf{Mais pourquoi cette formule étrange ? À quoi correspond 1,96 ?}

Soit $X$ la variable aléatoire qui a un échantillon de taille $n$ associe le nombre d'individus présentant le caractère $C$ de proportion $p$ dans la population totale. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ qui peut être approchée par la loi normale $\mathcal N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)$.

\note{-0.22}{voir chapitre 10}

Dans ce cas, P$(\mu-2\sigma\leq X \leq\mu+2\sigma)\approx0,95$ à $10^{-2}$ près mais on peut préciser davantage : à $10^{-5}$ près, on obtient P$(\mu-1,96\,\sigma\leq X \leq\mu+1,96\,\sigma)\approx0,95$.

D'où : P$\left(np-1,96\sqrt{np(1-p)}\leq X \leq np+1,96\sqrt{np(1-p)}\right)\approx0,95$.

On considère maintenant la variable aléatoire $F =\dfrac{X}{n}$ correspondant à la fréquence :

P$\left(\dfrac{np-1,96\sqrt{np(1-p)}}{n}\leq \dfrac{X}{n} \leq \dfrac{np+1,96\sqrt{np(1-p)}}{n}\right)\approx0,95$

\note{-0.2}{admis}

P$\left(p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\leq F \leq p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\approx0,95$ !

\begin{Ex}
   Dans une chaîne de production fonctionnant normalement, 6\,\% des pièces produites présentent un défaut de fabrication. Le responsable de la chaîne souhaite savoir s'il est nécessaire de procéder à un entretien de la chaîne. Pour cela, il prélève au hasard 100 pièces. Il détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% :
   
$I= \left[\,0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times0,94}{100}}\,;\,0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times0,94}{100}}\,\right] =[\, 0,015\,;0,107\,]$.
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%
\subsection{Prise de décision}

À l'aide d'un échantillon de taille $n$, on souhaite vérifier si on peut raisonnablement penser que la proportion $p$ de la population est bien celle annoncée. Pour cela, on effectue un adopte la procédure suivante :

\begin{Test}
\begin{liste}
   \item on détermine l'intervalle  de fluctuation de la fréquence au seuil de 95\,\% ;
   \item on calcule la fréquence $f$ réelle dans l'échantillon ;
   \item on conclut :
   \begin{itemize}
      \item si $f$ est dans l'intervalle, on accepte l'hypothèse selon laquelle $p$ est bien la proportion de la population ;
      \item si $f$ n'est pas dans l'intervalle, l'hypothèse faite sur $p$ est rejetée.
   \end{itemize}
\end{liste}
\end{Test}

\begin{Ex}
   On reprend l'exemple 2 précédent. Si le responsable trouve 9 pièces défectueuses, doit-il procéder à un entretien de sa chaîne ? Même question si 12 pièces sont défectueuses.
\begin{liste}
   \item 9 pièces correspondent à une fréquence de $\dfrac{9}{100} =0,09$. Or, $0,09\in[\, 0,015\,;0,107\,]$ donc, on peut considérer, au seuil de 95\,\% que la chaîne  fonctionne normalement ;
   \item 12 pièces correspondent à une fréquence de $\dfrac{12}{100} =0,12$. Or, $0,12\notin[\, 0,015\,;0,107\,]$ donc, on peut considérer, au seuil de 95\,\% que la chaîne doit être réparée.
\end{liste}
\end{Ex}

	
\end{document}