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\lhead[]{\small $2$^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Fonctions polynômes de degré 2}}
\rhead[]{\small $26$ avril $2010$}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
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\newshadedtheorem{Partie}{Partie}
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%\newtheorem{Rem}{Remarque}
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\newtheorem{Exo}{\ding{50}~~Exercice}

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\begin{document}


\textbf{\begin{center}
\shadowbox{\Large{Correction DS11}}
\end{center}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Exo}
\begin{enumerate}
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item $f$ est une fonction polynôme de coefficient dominant $a=4$ positif, elle est donc décroissante puis croissante. \\
      Son minimum est atteint lorsque $x+1 =0$, c'est à dire pour $x =-1$. \\
      On obtient le tableau de variations :
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         & $+\infty$ & & & & $+\infty$} \\
         $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
         & & & $3$ & & \\
         \hline
      \end{tabular} \\
      \item La courbe $f$ atteint son minimum $m=3$ pour la valeur $x =-1$.
      \item
      \begin{tabular}[t]{ll}
         $f(x)$ & $=4(x+1)^2+3$ \\
         & $=4(x^2+2x+1)+3$ \\
         & $=4x^2+8x+4+3$ \\
      \end{tabular} \\
      \fbox{$f(x) =4x^2+8x+7$}
   \end{enumerate}
   \item \begin{enumerate}
      \item $g$ est une fonction polynôme de coefficient dominant $a=-3$ négatif, elle est donc croissante puis décroissante. \\
      Son maximum est atteint lorsque $x-\sqrt2 =0$, c'est à dire pour $x =\sqrt2$. \\
      On obtient le tableau de variations :
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $\sqrt2$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         & & & $4\sqrt2$ & & \\
         $f$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
         & $-\infty$ & & & & $-\infty$ \\
         \hline
      \end{tabular} \\
      \item La courbe $g$ atteint son maximum $M=4\sqrt2$ pour la valeur $x =\sqrt2$.
      \item
      \begin{tabular}[t]{ll}
         $f(x)$ & $=-3(x-\sqrt2)^2+4\sqrt2$ \\
         & $=-3(x^2-2\sqrt2x+2)+4\sqrt2$
      \end{tabular} \\
      \fbox{$f(x) =-3x^2+6\sqrt2x-6+4\sqrt2$}
   \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}


\ \\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
\begin{enumerate}
   \item $f(-1) =2(-1)^2-2(-1)-1 =3$. \\
   $f(-0,5) =2(-0,5)^2-2(-0,5)-1 =0,5$. \\
   $f(0) =2(0)^2-2(0)-1 =-1$. \\
   Les images de $-1$, $-0,5$ et $0$ sont dans l'ordre inverse de ces nombres, mais on ne peut rien conclure quant aux variations de $f$ car il faudrait que cette propriété soit vraie pour tous réels pour conclure à une éventuelle décroissance sur $\R$.
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite $d$ sont les solutions de l'équation \\
      \begin{tabular}{ll}
         $2x^2-2x-1 =-1$ & $\Longleftrightarrow 2x^2-2x =0$ \\
         & $\Longleftrightarrow 2x(x-1) =0$ \\
         & $\Longleftrightarrow 2x =0$ ou $x-1 =0$ \\
         & $\Longleftrightarrow x=0$ ou $x =1$.
      \end{tabular} \\
      On a donc : \fbox{$A(0;-1)$ et $B(1,-1)$}
      \item $K\left(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{-1-1}{2}\right)$ d'où : \fbox{$K\left(\dfrac12;-1\right)$}
      \item D'après la question précédente, $\mathcal{D}$ a pour équation \fbox{$x =\dfrac12$.}
   \end{enumerate}
   \item $f$ est une fonction polynôme de coefficient dominant $a =2$ positif, elle est donc décroissante puis croissante. \\
      Son minimum est atteint lorsque $x =\dfrac12$, il vaut $m =f\left(\dfrac12\right) =2\left(\dfrac12\right)^2-2\left(\dfrac12\right)-1 =-\dfrac32$. \\      
      On obtient alors le tableau de variations :
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $\dfrac12$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         & $+\infty$ & & & & $+\infty$} \\
         $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
         & & & $-\dfrac32$ & & \\
         \hline
      \end{tabular} \\
   \item 
   Courbe et ses "accessoires" : \\
   \begin{pspicture}(-2,-2.3)(3,7.3)
      \psaxes{->}(0,0)(-2,-2)(3,7)
      \psplot[linecolor=red]{-1.5}{2.5}{x x mul 2 mul x -2 mul add -1 add}
      \rput(0.5,6.5){\textcolor{green}{$\mathcal{D}$}}
      \rput(3.5,-1){\textcolor{blue}{$d$}}
      \rput(3,6){\textcolor{red}{$\mathcal{P}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.05](0.5,-2)(0.5,6)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.05](-2,-1)(3,-1)
      \psdots[linecolor=blue](0,-1)(1,-1)(0.5,-1)
   \end{pspicture}
   \item
   \begin{tabular}[t]{ll}
      $2\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$ & $=2\left(x^2-x+\dfrac14\right)-\dfrac32$ \\
      & $=2x^2-2x+\dfrac12-\dfrac32$ \\
      & $=2x^2-2x-1$.
   \end{tabular} \\
   On a donc bien \fbox{$f(x) =2\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$}
\end{enumerate}
\end{Exo}


\end{document}