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\lhead[]{\small $1$^{ère} STI}
\chead[]{\textsc{Ch$04$ : NOMBRE COMPLEXES}}
\rhead[]{\small {Mardi $23$ janvier $2007$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
%\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
%\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
%\theorembodyfont{\upshape}
%\newframedtheorem{Th}{Théorème}
%\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
%\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
%\theorembodyfont{\small \sffamily}
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%\newframedtheorem{Def}{Définition}

%\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Rep}{(O;\V{u};\V{v})}
%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
%\newcommand{\Reel}{\mathfrak{Re}} 
%\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} 
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert}
%\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}
%\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1} 


\begin{document}

% _______________%_____SUJET A______%__________________%

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$4$A
   \end{LARGE}}
\end{center}

\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace{1cm}


\begin{Exo}
   Les vecteurs $\V{v_1}$ et $\V{v_2}$ ont pour affixes respectives $1 - i$ et $-2 + 3i$ \\
   Calculer les affixes des vecteurs :
   $$ \V{v_1}+\V{v_2} \hspace{2cm} \text{et} \hspace{2cm} \dfrac{1}{2}\V{v_1}-\dfrac{3}{4}\V{v_2}$$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo} %____________________________________________________________
   On considère les deux nombres complexes $z_1=3-i$ et $z_2=-4+2i$ \\
   Calculer la forme algébrique des nombres suivants :
   $$ p=1+2z_1-3z_2 \hspace{2cm} \text{et} \hspace{2cm} q=z_2^3 $$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   On considère les trois nombres complexes
   $$ a=\dfrac{\sqrt{2}}{4}(1+i\sqrt 2) \hspace{2cm}  b = \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \hspace{2cm} c = \overline{b} $$ 
   Déterminer les nombres suivants
   $$ \Abs{a} \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} \Abs{b} \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} \Abs{c} \hspace{1cm} \text{et} \hspace{1cm} \Abs{ab} $$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo} %_______________________________________________________________
   Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivant :
   $$ z_1=\dfrac{4-i}{-2+3i} \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} z_2=\dfrac{3-5i}{i} \hspace{1cm} \text{et} \hspace{1cm} z_3=\dfrac{1-i}{1+i} $$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   Le plan est muni du repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $2$ cm \\
   Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives  
   $$z_A=3 \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} z_B=\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}i \hspace{1cm} \text{et} \hspace{1cm} z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$$
   \begin{enumerate} 
      \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur une figure
      \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
      \item Déterminer l'affixe du point $I$, milieu de $[BC]$
      \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$ soit un 
carré
   \end{enumerate} 
\end{Exo}


\pagebreak

\setcounter{Exo}{0}

\vspace{0.5cm} % _______________%_____SUJET B______%__________________%

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$4$B
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace{1cm}


\begin{Exo}
   Les vecteurs $\V{u_1}$ et $\V{u_2}$ ont pour affixes respectives $-1+i$ et $2-3i$ \\
   Calculer les affixes des vecteurs :
   $$ \V{u_1}+\V{u_2} \hspace{2cm} \text{et} \hspace{2cm} \dfrac{3}{4}\V{u_1}-\dfrac{1}{2}\V{u_2}$$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo} %____________________________________________________________
   On considère les deux nombres complexes $z_1=4-2i$ et $z_2=-3+i$ \\
   Calculer la forme algébrique des nombres suivants :
   $$ a=1+2z_1-3z_2 \hspace{2cm} \text{et} \hspace{2cm} b=z_1^3 $$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   On considère les trois nombres complexes
   $$ p=\dfrac{\sqrt{2}}{4}(1-i\sqrt 2) \hspace{2cm}  q=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i \hspace{2cm} r=\overline{q} $$ 
   Déterminer les nombres suivants
   $$ \Abs{p} \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} \Abs{q} \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} \Abs{r} \hspace{1cm} \text{et} \hspace{1cm} \Abs{pq} $$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo} %_______________________________________________________________
   Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivant :
   $$ z_1=\dfrac{4+i}{-2-3i} \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} z_2=\dfrac{1+i}{1-i} \hspace{1cm} \text{et} \hspace{1cm} z_3=\dfrac{3+5i}{i} $$
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   Le plan est muni du repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $2$ cm \\
   Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives  
   $$z_A=3 \hspace{1cm} \text{;} \hspace{1cm} z_B=\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2}i \hspace{1cm} \text{et} \hspace{1cm} z_C=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i$$
   \begin{enumerate} 
      \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur une figure
      \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
      \item Déterminer l'affixe du point $I$, milieu de $[BC]$
      \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$ soit un 
carré
   \end{enumerate} 
\end{Exo}


\pagebreak %____%________%_CORRECTION A%_______%______%____%

\setcounter{Exo}{0}

\begin{small}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction DS n°$4$A
   \end{LARGE}}
\end{center}


\begin{Exo} %__1__________________________________________________________
   Calcul d'affixes :
   \begin{itemize}
      \item $\V{v_1}+\V{v_2}=1-i-2+3i=$\fbox{$-1+2i$}
      \item $\dfrac{1}{2}\V{v_1}-\dfrac{3}{4}\V{v_2}=\dfrac{1}{2}(1-i)-\dfrac{3}{4}(-2+3i)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i+\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{4}i=$\fbox{$2-\dfrac{11}{4}i$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %__2__________________________________________________________
   Formes algébriques :
   \begin{itemize}
      \item $p=1+2(3-i)-3(-4+2i)=1+6-2i+12-6i=$\fbox{$19-8i$}
      \item $q=(-4+2i)^2(-4+2i)=[4^2-2\times4\times 2i+(2i)^2](-4+2i)=(12-16i)(-4+2i)=-48+24i+64i-32i^2=$\fbox{$-16+88i$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %_3___________________________________________________________
   Calcul de modules :
   \begin{itemize}
       \item $\Abs{a}=\Abs{\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}i}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{16}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{3}{8}}=$\fbox{$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$}
      \item $\Abs{b}=\Abs{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}=$\fbox{$1$}
      \item $\Abs{c}=\Abs{\overline{b}}=\Abs{b}=$\fbox{$1$}
      \item $\Abs{ab}=\Abs{a}\times \Abs{b}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\times1=$\fbox{$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %__4_____________________________________________________________
   Calcul d'inverses :
   \begin{itemize}
      \item $z_1=\dfrac{4-i}{-2+3i}=\dfrac{(4-i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}=\dfrac{-8-12i+2i+3i^2}{(-2)^2+3^2}=\dfrac{-11-10i}{13}=$\fbox{$-\dfrac{11}{13}-\dfrac{10}{13}i$}
      \item $z_2=\dfrac{3-5i}{i}=\dfrac{(3-5i)(-i)}{i\times(-i)}=\dfrac{-3i+5i^2}{-i^2}=$\fbox{$-5-3i$}
      \item $z_3=\dfrac{1-i}{1+i}=\dfrac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-2i+i^2}{1^2+1^2}=\dfrac{-2i}{2}=$\fbox{$-i$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %_5___________________________________________________________
   \begin{enumerate} 
      \item figure
      \item \begin{itemize}
                 \item $z_{AB}=z_B-z_A=\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}i-3=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}i$ \\
                         $AB=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
                 \item $z_{AC}=z_C-z_A=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i-3=-\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}i$ \\
                         $AC=\sqrt{\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
                 \item $z_{CB}=z_B-z_C=\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}i+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i=3+4i$ \\
                         $CB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
                 \item $AB=AC$, le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$ \\
                         $CB^2=AB^2+AC^2$, le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$ \\
                         Conclusion : \fbox{le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$}
              \end{itemize}
      \item $z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}i-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i}{2}=\dfrac{2+3i}{2}=$\fbox{$1+\dfrac{3}{2}i$}
      \item $ABC$ est rectangle isocèle en $A$, pour déterminer l'affixe de $D$, il suffit d'avoir $\V{AB}=\V{CD}$ : \\
              $z_B-z_A=z_D-z_C \Longleftrightarrow z_D=z_B-z_A+z_C=\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}i-3-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i=$\fbox{$-1+3i$}
   \end{enumerate} 
\end{Exo}


\pagebreak %____%________%_CORRECTION B%_______%______%____%


\setcounter{Exo}{0}

\begin{small}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction DS n°$4$B
   \end{LARGE}}
\end{center}

\begin{Exo} %__1__________________________________________________________
   Calcul d'affixes :
   \begin{itemize}
      \item $\V{u_1}+\V{u_2}=-1+i+2-3i=$\fbox{$1-2i$}
      \item $\dfrac{3}{4}\V{u_1}-\dfrac{1}{2}\V{u_2}=\dfrac{3}{4}(-1+i)-\dfrac{1}{2}(2-3i)=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}i-1+\dfrac{3}{2}i=$\fbox{$-\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{4}i$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %__2__________________________________________________________
   Formes algébriques :
   \begin{itemize}
      \item $a=1+2(4-2i)-3(-3+i)=1+8-4i+9-3i=$\fbox{$18-7i$}
      \item $b=(4-2i)^2(4-2i)=[4^2-2\times4\times 2i+(2i)^2](4-2i)=(12-16i)(4-2i)=48-24i-64i+32i^2=$\fbox{$16-88i$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %_3___________________________________________________________
   Calcul de modules :
   \begin{itemize}
       \item $\Abs{p}=\Abs{\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{1}{2}i}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{16}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{3}{8}}=$\fbox{$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$}
      \item $\Abs{q}=\Abs{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}=$\fbox{$1$}
      \item $\Abs{r}=\Abs{\overline{q}}=\Abs{q}=$\fbox{$1$}
      \item $\Abs{pq}=\Abs{p}\times \Abs{q}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\times1=$\fbox{$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %__4_____________________________________________________________
   Calcul d'inverses :
   \begin{itemize}
      \item $z_1=\dfrac{4+i}{-2-3i}=\dfrac{(4+i)(-2+3i)}{(-2-3i)(-2+3i)}=\dfrac{-8+12i-2i+3i^2}{(-2)^2+(-3)^2}=\dfrac{-11+10i}{13}=$\fbox{$-\dfrac{11}{13}+\dfrac{10}{13}i$}
      \item $z_2=\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+2i+i^2}{1^2+(-1)^2}=\dfrac{2i}{2}=$\fbox{$i$}
      \item $z_3=\dfrac{3+5i}{i}=\dfrac{(3+5i)(-i)}{i\times(-i)}=\dfrac{-3i-5i^2}{-i^2}=$\fbox{$5-3i$}
   \end{itemize}
\end{Exo}



\begin{Exo} %_5___________________________________________________________
   \begin{enumerate} 
      \item figure
      \item \begin{itemize}
                 \item $z_{AB}=z_B-z_A=\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2}i-3=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}i$ \\
                         $AB=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
                 \item $z_{AC}=z_C-z_A=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i-3=-\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}i$ \\
                         $AC=\sqrt{\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
                 \item $z_{CB}=z_B-z_C=\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2}i+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i=3-4i$ \\
                         $CB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$
                 \item $AB=AC$, le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$ \\
                         $BC^2=AB^2+AC^2$, le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$
                         Conclusion : \fbox{le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$}
              \end{itemize}
      \item $z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2}i-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i}{2}=\dfrac{2-3i}{2}=$\fbox{$1-\dfrac{3}{2}i$}
      \item $ABC$ est rectangle isocèle en $A$, pour déterminer l'affixe de $D$, il suffit d'avoir $\V{AB}=\V{CD}$ : \\
              $z_B-z_A=z_D-z_C \Longleftrightarrow z_D=z_B-z_A+z_C=\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2}i-3-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i=$\fbox{$-1-3i$}
   \end{enumerate} 
\end{Exo}


\end{small}

\end{document}