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\lhead[]{\small 1^{ere} STI (GC)}
\chead[]{\textsc{Ch1 : Fonctions polynôme}}
\rhead[]{\small {Mardi 21 novembre 2006}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}} % les réels
%\def\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
%\def\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
%\def\D{{\mathbb D}} % les décimaux
%\def\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
%\def\C{{\mathbb C}} % les complexes

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
%\newframedtheorem{Th}{Théorème}
%\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
%\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
%\theorembodyfont{\sffamily}
%\newtheorem{Ex}{Exemple}
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%\newframedtheorem{Def}{Définition}

%\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
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%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 


\begin{document}

\onehalfspacing

\begin{center}
\shadowbox{\begin{LARGE}
CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE N°2A
\end{LARGE}}
\end{center}



\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      
\item  $\Delta=b^2-4ac=25$.\\
               Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
               \begin{multicols}{2}
                  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac{1}{2}$\\
                  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+5}{4}=3$
               \end{multicols}
               $S= \left\{\dfrac{1}{2};3\right\}$ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(x-3)$\\ 
               $P$ est du signe de $a=2$, donc positif sauf entre ses racines $\dfrac{1}{2}$ et $3$ :\\
               \begin{center}
                  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
                     \hline
                     $x$&$-\infty$&&$\dfrac{1}{2}$&&$3$&&$+\infty$\\
                     \hline
                     $P(x)$&&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&\\
                     \hline
                  \end{tabular}
               \end{center}

\item  $\Delta=b^2-4ac=324$.\\
               Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
               \begin{multicols}{2}
                  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-18}{-14}=\dfrac{11}{7}$\\
                  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+18}{-14}=-1$
               \end{multicols}
               $S=\left\{ -1;\dfrac{11}{7}\right\} $ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=-7\left( x-\dfrac{11}{7}\right)(x+1)$\\ 
               $P$ est du signe de $a=-7$, donc négatif sauf entre ses racines $-1$ et $\dfrac{11}{7}$ :\\
               \begin{center}
                  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
                     \hline
                     $x$&$-\infty$&&$-1$&&$\dfrac{11}{7}$&&$+\infty$\\
                     \hline
                     $P(x)$&&$-$&$0$&$+$&$0$&$-$&\\
                     \hline
                  \end{tabular}
               \end{center}

\item  $\Delta=b^2-4ac=\dfrac{9}{4}$.\\
               Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
               \begin{multicols}{2}
                  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}{2}=-2$\\
                  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}{2}=-\dfrac{1}{2}$
               \end{multicols}
               $S= \left\{ -2;-\dfrac{1}{2}\right\} $ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=\left( x+\dfrac{1}{2} \right)(x+2)$\\ 
               $P$ est du signe de $a=1$, donc positif sauf entre ses racines $-2$ et $-\dfrac{1}{2}$ :\\
               \begin{center}
                  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
                     \hline
                     $x$&$-\infty$&&$-2$&&$-\frac{1}{2}$&&$+\infty$\\
                     \hline
                     $P(x)$&&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&\\
                     \hline
                  \end{tabular}
               \end{center}

\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item \fbox{$P(-1)=0$}
      \item $-1$ est racine, on peut donc factoriser par $x+1$ :\\
              $P(x)=(x+1) \times Q(x)$ avec : $\text{deg}(Q)=\text{deg}(P)-\text{deg}(x+1)=3-1=2$.\\
              $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$\\
              $P(x)=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$\\
              $P(x)=ax^3+(b+a)x^2+(c+b)x+c=3x^3-15x^2+6x+24$\\
              Par identification des coefficients, on obtient :\\
              $a=3 \qquad b+a=-15 \qquad c+b=6 \qquad c=24$ \qquad ou encore : $a=3 \qquad b=-18 \qquad c=24$\\
              Conclusion : \fbox{$P(x)=(x+1)(3x^2-18x+24)$}
      \item $P(x)=0 \Longleftrightarrow (x+1)(3x^2-18x+24)=0$\\
              $P(x)=0 \Longleftrightarrow x+1=0 \quad \text{ou} \quad 3x^2-18x+24=0$
              \begin{itemize}
                 \item $x+1=0 \Longrightarrow x=-1$,
                 \item $3x^2-18x+24=0 \Longrightarrow \Delta=b^2-4ac=36$\\
                         Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
                         \begin{multicols}{2}
                            $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{18-6}{6}=2$\\
                            $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{18+6}{6}=4$
                        \end{multicols}
              \end{itemize}
              Conclusion : \fbox{$S=\{-1;2;4\}$}
      \item Le trinôme est du signe de $a=3$, donc positif sauf entre ses racines $2$ et $4$\\      
              D'où le tableau de signes :
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}
                    \hline
                    $x$&$-\infty$&&$-3$&&$-1$&&$2$&&$4$&&$+\infty$\\
                    \hline
                    $x+1$&&$-$&|&$-$&$0$&$+$&|&$+$&|&$+$&\\
                    \hline
                    $3x^2-18x+24$&&$+$&|&$+$&|&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&\\
                    \hline
                    $-3-x$&&$+$&$0$&$-$&|&$-$&|&$-$&|&$-$&\\
                    \hline
                    $f(x)$&&$-$&||&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&$0$&$-$&\\  
                    \hline
               \end{tabular}
            \end{center}
            On recherche les solutions inférieures ou égales à zéro, donc négatives ou nulles.\\
            Conclusion : \fbox{$S=]-\infty;-3[ \,\, \cup \, [\,1;2\,]\cup[ \,4;+\infty[$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\smallskip

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item D'une part, le rectangle a une aire de : $x^2+999$ m$^2$,\\
              d'autre part, l'aire d'un rectangle est égale à longueur $\times$ largeur $=2x \times (x+5)$\\
              d'où : \fbox{$2x(x+5)=x^2+999$}
      \item $2x(x+5)=x^2+999 \Longleftrightarrow x^2+10x-999=0$\\
              $\Delta=b^2-4ac=4096$\\
                         Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
                         \begin{multicols}{2}
                            $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-64}{2}=-37$\\
                            $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10+64}{2}=27$
                        \end{multicols}
              $x$ étant un nombre positif, on peut conclure que \fbox{$x=27$ m}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item L'aire du caré vaut : $27^2=729$ m$^2 < 1500$ m$^2$ donc, il ne pouvait pas construire.
         \item L'aire du rectangle vaut : $729+999=1628$ m$^2 > 1500$ m$^2$ donc, il  peut maintenant construire.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\pagebreak
\setcounter{Exo}{0}

\begin{center}
\shadowbox{\begin{LARGE}
CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE N°2B
\end{LARGE}}
\end{center}



\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      
\item  $\Delta=b^2-4ac=49$.\\
               Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
               \begin{multicols}{2}
                  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3-7}{4}=-\dfrac{5}{2}$\\
                  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+7}{4}=1$
               \end{multicols}
               $S= \left\{-\dfrac{5}{2};1\right\}$ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=2\left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-1)$\\ 
               $P$ est du signe de $a=2$, donc positif sauf entre ses racines $-\dfrac{5}{2}$ et $1$ :\\
               \begin{center}
                  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
                     \hline
                     $x$&$-\infty$&&$-\dfrac{5}{2}$&&$1$&&$+\infty$\\
                     \hline
                     $P(x)$&&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&\\
                     \hline
                  \end{tabular}
               \end{center}

\item  $\Delta=b^2-4ac=256$.\\
               Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
               \begin{multicols}{2}
                  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-16}{-14}=1$\\
                  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+16}{-14}=-\dfrac{9}{7}$
               \end{multicols}
               $S=\left\{ -\dfrac{9}{7};1\right\} $ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=-7\left( x+\dfrac{9}{7}\right)(x-1)$\\ 
               $P$ est du signe de $a=-7$, donc négatif sauf entre ses racines $-\dfrac{9}{7}$ et $1$ :\\
               \begin{center}
                  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
                     \hline
                     $x$&$-\infty$&&$-\dfrac{9}{7}$&&$1$&&$+\infty$\\
                     \hline
                     $P(x)$&&$-$&$0$&$+$&$0$&$-$&\\
                     \hline
                  \end{tabular}
               \end{center}

\item  $\Delta=b^2-4ac=\dfrac{9}{4}$.\\
               Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
               \begin{multicols}{2}
                  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$\\
                  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}{2}=2$
               \end{multicols}
               $S= \left\{\dfrac{1}{2};2\right\} $ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=\left( x-\dfrac{1}{2} \right)(x-2)$\\ 
               $P$ est du signe de $a=1$, donc positif sauf entre ses racines $\dfrac{1}{2}$ et $2$:\\
               \begin{center}
                  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
                     \hline
                     $x$&$-\infty$&&$\frac{1}{2}$&&$2$&&$+\infty$\\
                     \hline
                     $P(x)$&&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&\\
                     \hline
                  \end{tabular}
               \end{center}

\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item \fbox{$P(-3)=0$}
      \item $-3$ est racine, on peut donc factoriser par $x+3$ :\\
              $P(x)=(x+3) \times Q(x)$ avec : $\text{deg}(Q)=\text{deg}(P)-\text{deg}(x+1)=3-1=2$.\\
              $P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c)$\\
              $P(x)=ax^3+bx^2+cx+3ax^2+3bx+3c$\\
              $P(x)=ax^3+(b+3a)x^2+(c+3b)x+3c=2x^3-4x^2-22x+24$\\
              Par identification des coefficients, on obtient :\\
              $a=2 \qquad b+3a=-4 \qquad c+3b=-22 \qquad 3c=24$ \qquad ou encore : $a=2 \qquad b=-10 \qquad c=8$\\
              Conclusion : \fbox{$P(x)=(x+3)(2x^2-10x+8)$}
      \item $P(x)=0 \Longleftrightarrow (x+3)(2x^2-10x+8)=0$\\
              $P(x)=0 \Longleftrightarrow x+3=0 \quad \text{ou} \quad 2x^2-10x+8=0$
              \begin{itemize}
                 \item $x+3=0 \Longrightarrow x=-3$,
                 \item $2x^2-10x+8=0 \Longrightarrow \Delta=b^2-4ac=36$\\
                         Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
                         \begin{multicols}{2}
                            $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10-6}{4}=1$\\
                            $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10+6}{4}=4$
                        \end{multicols}
              \end{itemize}
              Conclusion : \fbox{$S=\{-3;1;4\}$}
      \item Le trinôme est du signe de $a=2$, donc positif sauf entre ses racines $1$ et $4$\\      
              D'où le tableau de signes :
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}
                    \hline
                    $x$&$-\infty$&&$-3$&&$-2$&&$1$&&$4$&&$+\infty$\\
                    \hline
                    $x+3$&&$-$&$0$&$+$&|&$+$&|&$+$&|&$+$&\\
                    \hline
                    $2x^2-10x+8$&&$+$&|&$+$&|&$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&\\
                    \hline
                    $-2-x$&&$+$&|&$+$&$0$&$-$&|&$-$&|&$-$&\\
                    \hline
                    $f(x)$&&$-$&$0$&$+$&||&$-$&$0$&$+$&$0$&$-$&\\  
                    \hline
               \end{tabular}
            \end{center}
            On recherche les solutions supérieures ou égales à zéro, donc positives ou nulles.\\
            Conclusion : \fbox{$S=] -3;-2[\,\cup[ \,1;4]$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\smallskip

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item D'une part, le rectangle a une aire de : $x^2+936$ m$^2$,\\
              d'autre part, l'aire d'un rectangle est égale à longueur $\times$ largeur $=2x \times (x+5)$\\
              d'où : \fbox{$2x(x+5)=x^2+936$}
      \item $2x(x+5)=x^2+936 \Longleftrightarrow x^2+10x-936=0$\\
              $\Delta=b^2-4ac=3842$\\
                         Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
                         \begin{multicols}{2}
                            $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-62}{2}=-36$\\
                            $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10+62}{2}=26$
                        \end{multicols}
              $x$ étant un nombre positif, on peut conclure que \fbox{$x=26$ m}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item L'aire du caré vaut : $26^2=676$ m$^2 < 1500$ m$^2$ donc, il ne pouvait pas construire.
         \item L'aire du rectangle vaut : $676+936=1612$ m$^2 > 1500$ m$^2$ donc, il  peut maintenant construire.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\end{document}