\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{graphicx} % Inclusion de figures
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\usepackage{epsfig} % Inclusion de figures eps


% Mise en page
\setlength{\parindent}{0cm} 
\setlength{\parskip}{0.25cm plus 1ex minus 1ex}

% En-tête et pieds de page
\headwidth = 17cm
\pagestyle{fancy} 
\fancyhf{}
\lhead{\small Ch.01}
\rhead{\small T\up{ale} STI2D}
\chead{\large\textsc{Suites numériques}}
\lfoot{\small http://mathematiques.daval.free.fr}
\rfoot{\small Lycée Georges Brassens}
\cfoot{\small \thepage/\pageref{LastPage}}

% Notes et images dans la marge
\setlength{\marginparwidth}{3cm}
\reversemarginpar

\newcommand\note[2]{%note
   \marginpar[\footnotesize\it\raggedleft \vspace*{#1cm} \textcolor{blue!50}{#2}]}

\newcommand\image[2]{%image
   \marginpar{\vspace*{#1cm} \includegraphics[width=\marginparwidth]{#2}}}

\newcommand\intro[1]{%introduction sur toute la ligne
\hspace{-3cm}\parbox{17cm}{\small\it #1}}   

% Table des matières
\dottedcontents{section}[0cm]{\addvspace{0cm}}{0.5cm}{0.2cm}
\dottedcontents{subsection}[0.7cm]{\addvspace{0cm}}{0.75cm}{0cm}

% Parties
\titlespacing*{\part}{3.1cm}{-0.5cm}{0.5cm} 
\titleformat{\part}[hang]
                {\Huge\bf}
                {}
                {}
                {}
                {} 
                
% Sections                
\titlespacing*{\section}{-3cm}{1cm}{0.75cm} 
\titleformat{\section}[hang]
                {\LARGE\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesection}}
                {10pt}
                {}[\vspace{-0.09cm}\titlerule]
                {}          

% Subsections
\titleformat{\subsection}[hang]
                {\Large\bf\color{blue}}
                {\color{white}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]{\thesubsection}}
                {10pt}
                {}
                {}  

% Environnements
\newboxedtheorem[titlebackground=red!50,background=red!25,boxcolor=red,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Def}{Définition}{} % Définition

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{Pro}{Proriété}{compteur} % Proriété

\newboxedtheorem[titlebackground=vert!50,background=vert!25,boxcolor=vert,thcounter=compteur,size=0.9\textwidth]{The}{Théorème}{compteur} % Théorème

\newcommand\tice[1]{% Activité TICE
   \textcolor{violet}{\bcbombe \tt\, #1}}

\theoremstyle{break}
\newtheorem{Rem}[compteur]{Remarque}
\newtheorem{Cons}[compteur]{Conséquence}

\theoremseparator{\; \bcbook}
\theorembodyfont{\small\normalfont}
\newtheorem{Ex}[compteur]{Exemple} % Exemple

\newenvironment{liste}{%
   \begin{list}
      {$\bullet$}{%
         \setlength\itemindent{-0.5cm}
         \setlength{\itemsep}{0.1cm}}}
   {\end{list}}

% Tableaux
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

% Maths
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\crm}[1]{\textsc{\romannumeral #1}} % Romains
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccc} #1\\ #2 \end{array}\right.} % Systèmes 2X2
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Rep}{(O;\V{\imath};\V{\jmath})} % Repère Oij
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées

% Divers
\hbadness=10000
\hfuzz=50pt
\pdfcompresslevel9
\definecolor{vert}{RGB}{27,214,136}
\renewcommand\logowidth{12pt} % taille du logo

% Algobox
\definecolor{fond}{gray}{0.95}
\newenvironment{cadrecode}{%
  \def\FrameCommand{{\color[HTML]{888888}\vrule width 3pt}\colorbox{fond}}%
  \MakeFramed {\hsize 10cm \advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}

\graphicspath{{../Images/}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

%%%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

\begin{pspicture}(2.5,0)(16,8) % cadre du haut
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=white](0,0)(16,8)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](0,7)(8,7)
   \psline[linewidth=0.1cm,linecolor=white](1,1)(1,8)
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1,6)(4,7)
   \rput(2.5,6.5){\large\sc CHAPITRE}
   \rput(2.5,4){\fontsize{100}{100}\selectfont\white 1}
   \rput(9.5,3.75){
      \begin{minipage}{10cm}
      \begin{center}
         \fontsize{40}{48}\selectfont \white\sc Suites \\ numériques
      \end{center}
      \end{minipage}}
\end{pspicture}

%\AddToShipoutPicture*{\unitlength=1cm{\rput(14,9){\includegraphics[width=10cm]{PDG}}}} % Image en filigrane

\renewcommand{\contentsname}{Sommaire} % Sommaire
\tableofcontents

\pagebreak
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part*{Partie A (s{\small2})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%
\intro{
\begin{minipage}{13cm}
   La notion de suite est indissociable des procédures itératives utilisées dès l'Antiquité, notamment chez le scientifique grec {\bf Archimède de Syracuse} pour trouver des approximations de nombres irrationnels comme $\pi$ ou de grandeurs à mesurer : surfaces, volumes\dots \\
À partir du \crm{18}\up{e} siècle, les suites deviennent un outil incontesté pour la détermination de valeurs approchées de valeurs numérique. De nos jours, les ordinateurs permettent des approximations de plus en plus fines. \\
La théorie des suites fournit un cadre de modélisation dans de nombreux domaines : en économie, biologie, écologie, physique\dots
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{3cm}
   \includegraphics[width=2.9cm]{archimede} \\
   \scriptsize{Archimède (-287;-212)}
\end{minipage}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Rappels de première}

\begin{Def}
   Une {\bf suite} de réels est une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels. \\
   On note $u=(u_n)_{n\in \N}=(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{k-1};u_k;u_{k+1};\dots)$
\end{Def}

\begin{Ex}
   Vous avez certainement déjà vu ce genre de défi où il faut continuer la suite :
   \begin{liste}
      \item $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$,\dots \hfill suite géométrique de raison $2$
      \item $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$,\dots \hfill suite des carrés
      \item $-3$, $1$, $5$, $9$, $13$, $17$, $21$,\dots \hfill suite arithmétique de raison $4$
      \item $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, $21$,\dots \hfill suite de Fibonacci
   \end{liste}
\end{Ex}

\note{-0.85}{Voir vidéo Késako sur le nombre d'or}

\begin{Def}
   Une suite $(u_n)_{n\in\N}$ est définie de manière \textbf{explicite} lorsque chaque terme $u_n$ est défini en fonction de son rang $n$, indépendamment des autres termes : $$u_n=f(n) \qquad \text{où } f\,\text{désigne une fonction}.$$
\end{Def}

\note{-2}{Une telle expression permet de calculer n'importe quel terme de la suite.} 

\note{1.1}{ici, $f : x\to 7x-5$}

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite définie par $u_n=7n-5$.
   \begin{liste}
      \item $u_0 =7\times 0-5 =-5$ ;
      \item $u_1 =7\times 1-5 =2$ ;
      \item $u_{2014} =7\times 2\,014-5 =14\,093$.
   \end{liste}
\end{Ex}

\begin{Def}
   Une suite $(u_n)_{n\in\N}$ est définie \textbf{par récurrence} lorsque l'on connait son premier terme et une relation de la forme : $$u_{n+1}=f(u_n) \qquad \text{où } f\, \text{désigne une fonction}.$$
\end{Def} 

\note{-2.5}{Cette relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent.}

\begin{Ex}
   Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par : $\Syst{u_0 & = & 3}{u_{n+1} & = & -2u_n+1}$.
   \begin{liste}
      \item $u_1=-2u_0+1=-2\times3+1=-5$ ;
      \item $u_2=-2u_1+1=-2\times(-5)+1=11$\dots
   \end{liste}
   L'inconvénient d'une telle suite est que les termes \og éloignés \fg{} du début de la suite sont difficiles d'accès: pour calculer $u_{100}$ il faut, a priori, calculer tous les termes précédents !!
\end{Ex}

\tice{Pour calculer les termes d'une suite, on peut utiliser un tableur, un logiciel de géométrie dynamique ou logiciel de programmation.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limite d'une suite}

Quel est le comportement d'une suite $\left( u_n \right)$ lorsque $n$ prend de grandes valeurs ?
$$\text{On écrit :} \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n} = \text{ ?}$$

%%%%%%%%%%%%%
\subsection{limite infinie}

\begin{Def}
   On dit qu'une suite $\left( u_n \right)$ a pour {\bf limite $+\infty$} quand $n$ tend vers  $+\infty$ si pour tout entier naturel $p$, on peut trouver un rang $N$ à partir duquel tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $10^p$. On écrit :
   $$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty.$$
\end{Def}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(13,6)
   \psset{xunit=0.75cm, yunit=.04cm}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(16,140)
   \def\f{.5 x mul x mul x add 1 add }
   \psframe[fillstyle=hlines,hatchcolor=red,linecolor=white](12,130)(16,85)
   \rput(16.3,0){$n$}
   \rput(0,145){$u_n$}
   \psplot[plotpoints=31,linecolor=blue,linestyle=none,showpoints=true]{0}{15}{\f}
   \psline[linestyle=dashed](12,0)(12,130)
   \psline[linecolor=red]{|->}(12,80)(16,80)
   \rput(14,70){\red$n\geq N$}
   \psline[linestyle=dashed](0,85)(16,85)
   \psline[linecolor=blue]{|->}(11.6,85)(11.6,130)
   \rput(10.2,105){\blue$u_n\geq 10^p$}
   \rput(12,-6){$N$} 
   \rput(-0.5,85){$10^p$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
Soit $u$ la suite définie par $u_n =0,5n^2-n+1$. \\
On admet que cette suite admet une limite infinie en $+\infty$. \\
Mettre en \oe uvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel \\ $u_n \geq 10\,000$, soit $u_n \geq 10^5$.

\note{1.8}{Un algorithme est une suite finie d'instructions permettant de résoudre un problème. \\
Le mot algorithme vient du nom du mathématicien perse Al-Khwarizmi (années 800) surnommé le père de l'algèbre}

\begin{algo}[noframe]
   \ALGO{Seuil pour une limite infinie}
   \VAR
      \DECLVAR[\footnotesize\textcolor{violet}{indice de la suite}]{n}{un nombre entier naturel}
      \DECLVAR[\footnotesize\textcolor{violet}{valeur de la suite au rang $n$}]{u}{un nombre réel}
   \ENDVAR
   \BEGIN
      \STATE{Affecter à  $n$ la valeur $0$}
      \STATE[\footnotesize\textcolor{violet}{ou directement 1}]{Affecter à  $u$ la valeur $0,5n^2-n+1$}
      \WHILE{$u$ est inférieur à $10\,000$}
         \STATE[\footnotesize\textcolor{violet}{incrémentation de 1}]{Affecter à  $n$ la valeur $n + 1$}
         \STATE[\footnotesize\textcolor{violet}{nouvelle valeur de $u$}]{Affecter à  $u$ la valeur $0,5n^2-n+1$}
      \ENDWHILE
      \STATE{Afficher $n$}
   \END
\end{algo}

On peut tester cet algorithme grâce à un logiciel ou une calculatrice.

\tice{Voici ce que cela donne avec AlgoBox :}

\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
   VARIABLES
      n EST_DU_TYPE NOMBRE
      u EST_DU_TYPE NOMBRE
   DEBUT_ALGORITHME
      n PREND_LA_VALEUR 0
      u PREND_LA_VALEUR 0.5*n*n-n+1
      TANT_QUE (u<10000) FAIRE
         DEBUT_TANT_QUE
            n PREND_LA_VALEUR n+1
            u PREND_LA_VALEUR 0.5*n*n-n+1
         FIN_TANT_QUE
      AFFICHER n
   FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}

{\tt 
\begin{tabular}{l|l}
   & n=0 \\
   & u=1 \\
   \textcolor{violet}{et avec Python :} & \textcolor{orange}{while} u>10000: \\
   & \hspace*{0.7cm} n=n+1 \\
   & \hspace*{0.7cm} u=0.5*n*n-n+1 \\
   & \textcolor{violet}{print}(n) \\
\end{tabular}
}

\bigskip

L'algorithme nous donne un seuil de 143, c'est à dire que pour toute valeur de $n$ supérieure ou égale à 143, $u_n$ sera supérieur ou égale à $10^5$.
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%
\subsection{limite finie}

\begin{Def}
   On dit qu'une suite $\left( u_n \right)$ a pour {\bf limite $\ell$} quand $n$ tend vers $+\infty$ si pour tout entier naturel $p$, on peut trouver un rang $N$ à partir duquel tous les termes $u_n$ sont à une distance de $\ell$ inférieure à $10^p$. On écrit :
   $$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=\ell.$$
\end{Def}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.8)(22,6.5)
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(20.5,6.5)
   \def\f{3 3 0.8 neg x exp mul add}
   \psframe[fillstyle=hlines,hatchcolor=red,linecolor=white](8,2.5)(20.5,3.5)
   \rput(21,0){$n$}
   \rput(0,6.7){$u_n$}
   \psplot[plotpoints=21,linecolor=blue,linestyle=none,showpoints=true]{0}{20}{\f}
   \psline[linestyle=dashed](8,0)(8,6)
   \rput(14,70){\red$n\geq N$}
   \psline[linestyle=dashed](0,85)(16,85)
   \psline[linestyle=dashed](0.05,2.5)(20.5,2.5)
   \psline[linestyle=dashed](0.05,3.5)(20.5,3.5)
   \psline[linecolor=blue](0,3)(20.5,3)
   \psline[linecolor=red]{|->}(8,2.2)(20.5,2.2)
   \psline[linecolor=blue]{<->}(21,2.5)(21 ,3.5)
   \rput(23.5,3){\blue $|u_n-\ell|\leq 10^{-p}$}
   \rput(14,2){\red $n\geq N$}
   \uput[d](8,0){$N$} 
   \uput[l](0,2.5){$\ell -10^{-p}$} 
   \uput[l](0,3){\blue$\ell$}
   \uput[l](0,3.5){$\ell +10^{-p}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
Soit $u$ la suite définie pour tout $n\geq1$ par $u_n =3+\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ pour . \\
On admet que cette suite admet pour limite $3$ en $+\infty$. \\
Mettre en \oe uvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel \\
$|u_n-3| \leq 0,00001$, soit  $|u_n-3| \leq10^{-5}$.

\begin{algo}[noframe]
   \ALGO{Seuil pour une limite finie}
   \VAR
      \DECLVAR{n}{un nombre entier naturel} 
      \DECLVAR{u}{un nombre réel}
   \ENDVAR
   \BEGIN
      \STATE{Affecter à  $n$ la valeur $1$}
      \STATE{Affecter à  $u$ la valeur $3+\dfrac{(-1)^n}{n^2}$}
      \WHILE{$|u-3|$ est supérieur à $0,00001$}
         \STATE{Affecter à  $n$ la valeur $n + 1$}
         \STATE{Affecter à  $u$ la valeur $3+\dfrac{(-1)^n}{n^2}$}
      \ENDWHILE
      \STATE{Afficher $n$}
   \END
\end{algo}

\note{-6.4}{Variables}

\note{-4.6}{Initialisation}

\note{-2.8}{Traitement}

\note{-1.25}{Sortie}

\pagebreak

\tice{Voici ce que cela donne avec AlgoBox :}

\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
   VARIABLES
      n EST_DU_TYPE NOMBRE
      u EST_DU_TYPE NOMBRE
   DEBUT_ALGORITHME
      n PREND_LA_VALEUR 1
      u PREND_LA_VALEUR 3+pow(-1,n)/pow(n,2)
      TANT_QUE (ABS(u-3)>0,00001) FAIRE
         DEBUT_TANT_QUE
            n PREND_LA_VALEUR n+1
            u PREND_LA_VALEUR 3+pow(-1,n)/pow(n,2)
         FIN_TANT_QUE
      AFFICHER n
   FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}

\note{-4.25}{la syntaxe pour $a^b$ est {\tt pow(a,b)}}

{\tt 
\begin{tabular}{l|l}
   & n=1 \\
   & u=2 \\
   \textcolor{violet}{et avec Python :} & \textcolor{orange}{while} \textcolor{violet}{abs}(u-3)>0.00001: \\
   & \hspace*{0.7cm} n=n+1 \\
   & \hspace*{0.7cm} u=3+\textcolor{violet}{pow}(-1,n)/\textcolor{violet}{pow}(n,2) \\
   & \textcolor{violet}{print}(n) \\
\end{tabular}
}

\bigskip

L'algorithme nous donne un seuil de 317, c'est à dire que pour toute valeur de $n$ supérieur ou égale à 317, la différence entre $u_n$ et $3$ sera inférieure à $0,00001$.
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général $(-1)^n$ prend alternativement les valeurs 1 et $-1$. Elle n'admet pas de limite.
\end{Rem}

\end{document}