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\lhead[]{\small $1$^{ère} STI}
\chead[]{\textsc{Ch$04$/$05$ : COMPLEXES, DERIVEES}}
\rhead[]{\small {Mardi $27$ février $2007$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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\theoremstyle{break}
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%\newframedtheorem{Th}{Théorème}
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\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
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%\newframedtheorem{Def}{Définition}

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\newcommand{\Rep}{(O;\V{u};\V{v})}
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%\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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\begin{document}

\vspace*{0.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$5$A
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parindent}{0cm} 
{\setlength{\baselineskip}{1.5\baselineskip}

\vspace*{0.5cm}

\begin{Exo} %____________________________________________________________
   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $1$ cm (ou $1$ grand carreau).
   \begin{enumerate}
      \item On considère les deux nombres complexes $z_A$ de module $4$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ et $z_B=2-2i\sqrt 3$.
      \begin{enumerate}
         \item Déterminer la forme algébrique du nombre $z_A$.
         \item Déterminer la forme trigonométrique du nombre $z_B$.
         \item Placer dans le plan les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
      \end{enumerate}
      \item On considère les deux nombres complexes $z_C = -4$ et $z_D = -1 + i \sqrt 3$.
      \begin{enumerate} 
         \item Calculer le module et un argument de chacun de ces deux nombres complexes.
         \item Placer dans le plan complexe les points $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_C$ et $z_D$.
      \end{enumerate}
      \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $O$.
      \item Démontrer que le triangle $BDA$ est rectangle.
      \item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\vspace*{0.5cm}

\begin{Exo}
   Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
   \begin{enumerate}
      \item $f(x)=-5x^7+3x^4-x^2+2x-\pi$
      \item $f(x)=(-2x+3)^2$
      \item $f(x)=x^3-\dfrac{2}{x}+4\sqrt{x}$
      \item $f(x)=\dfrac{2x+3}{-4x-1}$
      \item $f(x)=-\dfrac{2}{x^3}$
   \end{enumerate}
\end{Exo}



\pagebreak %____%________%_SUJET B%_______%______%____%

\vspace*{0.3cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$5$B
   \end{LARGE}}
\end{center}

\setcounter{Exo}{0}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace*{0.5cm}

\begin{Exo} %____________________________________________________________
   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $1$ cm (ou $1$ grand carreau).
   \begin{enumerate}
      \item On considère les deux nombres complexes $z_A=-2\sqrt 3+2i$ et $z_B$ de module $4$, d'argument $\dfrac{\pi}{6}$
      \begin{enumerate}
         \item Déterminer la forme trigonométrique du nombre $z_A$.
         \item Déterminer la forme algébrique du nombre $z_B$.
         \item Placer dans le plan les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
      \end{enumerate}
      \item On considère les deux nombres complexes $z_C=-4i$ et $z_D=\sqrt{3}-i$.
      \begin{enumerate} 
         \item Calculer le module et un argument de chacun de ces deux nombres complexes.
         \item Placer dans le plan complexe les points $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_C$ et $z_D$.
      \end{enumerate}
      \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $O$.
      \item Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle.
      \item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\vspace*{0.5cm}

\begin{Exo}
   Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
   \begin{enumerate}
      \item $f(x)=x^4+\dfrac{2}{x}-6\sqrt{x}$
      \item $f(x)=-\dfrac{3}{x^2}$
      \item $f(x)=\dfrac{3x+2}{-x+4}$
      \item $f(x)=2x^9-3x^3+x^2-4x+\pi$ 
      \item $f(x)=(3x-1)^2$
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\pagebreak %____%________%_CORRECTION A%_______%______%____%

\setcounter{Exo}{0}

\begin{small}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction DS n°$5$A
   \end{LARGE}}
\end{center}

{\setlength{\baselineskip}{1.3\baselineskip} 

\begin{Exo} % 1__________________________________________________________
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item Par définition, on a : \\
                 $z_A=4\left[\cos\left({\pi\over 3}\right)+i\sin\left({\pi\over 3}\right)\right]=4\left({1\over 2}+i{\sqrt3\over2}\right)$ \qquad soit \qquad \fbox{$z_A=2+2i\sqrt 3$}
         \item Le module de $z_B$ est $|z_B|=\sqrt {2^2+(-2\sqrt 3)^2}=\sqrt {4+12}$ \qquad soit \qquad $|z_B|=4}$ \\
                Son argument $\theta_B$ vérifie les relations : $\cos\theta_B={2\over 4}={1\over 2}$ et $\sin\theta_B=-{2\sqrt 3\over 4}=-{\sqrt 3\over 2}$ \\
                D'où $\theta_B=-{\pi \over 3}}+k\times 2\pi$ \\
                On a donc finalement : \fbox{$z_B=4\left[\cos\left(-{\pi\over 3}\right)+i\sin\left(-{\pi\over 3}\right)\right]$}
      \end{enumerate} 
      \item
      \begin{enumerate}
         \item $|z_C|=|-4|= $\fbox{$4$} \\
                 $\theta_C$ vérifie les relations : $\cos\theta_C={-4\over 4}=-1$ et $\sin\theta_C={0\over 4}=0$ \\
                 D'où, un argument de $z_C$ est \fbox{$\theta_C=\pi$} \\
                 $|z_D|=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt {1+3}=$\fbox{$2$} \\
                 $\theta_D$ vérifie les relations : $\cos\theta_D=-{1\over 2}$ et $\sin\theta_D={\sqrt 3\over 2}$ \\
                 D'où, un argument de $z_D$ est \fbox{$\theta_D={2\pi\over 3}$}
      \end{enumerate}
      \item On a $|z_A|=|z_B|=|z_C|=4$ donc : $OA=OB=OC=4$. \\
           En d'autres termes, \fbox{les points $A$, $B$ et $C$ sont tous sur le cercle de centre $O$ et de rayon $4$}
      \item On calcule les différentes distances concernées : \\
              $AB=|z_B-z_A|=|(2-2i\sqrt 3)-(2+2i\sqrt 3)|=|-4i\sqrt3|=\sqrt{48}=4\sqrt 3$. \\
              $AD=|z_D-z_A|=|(-1+i\sqrt 3)-(2+2i\sqrt 3)|=|-3-i\sqrt 3|=\sqrt {12}=2\sqrt 3$. \\
              $BD=|z_D-z_B|=|(-1+i\sqrt 3)-(2-2i\sqrt 3)|=|-3+3i\sqrt 3|=\sqrt{36}=6$. \\
              On a $AB^2=48$ et $AD^2+BD^2=12+36=48$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \fbox{le triangle $BDA$ rectangle en $D$}
      \item Il suffit de calculer les deux distances encore inconnues : \\
              $AC=|z_C-z_A|=|-4-(2+2i\sqrt 3)|=|-6 -2i\sqrt 3|=\sqrt{48}=4\sqrt 3$ \\
              $BC=|z_C-z_B|=|-4-(2-2i\sqrt 3)|=|-6+2i\sqrt 3|=\sqrt{48}=4\sqrt 3$ \\
              Finalement, on a $AC = BC = AB$ donc, \fbox{le triangle $ABC$ est équilatéral}
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\begin{Exo} %2______________________________________________________________
   \begin{enumerate}
      \item $f'(x)=-5\times7x^6+3\times4x^3-2x+2-0= $\fbox{$-35x^6+12x^3-2x+2$}
      \item $f$ est du type $u^2$ avec $u(x)=-2x+3$ donc : \\
              $f'(x)=2\times(-2)\times(-2x+3)= $\fbox{$8x-12$}
      \item $f'(x)=3x^2-2\times\dfrac{-1}{x^2}+4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}= $\fbox{$3x^2+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}$}
      \item $f$ est du type $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=2x+3$ et $v(x)=-4x-1$ donc : \\
              $f'(x)=\dfrac{2\times(-4x-1)+4(2x+3)}{(-4x-1)^2}=\dfrac{-8x-2+8x+12}{(-4x-1)^2}= $\fbox{$\dfrac{10}{(-4x-1)^2}$}
      \item $f(x)=-\dfrac{2}{x^3}=-2\times\dfrac{1}{x^3}$ donc, $f$ est du type $-2\times\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=x^3$ d'où : \\
             $f'(x)=-2\times\dfrac{-3x^2}{(x^3)^2}=\dfrac{6x^2}{x^6}= $\fbox{$\dfrac{6}{x^4}$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\pagebreak %____%________%_CORRECTION B%_______%______%____%

\setcounter{Exo}{0}

\begin{small}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction DS n°$5$B
   \end{LARGE}}
\end{center}

{\setlength{\baselineskip}{1.3\baselineskip} 

\begin{Exo} % 1__________________________________________________________
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}      
         \item Le module de $z_A$ est $|z_A|=\sqrt {(-2\sqrt 3)^2+2^2}=\sqrt {12+4}$ \qquad soit \qquad $|z_A|=4}$ \\
                Son argument $\theta_A$ vérifie les relations : $\cos\theta_A={-2\sqrt 3\over 4}=-{\sqrt 3\over 2}$ et $\sin\theta_A={2\over 4}={1\over 2}$ \\
                D'où $\theta_A={5\pi \over 6}}+k\times 2\pi$ \\
                On a donc finalement : \fbox{$z_A=4\left[\cos\left({5\pi\over 6}\right)+i\sin\left({5\pi\over 6}\right)\right]$}
         \item Par définition, on a : \\
                 $z_B=4\left[\cos\left({\pi\over 6}\right)+i\sin\left({\pi\over 6}\right)\right]=4\left({\sqrt 3\over 2}+{1\over2}i\right)$ \qquad soit \qquad \fbox{$z_B=2\sqrt 3+2i$}
      \end{enumerate} 
      \item
      \begin{enumerate}
         \item $|z_C|=|-4i|=$\fbox{$4$} \\
                 $\theta_C$ vérifie les relations : $\cos\theta_C={0\over 4}=0$ et $\sin\theta_C={-4\over 4}=-1$ \\
                 D'où, un argument de $z_C$ est \fbox{$\theta_C=-{\pi\over 2}$} \\
                 $|z_D|=\sqrt {(\sqrt 3)^2+(-1)^2}=\sqrt {3+1}=$\fbox{$2$} \\
                 $\theta_D$ vérifie les relations : $\cos\theta_D={\sqrt 3\over 2}$ et $\sin\theta_D=-{1\over 2}$ \\
                 D'où, un argument de $z_D$ est \fbox{$\theta_D=-{\pi\over 6}$}
      \end{enumerate}
      \item On a $|z_A|=|z_B|=|z_C|=4$ donc : $OA=OB=OC=4$. \\
           En d'autres termes, \fbox{les points $A$, $B$ et $C$ sont tous sur le cercle de centre $O$ et de rayon $4$}
      \item On calcule les différentes distances concernées : \\
              $AB=|z_B-z_A|=|(2\sqrt 3+2i)-(-2\sqrt 3+2i)|=|4\sqrt3|=\sqrt{48}=4\sqrt 3$. \\
              $AD=|z_D-z_A|=|(\sqrt 3-i)-(-2\sqrt 3+2i)|=|3\sqrt 3-3i|=\sqrt {36}=6$. \\
              $BD=|z_D-z_B|=|(\sqrt 3-i)-(2\sqrt 3+2i)|=|-\sqrt 3-3i|=\sqrt{12}=2\sqrt 3$. \\
              On a $AB^2=48$ et $AD^2+BD^2=36+12=48$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \fbox{le triangle $ABD$ rectangle en $D$}
      \item Il suffit de calculer les deux distances encore inconnues : \\
              $AC=|z_C-z_A|=|-4i-(-2\sqrt 3+2i)|=|2\sqrt 3-6i|=\sqrt{48}=4\sqrt 3$ \\
              $BC=|z_C-z_B|=|-4i-(2\sqrt 3+2i)|=|-2\sqrt 3-6i|=\sqrt{48}=4\sqrt 3$ \\
              Finalement, on a $AC = BC = AB$ donc, \fbox{le triangle $ABC$ est équilatéral}
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\begin{Exo} %2______________________________________________________________
   \begin{enumerate}
      \item $f'(x)=4x^3+2\times\dfrac{-1}{x^2}-6\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=$\fbox{$4x^3-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}$} 
      \item $f(x)=-\dfrac{3}{x^2}=-3\times\dfrac{1}{x^2}$ donc, $f$ est du type $-3\times\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=x^2$ d'où : \\
             $f'(x)=-3\times\dfrac{-2x}{(x^2)^2}=\dfrac{6x}{x^4}=$\fbox{$\dfrac{6}{x^3}$} 
      \item $f$ est du type $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=3x+2$ et $v(x)=-x+4$ donc : \\
              $f'(x)=\dfrac{3\times(-x+4)+1(3x+2)}{(-x+4)^2}=\dfrac{-3x+12+3x+2}{(-x+4)^2}=$\fbox{$\dfrac{14}{(-x+4)^2}$}   
      \item $f'(x)=2\times9x^8-3\times3x^2+2x-4\times1+0=$\fbox{$18x^8-9x^2+2x-4$}
      \item $f$ est du type $u^2$ avec $u(x)=3x-1$ donc : \\
              $f'(x)=2\times3\times(3x-1)=$\fbox{$18x-6$}


   \end{enumerate}
\end{Exo}


\end{small}

\end{document}