\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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% En-tête et pieds de page
\headwidth = 17cm
\pagestyle{fancy} 
\fancyhf{}
\lhead{\small Ch.09}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Nombres complexes}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
\setlength{\marginparwidth}{3cm}
\reversemarginpar

\newcommand\note[2]{%note
   \marginpar[\footnotesize\it\raggedleft \vspace*{#1cm} \textcolor{blue!50}{#2}]}

\newcommand\image[2]{%image
   \marginpar{\vspace*{#1cm} \includegraphics[width=\marginparwidth]{#2}}}

\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
\titlespacing*{\part}{3.1cm}{-0.5cm}{0.5cm} 
\titleformat{\part}[hang]
                {\Huge\bf}
                {}
                {}
                {}
                {} 
                
% Sections                
\titlespacing*{\section}{-3cm}{1cm}{0.75cm} 
\titleformat{\section}[hang]
                {\LARGE\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesection}}
                {10pt}
                {}[\vspace{-0.09cm}\titlerule]
                {}          

% Subsections
\titleformat{\subsection}[hang]
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                {10pt}
                {}
                {}  

% Subsubsections
\titleformat{\subsubsection}[hang]
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                {{\thesubsubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  
                
% Environnements
\newboxedtheorem[titlebackground=red!50,background=red!25,boxcolor=red,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Def}{Définition}{compteur} % Définition

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Pro}{Proriété}{compteur} % Proriété

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Proe}{Proéorème}{compteur} % Proéorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
         \setlength{\itemsep}{0.1cm}}}
   {\end{list}}

% Tableaux
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

% Maths
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\crm}[1]{\textsc{\romannumeral #1}} % Romains
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.} % Systèmes 2X2
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Rep}{(O,I,J)} % Repère Oij
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}} % système de limites
\def\dx{{\text{d}x}} % intégrales
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module

% Divers
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%papier millimétré
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](1,1)(1,8)
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1,6)(4,7)
   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 9}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Nombres \\ complexes
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}


\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small 14})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\intro{
\begin{minipage}{10.5cm}
   L'histoire des nombres complexes débute avec l'apparition de quantités négatives sous un radical, au \crm{16}\up{e} siècle avec le mathématicien italien Jérôme Cardan. Raphaël Bombelli, un autre mathématicien italien, détermine des règles de calcul sur ces nombres appelés alors \og impossibles \fg. \\
   Ce n'est qu'à partir du \crm{19}\up{e} siècle que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes, sous l'impulsion de l'abbé Buée de Jean-Robert Argand, puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy. Ils sont actuellement utilisés en algèbre et en analyse, mais surtout en tant qu'outil pour les physiciens, en optique ou en électricité.
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{5cm}
   \includegraphics[width=4.9cm]{Mandelbrot} \\
   {\small Ensemble de Mandelbrot}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Rappels de première}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Forme algébrique}

\begin{Def}
   L'ensemble $\C$ des {\bf nombres complexes} a les caractéristiques suivantes :
   \begin{liste}
      \item il contient le nombre $i$ vérifiant \textbf{$i^2=-1$} ;
      \item chaque élément $z$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$ où $a$ est la partie réelle de $z : \Ree(z)$ et $b$ la partie imaginaire : $\Ima(z)$ ;
      \item  le \textbf{conjugué} du nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre $\overline{z}=a-ib$.
   \end{liste}
\end{Def}

\begin{minipage}{6cm}
   Représentation graphique dans \\
   le repère $(O,U,V)$ :
\end{minipage}
\begin{minipage}{5.5cm}
   \begin{pspicture}(-2,-0.5)(3.5,2.5)
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
      \psline{|-|}(0,0)(1,0)
      \psline{|-|}(0,0)(0,1)
      \psline[linewidth=0.05,arrowsize=10pt]{->}(0,0)(3,2)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,0)(3,2)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,2)(3,2)
      \rput(-0.3,-0.3){\footnotesize $O$}
      \rput(1,-0.3){\footnotesize $U$}
      \rput(-0.3,1){\footnotesize $V$}
      \rput(4.3,2.3){\small $M(z=a+ib)$}
      \rput(3,-0.3){\textcolor{red}{$a$}}
      \rput(-0.3,2){\textcolor{blue}{$b$}}
      \rput(1.5,-0.75){\small\it partie réelle}
      \rput{90}(-0.8,1){\small\it partie imaginaire}
      \psdot(3,2)
   \end{pspicture} 
\end{minipage}

\begin{Pro}
   On pose $z=a+ib$, $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes et $k$ un réel :
   \begin{liste}
      \item $z\pm z'=(a+a')\pm i(b+b')$ \hfill $\bullet \;\; zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$
      \item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ \hspace{4.03cm} $\bullet \;\; \overline{z \times z'}=\overline{z}\ \times \overline{z'}$
      \item $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\overline{z'}}{z' \overline{z'}}=\dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{a'^2+b'^2}$ \hspace{1.57cm} $\bullet \;\; \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z}'}$
      \item $z \in \R \Longleftrightarrow z=\overline{z}$ \hspace{3.72cm} $\bullet \;\; z \in i \,\R \Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
   \end{liste}
\end{Pro}

\note{-2.47}{on multiplie par l'expression conjuguée}

\pagebreak

\begin{Ex}
   Soit $z = 2 + 3i$ et $z' =  i - 5$, on a :
   \begin{liste}
      \item $2z-3z'=2(2+3i)-3(i-5)=4+6i-3i+15=19+3i$ ;
      \item $zz'=(2+3i)(i-5)=2i-10+3i^2-15i=2i-10-3-15i=-13-13i$ ;
      \item $\overline{z+z'} =(2-3i)+(-i-5) =-3-4i$ ;
      \item $\dfrac{2+i}{-3+i}=\dfrac{(2+i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)}=\dfrac{-6-2i-3i+1}{10}=\dfrac{-5-5i}{10}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$.
   \end{liste}
\end{Ex}

\begin{Pro}
   Si $M$ a pour affixe  $z = a + ib$ et $M'$ a pour affixe  $z' = a' + ib'$, alors :  
   \begin{liste}
      \item le vecteur $\V{MM'}$ a pour affixe $z'-z$ ;
      \item $||\V{MM'}|| = \sqrt{(a'-a)^2+(b'-b)^2\phantom{^1}}$ ;
      \item le milieu $I$ de $[MM']$ a pour affixe  $z_I = \dfrac{z + z'}{2}$.
   \end{liste}
\end{Pro}

Ces propriétés sont utiles pour les démonstrations dans le cadre de la géométrie avec utilisation des nombres complexes.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Forme trigonométrique}

\begin{Def}
   Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul et $M$ le point d'affixe $z$.
   \begin{liste}
      \item le \textbf{module} de $z$ est le réel positif $\Abs{z}=\sqrt{z\ \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$ ;
      \item \textbf{l'argument} de $z$ est le nombre réel $\theta$ tel que $\arg(z) =\theta=(\V{u},\V{OM}) [\;2\pi]$ ; \\
      on a \quad $\cos \theta = \dfrac{a}{\Abs{z}}$ \quad et \quad $\sin \theta =\dfrac{b}{\Abs{z}}$.
   \end{liste}
   Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire $z = \Abs{z}(\cos \theta + i  \sin \theta)$. \\
   Cette écriture s'appelle la \textbf{forme trigonométrique} de $z$.
\end{Def}

\note{-1.9}{on note aussi $z=r(cos\theta+i\sin\theta)$ avec $r=\Abs{z}$}

\begin{center}
   \psset{unit=1.5cm} 
   \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.5,2.5)
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.3,-0.3)(3.5,2.5)
      \psline[linewidth=0.05,arrowsize=10pt]{->}(0,0)(3,2)
      \psline{|-|}(0,0)(0.75,0)
      \psline{|-|}(0,0)(0,0.75)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,0)(3,2)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,2)(3,2)
      \rput(-0.2,-0.2){$0$}
      \rput(0.75,-0.2){\small$U$}
      \rput(-0.2,0.75){\small$V$}
      \rput{32}(1.3,1.2){$\Abs{z} =r=\sqrt{a^2+b^2}$}
      \psarc[linewidth=0.05]{->}(0,0){1}{0}{35}
      \rput(3.4,2.2){$M(z)$}
      \rput(1.1,0.3){$\theta$}   
      \rput(3,-0.2){\red$a=r\cos \theta$}
      \rput(-0.7,2){\blue$b=r\sin \theta$}
   \end{pspicture} 
\end{center}

Pour trouver la forme trigonométrique d'un nombre $z$, il faut calculer successivement le module et l'argument de $z$.

\begin{Ex}
   \begin{liste}
      \item $\Abs{1+i\sqrt3}=\sqrt{1^2+\sqrt3^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4} =2$ ;
      \item $\arg(1+i\sqrt3) : \Syst{\cos \theta & = \dfrac{1}{2}}{\sin \theta & = \dfrac{\sqrt3}{2}} \quad \Rightarrow \quad \theta = \dfrac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \arg(1+i\sqrt3)=\dfrac{\pi}{3}$.
      \item $1+i\sqrt3 =2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$
   \end{liste}
\end{Ex}

\begin{Pro}
  \begin{liste}
      \item $\Abs{z}=0 \Longleftrightarrow z=0$ \hspace*{3.13cm} $\bullet \;\; \Abs{-z}=\Abs{\overline{z}}=\Abs{z}$
      \item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$ \hfill $\bullet \;\; \arg \left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$
   \end{liste}
\end{Pro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Forme exponentielle} 

%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Définition}

Pour tout nombre réel $\theta$, on pose : $$\fbox{$\cos\theta+i\sin\theta=\e^{i\theta}$}$$

\note{-0.9}{{\normalfont e} désigne le nombre d'Euler}

\begin{Def}
   Tout nombre complexe $z$ non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ peut s'écrire sous la forme $z=r\,e^{i\theta}$. \\
   Cette écriture, avec $r>0$, est appelée {\bf forme exponentielle} du nombre $z$.
\end{Def}

 \note{-1.45}{{\normalfont e}$^{i\times0}=1$ et {\normalfont e}$^{i\frac{\pi}{2}}=i$}
 
\begin{Rem}
   On a alors $z=r\,e^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cos\theta+ir\sin\theta=a+ib$.
\end{Rem}

\begin{Ex}
   Différentes écritures du nombre complexe $1+i\sqrt3$ : \\
   {\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
   \begin{tabular}{|C{4}|C{4}|C{4}|}
      \hline
      Forme algébrique & Forme trigonométrique & Forme exponentielle \\ 
      \hline
      \rule{0cm}{0.6cm}
      $1+i\sqrt3$ & $2\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$ & $2\,\e^{i\frac{\pi}{3}}$ \\ [5pt]
      \hline
   \end{tabular}}
\end{Ex}

\begin{Ex}
   Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis algébrique de $z=4\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$ :
   \begin{liste}
      \item $z=4\left[\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]$
      \item $z=4\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ \\ [3pt]
      $=-2\sqrt2+2i\sqrt2$
   \end{liste}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Règles de calcul en notation exponentielle}

\begin{Rem}
   Pour les calculs du type \og somme \fg{} ou \og différence \fg, on utilisera la forme algébrique. \\
   On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
\end{Rem}

\begin{Pro}
   Soit $\theta$ et $\theta'$ des nombres réels et $n$ un nombre entier :
   \begin{liste}
      \item produit : $\e^{i\theta}\times \e^{i\theta'} =\e^{i(\theta+\theta')}$ ;
      \item puissance : $\left(\e^{i\theta}\right)^n =\e^{i n\theta}$ ;
      \item inverse : $\dfrac{1}{\e^{i\theta}} =\e^{-i\theta}$ ;
      \item quotient : $\dfrac{\e^{i\theta}}{\e^{i\theta'}} =\e^{i(\theta-\theta')}$ ;
      \item conjugué : $\overline{\e^{i\theta}} =\e^{-i\theta}$.
   \end{liste}
\end{Pro}

{\bf Démonstration de la première propriété :} \\
$\e^{i\theta}\times \e^{i\theta'} =(\cos\theta+i\sin\theta)\times(\cos\theta'+i\sin\theta')$ \\ [3pt]
\hspace*{1.42cm} $=\cos\theta\cos\theta'+i\cos\theta\sin\theta'+i\sin\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'$ \\ [3pt]
\hspace*{1.42cm} $=(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\cos\theta\sin\theta'+\sin\theta\cos\theta')$ \\ [3pt]
\hspace*{1.42cm} $=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')$ \\ [3pt]
\hspace*{1.42cm} $=\e^{i(\theta+\theta')}$. \\

\note{-1.8}{on utilise les formules d'addition}

\begin{Ex}
   On considère les nombres complexes $z_1 =2\,\e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2 =2\sqrt3\,\e^{i\frac{\pi}{6}}$ :
   \begin{liste}
      \item $z_1 z_2 =2\times2\sqrt3\times\,\e^{i\frac{\pi}{3}}\times\,\e^{i\frac{\pi}{6}}$ \\ [3pt]
      \hspace*{0.32cm} $=4\sqrt3\,\e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)}$ \\ [3pt]
      \hspace*{0.32cm} $=4\sqrt3\,\e^{i\frac{\pi}{2}}$ ; \\
      \item $z_2^4=\left(2\sqrt3\,\e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^4$ \\ [3pt]
      \hspace*{0.01cm} $=\left(2\sqrt3\right)^4\,\e^{i4\frac{\pi}{6}}$ \\ [3pt]
      \hspace*{0.01cm} $=144\,\e^{\frac{2i\pi}{3}}$ ; \\
      \item $\dfrac{z_2}{z_1} =\dfrac{2\sqrt3\,\e^{i\frac{\pi}{6}}}{2\,\e^{i\frac{\pi}{3}}}$ \\ [3pt]
      \hspace*{0.06cm} $=\dfrac{2\sqrt3}{2}\,\e^{i\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}$ \\ [3pt]
      \hspace*{0.06cm} $=\sqrt3\,\e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
   \end{liste}
\end{Ex}


\end{document}