\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{etex}

% Packages Ecriture
\usepackage[latin1]{inputenc} % Caractères accentués
\usepackage[french]{babel} % Traduction française
\usepackage[T1]{fontenc} % Codage des caractères
\usepackage{lmodern} % Polices vectorielles

% Packages Mise en page
\usepackage[vmargin=2.5cm,lmargin=5cm,rmargin=2cm]{geometry} % Marges
\usepackage{fancyhdr} % Gestion des ET et PDP
\usepackage{sectsty} % Définition des sections
\usepackage{titletoc} % Gestion des sections, titres ...
\usepackage{titlesec}
\usepackage{boiboites} % Boites d'environnement
\usepackage{framed} % Création d'environnements
\usepackage[framed,thmmarks]{ntheorem} % Gestions des environnements theorem
\usepackage{lastpage}

% Packages mathématiques
\usepackage{amsmath} % Equations
\usepackage{amssymb} % Symboles
\usepackage{amsfonts} % Symbloes
\usepackage{pifont} % Font
\usepackage{xlop} % Opérations
\usepackage{multido} % Boucles
\usepackage{cancel} % Barrer
\usepackage[]{algorithm2e} % Création d'algorithmes
%\usepackage{algo} % Algorithme en français

% Packages Tableaux
\usepackage{tabularx} % Tableaux
\usepackage{multirow} %Gestion des lignes
\usepackage{multicol} % Gestion des colonnes
\usepackage{array} %Tableaux maths
\usepackage{arydshln} % Lignes en pointillés
\usepackage{fancybox} % Boites

% Packages Figures et graphiques
\usepackage{graphics} % Inclusion de figures
\usepackage{graphicx} % Inclusion de figures
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-eucl} % Graphiques
\usepackage[pstricks]{bclogo} % Logo
\usepackage{epsfig} % Inclusion de figures eps


% Mise en page
\setlength{\parindent}{0cm} 
\setlength{\parskip}{0.25cm plus 1ex minus 1ex}

% En-tête et pieds de page
\headwidth = 17cm
\pagestyle{fancy} 
\fancyhf{}
\lhead{\small Ch.10}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Exemples de lois à densité}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
\setlength{\marginparwidth}{3cm}
\reversemarginpar

\newcommand\note[2]{%note
   \marginpar[\footnotesize\it\raggedleft \vspace*{#1cm} \textcolor{blue!50}{#2}]}

\newcommand\image[2]{%image
   \marginpar{\vspace*{#1cm} \includegraphics[width=2cm]{#2}}}

\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
\titlespacing*{\part}{3.1cm}{-0.5cm}{0.5cm} 
\titleformat{\part}[hang]
                {\Huge\bf}
                {}
                {}
                {}
                {} 
                
% Sections                
\titlespacing*{\section}{-3cm}{1cm}{0.75cm} 
\titleformat{\section}[hang]
                {\LARGE\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesection}}
                {10pt}
                {}[\vspace{-0.09cm}\titlerule]
                {}          

% Subsections
\titleformat{\subsection}[hang]
                {\Large\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  

% Subsubsections
\titleformat{\subsubsection}[hang]
                {\large\bf\color{blue}}
                {{\thesubsubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  
                
% Environnements
\newboxedtheorem[titlebackground=red!50,background=red!25,boxcolor=red,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Def}{Définition}{compteur} % Définition

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Pro}{Proriété}{compteur} % Proriété

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Proe}{Proéorème}{compteur} % Proéorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
         \setlength{\itemsep}{0.1cm}}}
   {\end{list}}

% Tableaux
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

% Maths
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\crm}[1]{\textsc{\romannumeral #1}} % Romains
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.} % Systèmes 2X2
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Rep}{(O,I,J)} % Repère Oij
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}} % système de limites
\def\dt{{\text{d}t}} % intégrales
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module

% Divers
\hbadness=10000
\hfuzz=50pt
\pdfcompresslevel9
\definecolor{vert}{RGB}{27,214,136}
\renewcommand\logowidth{12pt} % taille du logo

% Algobox
\definecolor{fond}{gray}{0.95}
\newenvironment{cadrecode}{%
  \def\FrameCommand{{\color[HTML]{888888}\vrule width 3pt}\colorbox{fond}}%
  \MakeFramed {\hsize 10cm \advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}

%papier millimétré
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}

\graphicspath{{../Images/}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](1,1)(1,8)
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1,6)(4,7)
   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 10}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Exemples de lois à densité
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}


\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small 9})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\intro{
\begin{minipage}{11cm}
   L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou dénombrable. De nombreuses questions ont cependant fait apparaître des lois dont le support est un intervalle tout entier. \\
    Certains phénomènes amènent à une loi uniforme, d'autres à la loi exponentielle. Mais la loi la plus \og présente \fg{} dans notre environnement est sans doute la loi normale : les prémices de la compréhension de cette loi de probabilité  commencent avec Galilée lorsqu'il s'intéresse à un jeu de dé, notamment à la somme des points lors du lancer de trois dés. La question particulière sur laquelle Galilée se penche est : Pourquoi la somme 10 semble se présenter plus fréquemment que 9 ? Il publie une solution en 1618 en faisant un décompte des différents cas. Par la suite, Jacques Bernouilli, puis Abraham de Moivre fait apparaître la loi normale comme loi limite de la loi binomiale, au \crm{18}\up{e} siècle. Pierre-Simon Laplace et Friedrich Gauss poursuivront leurs travaux dans ce sens.
   \end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{4cm}
   \includegraphics[width=3.9cm]{galton}
\end{minipage}
}

Les lois étudiées jusqu'à présent (bernouilli, binomiale) sont des lois \og discrètes \fg. Dans ce chapitre, on s'intéresse à des lois \og continues \fg, c'est-à dire pour lesquelles la variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle, on les appelle lois à densité.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Loi uniforme sur $[a,b]$}

%%%%%%%%%%%%
\subsection{Définition}

\begin{Def}
	Soit $[\,a\,,b\,]$ un intervalle de $\R$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit une {\bf loi uniforme sur $[\,a\,,b\,]$} si pour tout intervalle $I=[\,c\,,d\,]$ inclus dans $[\,a\,,b\,]$, la probabilité de l'événement \og $X\in I$ \fg{} est l'aire du rectangle délimité par la droite d'équation $y=\dfrac{1}{b-a}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=c$ et $x=d$. On peut donc écrire aussi :
   $$P(c\leq X\leq d)=\int_c^d f(t)\,\dt\qquad\textrm{avec}\qquad f(t)=\dfrac{1}{b-a}$$
   $f$ est appelée {\bf densité de la loi uniforme sur $[\,a\,,b\,]$}.
\end{Def}	

\note{-5.23}{on note $X\sim\mathcal U\,[\,a\,,b\,]$}

On a alors $\displaystyle{\int_c^d\dfrac1{b-a}\,\dt=\left[\dfrac t{b-a}\right]_c^d=\dfrac{d}{b-a}-\dfrac{c}{b-a}}$. \\ [3pt]
Et P$(X=c) =\text{P}(c\leq X\leq c) =0$.

\begin{Pro}
   Si une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[\,a\,,b\,]$, alors $$\text{P}(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a}$$
\end{Pro}

\begin{Rem}
   Pour toute loi continue, pour tout réel $c$, {\normalfont P}$(X=c) =0$, donc : \\
   ${\normalfont\text P}(c\leq X\leq d) ={\normalfont \text P}(c< X\leq d) ={\normalfont \text P}(c\leq X< d) ={\normalfont \text P}(c< X< d)$.
\end{Rem}

{\bf Représentation graphique :} \\
\begin{pspicture}(-4,-1)(6,4)
   \rput(-0.3,-0.3){\small O}
   \psline[linecolor=gray](1.5,0)(1.5,3)
   \rput(1.5,-0.3){\gray $a$}
   \psline[linecolor=gray](5,0)(5,3)
   \rput(5,-0.3){\gray $b$}
   \psframe[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=blue](2,0)(4,3)
   \rput(2,-0.3){\blue $c$}
   \rput(4,-0.3){\blue $d$}
   \rput(3,1.5){\footnotesize\blue P$(c\leq X\leq d)$}
   \psline[linecolor=gray,linestyle=dotted](0,3)(5.5,3)
   \psline[linecolor=gray](1.5,3)(5,3)
   \rput(-0.6,3){\gray $\frac{1}{b-a}$}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,3.5)
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed]{<->}(2,-0.7)(4,-0.7)
   \rput(3,-1){\blue $d-c$}
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed]{<->}(6,0)(6,3)
   \rput(6.7,1.5){\blue $\dfrac{1}{b-a}$}
\end{pspicture}

\note{-2.7}{on a P$(a\leq X\leq b) =1$}

{\bf Cas d'utilisations de la loi uniforme :} cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalle donné. La notion d'uniformité vient du fait que la probabilité qu'une valeur tirée d'une loi uniforme soit dans un certain intervalle ne dépend pas de la position de l'intervalle, mais uniquement de sa longueur. \\
On l'utilise généralement lorsque la situation se ramène à choisir {\bf au hasard} un réel dans un intervalle $[\,a\,,b\,]$.

\begin{Ex} À l'arrêt de bus des papangues, un bus passe toutes les 10 minutes. Un voyageur ignore les horaires et arrive à cet arrêt de bus. Quelle est la probabilité d'attendre le bus exactement 3 minutes ? entre 2 et 4 minutes ? plus de 5 minutes ?

On note $T$ la variable aléatoire représentant le temps d'attente,  en minutes. On suppose que $T$ suit la loi uniforme $\mathcal U[\,0\,;10\,]$.
\begin{liste}
   \item P$(3\leq T\leq3) =\displaystyle{\int_3^3\dfrac1{10-0}\,\dt=\left[\dfrac t{10}\right]_3^3=\dfrac{3-3}{10} =\dfrac{0}{10} =0}$ ;
   \item P$(2\leq T\leq4) =\displaystyle{\int_2^4\dfrac1{10-0}\,\dt=\left[\dfrac t{10}\right]_2^4=\dfrac{4-2}{10} =\dfrac{2}{10} =0,2}$ ;
   \item P$(T\geq5) =1-\text{P}(T<5) =1-\dfrac{5}{10} =\dfrac{5}{10} =0,5$.
\end{liste}
\end{Ex}

\note{-0.95}{P$(A) =1-\text{P}(\overline{A})$}

\tice{L'instruction \og nombre aléatoire \fg{} d'un logiciel ou d'une calculatrice permet de modéliser une loi uniforme sur $[\,a\,,b\,]$.}

Syntaxes pour obtenir un nombre au hasard entre 0 et 1 :

\begin{tabular}{|C{2}|C{2}|C{2}|C{2}|C{2}|}
   \hline
   tableur & TI & casio & AlgoBox & Python \\
   \hline
   \tt ALEA() &\tt NbrAléat & \tt Ran\# & \tt random() & \tt random() \\
   \hline
\end{tabular}

\note{-0.2}{En anglais, random signifie \og hasard \fg}

Pour obtenir un nombre entre $a$ et $b$, on utilise la syntaxe \quad {\tt=ALEA( )*(b-a)+a}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Espérance et variance}

\begin{Def}
   Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[\,a\,,b\,]$, on appelle espérance de $X$ le réel, noté $E(X)$ défini par $$E(X) =\int_a^btf(t)\,dt$$ \\
   on appelle variance de $X$ le réel, $V(X)$ défini par $$V(X) = \int_a^b(t-E(X))^2f(t)\,dt$$
\end{Def}

\note{-5}{cas discrèt :}
     
\note{-4}{$\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_iP(X =x_i)}$}

\note{-2}{\hspace*{-0.5cm}$\displaystyle{\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2P(X =x_i)}$}

L'espérance est une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire. \\
L'écart-type $\sigma$ correspond à la racine carrée de la variance : $\sigma(X) =\sqrt{V(X)}$.

\begin{Pro}
   Si $X\sim\mathcal U[\,a\,,b\,]$, l'espérance $E(X)$ et la variance $\sigma(X)$ sont donnés par:
   $$E(X)=\dfrac{a+b}{2}\qquad\qquad V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$$
\end{Pro}

\note{-1.85}{$E(X)$ correspond au centre de l'intervalle}

{\bf Démonstrations :} \\
$\begin{aligned}[t]
E(X) & = \int_a^b t\times\dfrac{1}{b-a}\dt \\
& = \dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_a^b \\
& = \dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{a^2}{2}\right) \\
& = \dfrac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}\\
& = \dfrac{a+b}{2}
\end{aligned}$
\quad
$\begin{aligned}[t]
V(X) & = \int_a^b \left(t-\dfrac{a+b}{2}\right)^2\times\dfrac{1}{b-a}\dt \\
& = \dfrac{1}{b-a}\times\left[\dfrac13\left(t-\dfrac{a+b}{2}\right)^3\right]_a^b \\
& = \dfrac{1}{3(b-a)}\times\left(\left(b-\dfrac{a+b}{2}\right)^3-\left(a-\dfrac{a+b}{2}\right)^3\right) \\
& = \dfrac{1}{24(b-a)}\times\left((b-a)^3-(a-b)^3\right) \\
& = \dfrac{2}{24(b-a)}\times(b-a)^3 \\
& = \dfrac{1}{12}\times(b-a)^2 \\
\end{aligned}$

\begin{Ex}
   L'attente moyenne de notre voyageur à l'arrêt de bus des papangues, sera de : \\
   $E(T) =\dfrac{0+10}{2}=5$ minutes. \\
   L'écart-type $\sigma(X) =\sqrt{\dfrac{1}{12}}\times(10-0) =1,67$ nous informe sur la manière dont les temps d'attente se répartissent autour de la moyenne.
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Loi exponentielle}

%%%%%%%%%%%%
\subsection{Définition}

\begin{Def}
   Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[\,0\,;+\infty\,[$ suit la {\bf loi exponentielle de paramètre $\lambda$}, si pour tous réels $c$ et $d$ dans $[\,0\,;+\infty\,[$, on a :
   $$P(c\leq X\leq d)=\int_c^d f(t)\,\dt \quad \text{ avec } \quad f(t)=\Syst{\lambda e^{-\lambda t} & \text{si }t\geq 0}{0 & \text{si }t<0}$$
$f$ est appelée {\bf densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$}.
\end{Def}	

\note{-4.18}{on note $X\sim\mathcal E(\lambda)$}

{\bf Représentation graphique :} \\
\begin{pspicture}(-3.5,-0.7)(4,5)
   \psset{yunit=4,xunit=2}
   \rput(-0.2,-0.1){\small O}
   \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=blue,algebraic=true]{\psline(0.5,0)(0.5,0.61) \psplot{0.5}{2}{EXP(-x)} \psline(2,0.14)(2,0)} 
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{0}{3}{EXP(-x)}
   \rput(0.5,-0.1){\blue $c$}
   \rput(2,-0.1){\blue $d$}
   \rput(1.25,0.1){\footnotesize\blue P$(c\leq X\leq d)$}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.3,-0.15)(3,1.2)
\end{pspicture}

On a alors $\displaystyle{\int_c^d\lambda e^{-\lambda t}\,\dt=\left[-e^{-\lambda t}\right]_c^d=e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d}}$. \\
Donc, P$(X\leq t) =\text{P}(0\leq X\leq t) =1-e^{-\lambda t}$.

\begin{Pro}
   Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\R^+$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si, et seulement si, pour tout $t\geq0$, $$P(X\leq t)=1-e^{-\lambda t}$$
\end{Pro}

{\bf Cas d'utilisations de la loi exponentielle :} une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant un temps $t$ ne change rien à son espérance de vie à partir du temps $t$. \\
Elle permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d'un composant électronique, de décrire le temps écoulé entre deux moments\dots

\begin{Ex}
   La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,00005. \\
   On détermine la probabilité que ce composant tombe en panne avant 10 000 heures, qu'il fonctionne au moins 15 000 heures, et qu'il tombe en panne entre la 10 000\up{e} heure et la \\
15 000\up{e} heure :
   \begin{liste}
      \item P$(T< 10 000) =\text{P}(T\leq 10 000) =1-\e^{-0,00005\times10000} =0,40$ ;
      \item P$(T\geq 15 000) =1-\text{P}(T< 15 000) =1-(1-\e^{-0,00005\times15000}) =0,47$ ;
      \item P$(10 000\leq T\leq15000) =\text{P}(T\leq 15 000)-\text{P}(T<10000)=0,47-0,40 =0,07$.
   \end{liste}
\end{Ex}

\note{-1}{${\normalfont\text P}(a\leq T\leq b) ={\normalfont\text P}(T\leq b)-{\normalfont\text P}(T< a)$}


%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Espérance}

\begin{Def}
   L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est donnée par :
    $$E(X) =\lim_{x\to+\infty}\int_0^x tf(t)\,\dt$$
\end{Def}

\begin{Pro}
   Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, l'espérance $E(X)$ est :
   $$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$
\end{Pro}
	
\begin{Ex}
   On reprend l'exemple 10 précédent, on calcule : \\
   $E(X) =\dfrac{1}{0,00005} =20\,000$. \\ [3pt]
   On peut donc en conclure que la durée de vie moyenne du composant électronique est de \\ 20 000 heures.
\end{Ex}
	
\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie B (s{\small 13})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Loi normale}

%%%%%%%%%%%%
\subsection{Définition}

\begin{Def}
   Soit $\mu$ et $\sigma$ deux réels tels que $\sigma>0$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit une {\bf loi normale}, si pour tous réels $c$ et $d$, on a :
   $$P(c\leq X\leq d)=\int_c^d f(t)\,\dt \quad \text{ avec } \quad f(t)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$
   $f$ est appelée {\bf densité de la loi normale de paramètre $\mu$ et $\sigma$}.
\end{Def}
	
\note{-4.2}{aussi appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss}

\note{-1.3}{on note $\mathcal N(\mu,\sigma)$}

{\bf Représentation graphique :} \\
{\psset{xunit=2,yunit=2.5}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(2,1.3)%1 0.5   
   \pscustom[fillstyle=gradient,gradmidpoint=0.5,gradangle = 90,gradbegin=orange,gradend=yellow,linecolor=blue,algebraic=true]{\psline(0.2,0)(0.2,0.2)\psplot[linecolor=red]{0.2}{1.5}{0.8*EXP(-2*(x-1)^2)}\psline(1.5,0.4)(1.5,0)}
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-1}{3}{0.8*EXP(-2*(x-1)^2)}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-0.2)(3,1.1)
   \rput(0.9,0.25){\small\blue P$(c\leq X\leq d)$}
   \rput(0.2,-0.1){\small\blue $c$}
   \rput(1.5,-0.1){\small\blue $d$}
\end{pspicture}}

\note{-2}{courbe \og en cloche \fg}
     	
\begin{Pro}
   Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ alors les paramètres d'une loi normale sont son espérance et son écart-type :
$$E(X)=m \textrm{ et } \sigma(X)=\sigma.$$
\end{Pro}

\begin{minipage}{5.5cm}
   {\psset{xunit=1.5,yunit=2}
   \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2,1.5)%1 0.5   
      \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-1}{3}{0.8*EXP(-2*(x-1)^2)}
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-0.2)(3,1.1)
      \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
      \rput(1,-0.2){\small\blue $m$}
      \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,0.8)(2,0.8)
      \rput(-0.4,0.8){\small\blue $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$}
   \end{pspicture}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
   \begin{liste}
      \item la courbe admet comme axe de symétrie la droite d'équation $x=m$ ;
      \item le maximum de la courbe est atteint en $m$, espérance de la variable $X$ et vaut $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ ;
      \item  plus $\sigma$ est grand, plus la courbe \og s'étale \fg{} autour de $m$.
   \end{liste}
\end{minipage}

\tice{Les syntaxes, avec les calculatrices sont les suivantes :} \\
Casio 35 : P$(a\leq X\leq b)$ = {\tt NormCD}$(a,b,\sigma,\mu)$ \\
TI 82: P$(a\leq X\leq b)$  = {\tt normalFrep}$(a,b,\mu,\sigma)$

\begin{Ex}
Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie. \\
Une pièce est conforme lorsque sa longueur (en millimètres) appartient à l'intervalle $[\,74,4\,;75,6\,]$. On note $L$ la variable aléatoire qui, à  chaque pièce prélevée au hasard, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit conforme ?

On calcule $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$, la calculatrice donne $0,98$. \\
La pièce est donc conforme dans 98\% des cas.
\end{Ex}

\note{-2.23}{$L\sim\mathcal N(\,75\,;0,25\,)$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Intervalles en fonction de $\sigma$}

\begin{Pro}
   Si $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, alors 
   \begin{liste}
      \item P$(\mu-\sigma\leq X \leq\mu+\sigma)\approx0,68$ ;
      \item P$(\mu-2\sigma\leq X \leq\mu+2\sigma)\approx0,95$ ;
      \item P$(\mu-3\sigma\leq X \leq\mu+3\sigma)\approx0,997$.
   \end{liste}      
\end{Pro}  

\image{-3}{attention}
  
\textbf{Interprétation graphique :} \\
\psset{unit=4,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.9)(3,1.2)%1.5 0.45
   \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=violet!50,linecolor=violet!50]{\psline(0.15,0)(0.15,0.01)\psplot[linecolor=red]{0.15}{2.85}{0.08 x x mul -3 x mul add 2.25 add exp 0.89 mul}\psline(2.85,0.01)(2.85,0)}
   \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=vert!50,linecolor=vert!50]{\psline(0.6,0)(0.6,0.11)\psplot[linecolor=red]{0.6}{2.4}{0.08 x x mul -3 x mul add 2.25 add exp 0.89 mul}\psline(2.4,0.11)(2.4,0)}
   \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50,linecolor=blue!50]{\psline(1.05,0)(1.05,0.53)\psplot[linecolor=red]{1.05}{1.95}{0.08 x x mul -3 x mul add 2.25 add exp 0.89 mul}\psline(1.95,0.53)(1.95,0)}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(3,1)
   \rput(1.5,1){$x=\mu $}
   \rput(1.05,-0.27){\textcolor{blue}{\small$\mu-\sigma$}}
   \rput(1.95,-0.27){\textcolor{blue}{\small $\mu +\sigma$}}
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](1.05,-0.2)(1.05,0.53)
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](1.95,-0.2)(1.95,0.53)
   \rput(1.5,-0.27){\textcolor{blue}{\small P $=0,68$}} 
   \psline[linecolor=blue]{<->}(1.05,-0.2)(1.95,-0.2)  
   \rput(0.6,-0.47){\textcolor{vert}{\small $\mu-2\sigma$}}
   \rput(2.4,-0.47){\textcolor{vert}{\small $\mu +2\sigma$}} 
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=vert](2.4,-0.4)(2.4,0.11)
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=vert](0.6,-0.4)(0.6,0.11)
   \rput(1.5,-0.47){\textcolor{vert}{\small P $=0,95$}}
   \psline[linecolor=vert]{<->}(0.6,-0.4)(2.4,-0.4)
   \rput(0.15,-0.67){\textcolor{violet}{\small $\mu-3\sigma$}}
   \rput(2.85,-0.67){\textcolor{violet}{\small $\mu +3\sigma$}} 
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=violet](2.85,-0.6)(2.85,0.0)
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=violet](0.15,-0.6)(0.15,0.01)
   \rput(1.5,-0.67){\textcolor{violet}{\small P $=0,997$}}
   \psline[linecolor=violet]{<->}(0.15,-0.6)(2.85,-0.6)
   \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,0.95)
   \psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{3}{0.08 x x mul -3 x mul add 2.25 add exp 0.89 mul}
\end{pspicture}

\begin{Ex}
On reprend l'exercice 16, quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir l'égalité : \\
$P(75 - h \leq L \leq 75 + h) = 0,997$ ? 

On utilise la formule : P$(\mu-3\sigma\leq L \leq\mu+3\sigma)\approx0,997$ et on a : \\ [1pt]
P$(75-3\times0,25\leq L\leq75+3\times0,25)\approx0,997$ donc, $h=3\times0,25 =0,75$.

De plus, P$(74,25\leq L\leq75,75)\approx0,997$, ce qui signifie que quasiment toutes les pièces \\
(99,7 \%) ont théoriquement une largeur comprise entre 74,25 mm et 75,75 mm.
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Approximation}

{\bf Rappels :} on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire suivant une loi de {\bf Bernoulli} donnant lieu à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1-p$). \\
La variable aléatoire $X$ qui, à cette série de $n$ expériences, associe le nombre de succès suit la loi {\bf binomiale} $\mathcal B(n,p)$ de paramètres $n$ et $p$. \\
Son espérance est $E(x) =np$ et son écart-type $\sigma(X) =\sqrt{np(1-p)}$.

\note{-2.65}{loi de Bernoulli et loi binomiale}

\begin{Pro}
   La loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ peut être approchée par la loi normale $\mathcal N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)$ lorsque $n\geq30$, $np\geq5$ et $n(1-p) \geq 5$.
\end{Pro}

\begin{minipage}{6cm}
   On a représenté ci-contre le diagramme en bâtons de la loi de probabilité d'un loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ ainsi que la représentation graphique de la densité de probabilité de la loi normale $\mathcal N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)$. \\ 
   On remarque une certaine similitude !
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(8,-3)(35,15)
   \psline{->}(10,0)(35,0)
   \psline{->}(12,-2)(12,15)
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=2pt]{12}{35}{12.8*EXP(-0.045*(x-24)^2)}
   \psset{fillstyle=solid,fillcolor=yellow,linecolor=orange}
   \psframe(13.8,0)(14.2,0.08)
   \psframe(14.8,0)(15.2,0.21)
   \psframe(15.8,0)(16.2,0.50)
   \psframe(16.8,0)(17.2,1.06)  
   \psframe(17.8,0)(18.2,2.03)
   \psframe(18.8,0)(19.2,3.52)
    \psframe(19.8,0)(20.2,5.54)
   \psframe(20.8,0)(21.2,7.92)
   \psframe(21.8,0)(22.2,10.26)
   \psframe(22.8,0)(23.2,12.04)
   \psframe(23.8,0)(24.2,12.79)
   \psframe(24.8,0)(25.2,12.28)
   \psframe(25.8,0)(26.2,10.63)
   \psframe(26.8,0)(27.2,8.27)
   \psframe(27.8,0)(28.2,5.76)
   \psframe(28.8,0)(29.2,3.57)
   \psframe(29.8,0)(30.2,1.96)
   \psframe(30.8,0)(31.2,0.95)
   \psframe(31.8,0)(32.2,0.40)
   \psframe(32.8,0)(33.2,0.15)
   \psframe(33.8,0)(34.2,0.05)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{Ex}
   Un revendeur de matériel photographique désire s'implanter dans une galerie marchande. \\
   Il estime qu'il pourra vendre 40 appareils photo par jour et les ventes sont deux à deux indépendantes. Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, la marque A réalise 38,6 \% du marché. \\
On note X la variable aléatoire qui, un jour donné, associe le nombre d'appareils de marque A vendus ce jour-là. 
   \begin{liste} 
      \item on peut assimiler ces 40 ventes indépendantes à un schéma de Bernoulli où le succès est l'événement \og l'appareil de marque A est vendu \fg. Alors, la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres : $n=40$ et $p=0,386$ ;
      \item la probabilité que, sur 40 appareils vendus ce jour, 10 soient de la marque A vaut \\
      P$(X=10) =\left(\begin{array}{c}40\\10\end{array}\right)\times 0,386^{10}\times0,614^{30}\approx0,03$ ;
      \item l'espérance de X vaut $E(X) =np=40\times0,386=15,44$ et son écart type vaut \\
      $\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{40\times0,386\times0,614}\approx3,08$ ;
      \item on peut approcher cette loi par loi normale de paramètres $\mu=15,44$ et $\sigma=3,08$ ;
      \item la probabilité de l'événement : \og un jour donné, le nombre d'appareils de marque A vendus est compris entre 15 et 25 \fg{} vaut P$(15\leq Y \leq 25) =0,56$.
   \end{liste}
\end{Ex}

\note{-3.8}{P$(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}$}
	
\end{document}