\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\setlength{\parindent}{0cm} 
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% En-tête et pieds de page
\headwidth = 17cm
\pagestyle{fancy} 
\fancyhf{}
\lhead{\small Ch.06}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Intégration}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
\setlength{\marginparwidth}{3cm}
\reversemarginpar

\newcommand\note[2]{%note
   \marginpar[\footnotesize\it\raggedleft \vspace*{#1cm} \textcolor{blue!50}{#2}]}

\newcommand\image[2]{%image
   \marginpar{\vspace*{#1cm} \includegraphics[width=\marginparwidth]{#2}}}

\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
\titlespacing*{\part}{3.1cm}{-0.5cm}{0.5cm} 
\titleformat{\part}[hang]
                {\Huge\bf}
                {}
                {}
                {}
                {} 
                
% Sections                
\titlespacing*{\section}{-3cm}{1cm}{0.75cm} 
\titleformat{\section}[hang]
                {\LARGE\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesection}}
                {10pt}
                {}[\vspace{-0.09cm}\titlerule]
                {}          

% Subsections
\titleformat{\subsection}[hang]
                {\Large\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  

% Subsubsections
\titleformat{\subsubsection}[hang]
                {\large\bf\color{blue}}
                {{\thesubsubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  
                
% Environnements
\newboxedtheorem[titlebackground=red!50,background=red!25,boxcolor=red,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Def}{Définition}{compteur} % Définition

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Pro}{Propriété}{compteur} % Proriété

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Proe}{Proéorème}{compteur} % Proéorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
         \setlength{\itemsep}{0.1cm}}}
   {\end{list}}

% Tableaux
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

% Maths
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
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\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{rl} #1\\ #2 \end{array}\right.} % Systèmes 2X2
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Rep}{(O,I,J)} % Repère Oij
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}}% système de limites
\def\dx{{\text{d}x}}

% Divers
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{\endMakeFramed}

%papier millimétré
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}

\graphicspath{{../Images/}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](1,1)(1,8)
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1,6)(4,7)
   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 6}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Intégration
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}


\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small 8})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\intro{
\begin{minipage}{10cm}
   Les calculs d'aire de figures géométriques simples comme les rectangles, les polygones et les cercles sont décrits dans les plus anciens documents mathématiques connus. La première réelle avancée au-delà de ce niveau élémentaire a été faite par {\bf Archimède}. Grâce à sa technique, on pouvait calculer des aires bornées par des paraboles et des spirales.
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{6cm}
   \includegraphics[width=5.9cm]{enri}
\end{minipage}

\ \\
Au début du \crm{18}\up{e} siècle, plusieurs mathématiciens ont cherché à calculer de telles aires de manière plus simple à l'aide de limites. Cependant, ces méthodes manquaient de généralité. La découverte majeure de la résolution du problème d'aire fut faite indépendamment par Newton et Leibniz lorsqu'ils s'aperçurent que l'aire sous une courbe pouvait être obtenue en inversant le processus de différentiation. Cette découverte, qui marqua le vrai début de l'analyse, fut répandue par {\bf Newton} en 1669 et Indépendamment par {\bf Leibniz} aux environs de 1673. \\
}

Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormal $\Rep$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrale d'une fonction}

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\R$ est dite continue sur $I$ si on peut tracer sa courbe représentative dans un repère d'un trait continu sans lever le crayon.

\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(5,2)
   \mili{-1}{-1}{5}{2}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-1)(5,2)
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-1}{5}{sin(x)*sin(x)-cos(x)+0.5}
   \rput(2,-1.5){\it\small fonction continue}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(5,2)
   \mili{-1}{-1}{5}{2}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-1)(5,2)
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-1}{1}{sin(x)*sin(x)-cos(x)}
   \psdots[linecolor=red](1,0.15)(3,1.5)
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{1}{3}{sin(x)*sin(x)-cos(x)+0.5}
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{3}{5}{sin(x)*sin(x)-cos(x)-0.5}
   \rput(2,-1.5){\it\small fonction discontinue}
\end{pspicture}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Intégrale d'une fonction continue positive}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $\text{I}=[\,a;b\,]$. \\
   On appelle \textbf{intégrale de $f$ sur $I$} l'aire du domaine délimité par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. On note alors cette intégrale : $$\int_a^b f(x)\,\dx$$
Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a.), qui correspond à l'aire du rectangle de côtés OI et OJ.v
\end{Def}

\note{-3.5}{le $x$ dans \og $\dx$ \fg{} est à la variable par rapport à laquelle on effectue les calculs}

\pagebreak

On peut visualiser cette aire de la façon suivante :

{\psset{unit=0.9}
\begin{pspicture}(-7.5,-1)(3,3)
   \mili{-4}{-1}{3}{3}
   \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,algebraic=true,linecolor=blue]{\psline(-3,0)(-3,1.75)\psplot{-3}{2}{0.125*x^3+0.125*x^2-x+1}\psline(2,0.5)(2,0)}
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-4}{3}{0.125*x^3+0.125*x^2-x+1}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-1)(3,3)
   \rput(-1.5,1){$\displaystyle{\int_a^b f(x) \dx}$}
   \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-3,-1)(-3,3)
   \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](2,-1)(2,3)
   \rput(-2.4,-0.7){\blue$x=a$}
   \rput(2.6,-0.7){\blue$x=b$}
   \rput(-0.3,-0.3){\small$0$}
   \rput(2.6,2.5){\red$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. 

\begin{Pro}
   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\text{I}=[\,a;b\,]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$, alors $$\int_a^b f(x)\,\dx = F(b)-F(a)$$
\end{Pro} 

\note{-2}{la valeur de l'intégrale est indépendante du choix de $F$}

Pour les calculs, on note $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,\dx} = [\,F(x)\,]_a^b=F(b)-F(a).$

\begin{Ex}
   Aire du domaine compris entre la courbe d'équation $y =\dfrac1x$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\dfrac12$ et $x=4$ dans un repère orthonormé $\Rep$ d'unité graphique $1$ cm : \\
   \begin{minipage}{7cm}
    $\displaystyle{\int_{\frac12}^4\dfrac{1}{x}\,\dx} =[\,\ln(x)\,]_{\frac12}^4$ \\
    \hspace*{1.27cm} $=\ln4-\ln\dfrac12$ \\ [3pt]
    \hspace*{1.27cm} $=\ln4+\ln2$ \\ [3pt]
    \hspace*{1.27cm} $=\ln8\text{ u.a.} \approx 2,08 \text{ cm}^2$
   \end{minipage}
   \qquad
   \begin{minipage}{6cm}
   \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,3)
      \mili{-0.5}{-0.5}{5}{3}
      \rput(-0.3,-0.3){0}
      \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,3)
      \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,algebraic=true,linecolor=blue]{\psplot{0.5}{4}{1/x}\psline(4,0.25)(4,0)(0.5,0)(0.5,2)}
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{0.34}{5}{1/x}
    \rput(4.6,0.6){\red$\mathcal{C}_f$}
      \end{pspicture}
   \end{minipage}
\end{Ex}

\note{-2}{avec wxMaxima : \\ {\tt integrate(1/x,x,1/2,4)}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\text{I}=[\,a;b\,]$ dont $F$ est une primitive. On appelle \textbf{intégrale de $f$ de $a$ à $b$} le réel défini par $$\int_a^b f(x)\,\dx =F(b)-F(a)$$
\end{Def}

\note{-2.3}{dans ce  cas, l'intégrale ne correspond pas forcément à l'aire du domaine}

\begin{Ex}
   \ \\ [-10pt]
   \begin{minipage}{7cm}
      $\displaystyle{\int_0^\pi\cos x\,\dx} =[\,\sin x\,]_0^\pi$ \\
      \hspace*{1.75cm} $=\sin\pi-\sin 0$ \\ [3pt]
      \hspace*{1.75cm} $=0$
   \end{minipage}
   \begin{minipage}{6cm}
   \begin{pspicture}(-1.2,-1)(5,0.5)
      \mili{-0.5}{-1}{5}{1}
      \rput(-0.3,-0.3){\small0}
      \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,algebraic=true,linecolor=blue]{\psline(0,0)(0,1)\psplot{0}{3.14}{cos(x)}\psline(3.14,-1)(3.14,0)}
      \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-0.5}{5}{cos(x)}
      \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,1)
      \rput(4.6,0.5){\red$\mathcal{C}_f$}
   \end{pspicture}
   \end{minipage}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propriétés de l'intégrale}

%%%%%%%%%%%%
\subsection{Linéarité}

\begin{Pro}
   Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[\,a;b\,]$ de $\R$ et $\lambda$ un réel, alors :
   \begin{liste}
      \item $\displaystyle{\int_a^b\left(f(x)+g(x)\right)\,\dx =\int_a^b f(x)\,\dx+\int_a^bg(x)\,\dx}$ ;
      \item $\displaystyle{\int_a^b\lambda f(x)\,\dx =\lambda \int_a^bf(x)\,\dx}$.
   \end{liste}
\end{Pro}

Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d'une intégrale d'une fonction complexe à une succession d'intégrations de fonctions plus élémentaires.

\begin{Ex}
\ \\ [-10pt]
   $I=\displaystyle{\int_1^2\left(6x+\frac5x\right)\,\dx =3\int_1^2 2x\,\dx+5\int_1^2\frac1x\,\dx}$ \\ [5pt]
   \hspace*{3.33cm} $=3[\,x^2\,]_1^2+5[\,\ln x\,]_1^2$ \\ [5pt]
   \hspace*{3.33cm} $=3(2^2-1)+5(\ln2-\ln1)$ \\ [5pt]
   \hspace*{3.33cm} $=9+5\ln2$.
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%
\subsection{Positivité}

\begin{Pro}
   Soit $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $[\,a;b\,]$ de $\R$.
   \begin{liste}
      \item si $f$ est positive sur $[\,a;b\,]$, alors $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,\dx\geq 0}$ ;
      \item si pour tout $x\in[\,a;b\,], f(x)\leq g(x)$, alors $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,\dx\leq \int_a^bg(x)\,\dx}$.
   \end{liste}
\end{Pro}

\begin{Rem}
   La réciproque de la positivité n'est pas forcément vraie, on peut avoir $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,\dx\geq 0}$ sans avoir $f$ positive sur $[\,a;b\,]$ :
   \begin{liste}
      \item $\displaystyle{\int_0^3 (2x-1)\,\dx =[\,x^2-x\,]_0^3}$ \\
      \hspace*{2.1cm} $ =(3^2-3)-(0^2-0)$ \\
      \hspace*{2.1cm} $ =6$. \\
      Donc, $\displaystyle{\int_0^3 (2x-1)\,\dx\geq 0}$.
      \item Cependant, la fonction $f :x\to 2x-1$ n'est pas positive sur $[\,0\,;3\,]$ \\
      (par exemple, $f(0) =-1$).
   \end{liste}
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Relation de Chasles}

\begin{Pro}
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[\,a;b\,]$ de $\R$ et $c\in[\,a;b\,]$, alors :
$$\int_a^bf(x)\,\dx =\int_a^cf(x)\,\dx+\int_c^bf(x)\,\dx.$$
\end{Pro}

Interprétation graphique :

\begin{center}
   \begin{pspicture}(-4,-1.5)(6,3.7)
      \mili{-4}{-1}{6}{4}
      \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=blue]{\psplot{-2}{1}{x 3 exp 2 mul 45 div x 2 exp 5 div sub 3 add}\psline(1,2.84)(1,0)(-2,0)(-2,1.85)}
      \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=vert!80,gradend=yellow,linecolor=blue]{\psplot{1}{5}{x 3 exp 2 mul 45 div x 2 exp 5 div sub 3 add}\psline(5,3.56)(5,0)(1,0)(1,2.84)}
      \psplot[linecolor=red]{-3.4}{5.3}{x 3 exp 2 mul 45 div x 2 exp 5 div sub 3 add}
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-1)(6,4)
      \rput(-0.5,1.3){$\displaystyle{\int_a^cf(x)\,\dx}$}
      \rput(3,1.1){$\displaystyle{\int_c^bf(x)\,\dx}$}
      \rput(-2,-0.3){\blue$a$}
      \rput(1,-0.3){\blue$c$}
      \rput(5,-0.3){\blue$b$}
      \rput(-3.5,-0.5){\red$\mathcal{C}_f$}
      \rput(-0.3,-0.3){\small0}
   \end{pspicture}
\end{center}

\begin{Rem}
   Michel Chasles était un mathématicien français né en 1793 et mort en 1880. 
\end{Rem}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie B (s{\small 16})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Calcul d'aires}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aire d'un domaine compris entre une courbe et l'axe des abscisses}

%%%
\subsubsection{Cas d'une fonction négative}

Si la fonction $f$ est négative, alors la fonction $-f$ est positive et les courbes sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Donc, l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe de $-f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
   
   Dans ce cas, $\mathcal{A}=\displaystyle{\int_a^b~\left(-f(x)\right)\,\dx}$.

\begin{Ex}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{27}-\dfrac{x^2}{3}$. \\
   $f$ est négative sur $]-\infty\,;9\,]$, en particulier sur l'intervalle $[\,0\,;9\,]$.

\note{-0.45}{$f(x) =\dfrac{x^2}{27}(x-9)$}

\begin{minipage}{9.75cm}
{\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,5)
   \mili{-2}{-5}{10}{5}        
   \psplot[linecolor=red]{-2}{10}{x 3 exp 27 div x 2 exp 3 div sub}
   \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=red]{\psplot{0}{9}{x 3 exp 27 div x 2 exp 3 div sub}\psline(0,0)(9,0)}
   \rput(2,-2){\red$\mathcal{C}_f$}
   \psplot[linecolor=blue]{-2}{10}{0 x 3 exp 27 div sub x 2 exp 3 div add}
   \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=vert!80,gradend=yellow,linecolor=blue]{\psplot{0}{9}{0 x 3 exp 27 div sub x 2 exp 3 div add}\psline(0,0)(9,0)}
   \rput(2,2){\blue$\mathcal{C}_{-f}$}
   \rput(-0.3,-0.3){\small$0$}
   \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-5)(10,5)
\end{pspicture}}    
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
   $\mathcal{A}=\displaystyle{\int_0^9\left(-f(x)\right)\,\dx}$ \\ [5pt]
   \phantom{$\mathcal{A}$} $=\displaystyle{\int_0^9\left(-\dfrac{x^3}{27}+\dfrac{x^2}{3}\right)\,\dx}$ \\ [5pt]
   \phantom{$\mathcal{A}$} $=\left[-\dfrac{x^4}{108}+\dfrac{9^3}{9}\right]_0^9$ \\ [5pt]
   \phantom{$\mathcal{A}$} $=\left(-\dfrac{9^4}{108}+\dfrac{9^3}{9}\right)-0$ \\ [5pt]
   \phantom{$\mathcal{A}$} $=\dfrac{81}{4} \text{ u.a.}$
\end{minipage}
\end{Ex}



%%%
\subsubsection{cas d'une fonction changeant de signe}

   Pour calculer l'aire d'un domaine défini par une fonction changeant de signe, il faut découper l'intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant puis utiliser la relation de Chasles.

\begin{Ex}
   On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-x-2$. On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$. \\
   $f$ est positive sur $]-\infty\,;-1\,]\,\cup\,[\,2\,;+\infty\,[$ et négative sur $[\,-1\,;2\,]$.
\begin{multicols}{2}
   On découpe l'aire en deux partie : l'une, $\mathcal{A}_1$ entre les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$ et l'autre, $\mathcal{A}_2$ entre les droites d'équation $x=2$ et $x=3$. \\ [10pt]
   $\mathcal{A}=\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A}=\displaystyle{\int_{-1}^{2}\left(-f(x)\right)\,\dx+\int_{2}^{3}f(x)\,\dx}$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A}=\displaystyle{\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,\dx+\int_{2}^{3}(x^2-x-2)\,\dx}$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A}=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^2+\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x\right]_2^3$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A}=\dfrac{11}{2}+\dfrac{11}{6}$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A}=\dfrac{19}{3}\approx 6,33 \text{ u.a.}$
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(-2,-3)(4,5)
         \mili{-2}{-3}{4}{5}
         \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=blue]{\psplot{-1}{2}{x 2 exp x sub 2 sub}\psline(2,0)(-1,0)}
         \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=vert!80,gradend=yellow,linecolor=blue]{\psplot{2}{3}{x 2 exp x sub 2 sub}\psline(3,4)(3,0)(2,0)}
         \psplot[linecolor=red]{-2}{3.18}{x 2 exp x sub 2 sub}
         \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-3)(4,5)
         \rput(-0.3,-0.3){\scriptsize$0$}
         \uput[90](0.5,-1.5){$\mathcal{A}_1$}
         \uput[90](2.65,0.5){$\mathcal{A}_2$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{multicols}
\end{Ex}

%%%
\subsubsection{Récapitulatif}

\begin{Pro}
   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[\,a\,;b\,]$ de $\R$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Rep$. L'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ vaut :
   \begin{liste}
      \item $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,\dx}$ si $f$ est positive sur $[\,a\,;b\,]$ ;
      \item $\displaystyle{\int_a^b(-f(x))\,\dx}$ si $f$ est négative sur $[\,a\,;b\,]$ ;
      \item la somme des aires de chacun des domaines où la fonction est de signe constant si $f$ change de signe sur $[\,a\,;b\,]$.
   \end{liste}
\end{Pro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aire d'un domaine compris entre deux courbes}

\begin{Pro}
   Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[\,a\,;b\,]$ de $\R$ telles que, pour tout $x$ de $[\,a\,;b\,], f(x)\leq g(x)$ et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur courbe représentative dans un repère orthonormé $\Rep$. L'aire de la partie du plan limitée par les courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ vaut :
   $$\int_a^b(g(x)-f(x))\,\dx$$
\end{Pro}

\begin{Ex}
   Déterminons l'aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définie sur $\R$ par $f(x) =x^2$ et $g(x) =-x^2+2x+4$ et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$.
   
   \begin{multicols}{2}
   $\mathcal{A} =\displaystyle{\int_{-1}^{2}\left(g(x)-f(x)\right)\,\dx}$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A} =\displaystyle{\int_{-1}^{2}((-x^2+2x+4)-(x^2))\,\dx}$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A} =\displaystyle{\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,\dx}$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A} =\left[-2\times\dfrac{x^3}{3}+x^2+4x\right]_{-1}^2\,\dx$ \\ [3pt]
   $\mathcal{A} =9 \text{ u.a.}$
   \begin{center}
      {\psset{unit=0.9}
      \begin{pspicture}(-2,-0.5)(3,5.5)
         \mili{-2}{-1}{3}{6}
         \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,algebraic=true,linecolor=yellow]{\psplot{-1}{2}{x^2}\psplot{-1}{2}{-x^2+2*x+4}}
         \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-2}{2.45}{x^2}
         \psplot[linecolor=blue,algebraic=true]{-1.45}{3}{-x^2+2*x+4}
         \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1)(3,6)
         \rput(-0.3,-0.3){\scriptsize$0$}
      \end{pspicture}}
   \end{center}
   \end{multicols}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Valeur moyenne}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[\,a\,;b\,]$ de $\R$, on appelle \textbf{valeur moyenne} de $f$ sur $[\,a\,;b\,]$ le nombre réel $\mu$ défini par :
   $$\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\dx$$
\end{Def}

\note{-3}{le signe $\int$ se dit aussi \og somme \fg{}, ce qui nous donne une formule similaire à la formule de la moyenne classique}

\textbf{Interprétation graphique si $f$ est positive sur $[\,a\,;b\,]$ :} \\
   le réel $\mu$ est le réel pour lequel l'aire délimitée par la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du rectangle dont les côtés ont pour mesures $b-a$ et $\mu$.
\begin{center}
   \psset{unit=0.85}
   \begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,4)
      \mili{-2}{-1}{5}{4}
      \rput(-0.3,-0.3){\small 0}
      \psplot[linecolor=red]{-2}{5}{2 x add 180 mul 3.14 div sin 2 add}
      \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=red]{\psplot{-1}{4}{2 x add 180 mul 3.14 div sin 2 add}\psline(4,1.8)(4,0)(-1,0)(-1,2.9)}
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(5,4)
      \rput(-1.1,-0.4){\blue$a$}
      \rput(4,-0.4){\blue$b$}  
      \rput(4.8,1.7){\blue$\mu$} 
      \psline[linecolor=blue](-2,1.92)(5,1.92)             
   \end{pspicture}
   \begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,4)
      \mili{-2}{-1}{5}{4}
      \rput(-0.3,-0.3){\small 0}
      \rput(-1.1,-0.4){\blue$a$}
      \rput(4,-0.4){\blue$b$}  
      \psframe[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=blue](-1,0)(4,1.92)
      \psline[linecolor=blue](-2,1.92)(5,1.92)   
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(5,4)         
   \end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
   La valeur moyenne sur $[\,-1\,;1\,]$ de la fonction carré est : $\displaystyle{\mu=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 x^2\,\dx=\frac12\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac13}$.
\end{Ex}


\end{document}