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\lhead[]{\small $2$^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Bilan de premier trimestre}}
\rhead[]{\small $23$ novembre $2009$}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
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\pagestyle{fancy}


\def\theoremframecommand{\psshadowbox*[framearc=0.5]}
\newshadedtheorem{Partie}{Partie}
\theoremstyle{break}
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%\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\rmfamily}
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\newtheorem{Exo}{\ding{50}~~Exercice}

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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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%\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\begin{document}
%
\textbf{\begin{center}
\Ovalbox{DEVOIR SURVEILLE N°5}
\end{center}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Partie}                        %
Statistiques                          %
\end{Partie}                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
On considère la série statistique définie par ce tableau :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|}
   \hline
   Valeur & $1$ & $2$ & $4$ & $6$ & $7$ & $10$ & $24$ \\
   \hline
   Effectif & $3$ & $5$ & $15$ & $13$ & $10$ & $3$ & $1$ \\ 
   \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textit{Compléter le tableau donné en ANNEXE}.
\end{Exo}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
J'ai 7 enfants :

\begin{itemize}
   \item L'âge modal est 5 ans;
   \item Marie-Capucine a précisément l'âge médian, 7 ans;
   \item Les jumeaux ont l'âge moyen, 8 ans. \\
\end{itemize}

Mais quel âge a donc mon aîné ?
\end{Exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Partie}                         %
Géométrie                              %
\end{Partie}                           %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$, et $D$ et $E$ les points définis par : \\
$\V{AD} =\V{AB}+2\V{AC}$ et $\V{AE} =-2\V{AC}$.
\begin{enumerate}
   \item Faire une figure.
   \item Démontrer que $\V{EB} =\V{AD}$.
   \item En déduire que $I$ est aussi le milieu de $[ED]$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
Dans la figure suivante, on sait que :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
   \item $ABC$ est un triangle rectangle en $A$;
   \item $O$ est le milieu de $[BC]$;
   \item $OADC$ est un parallélogramme;
   \item $AOBE$ est un parallélogramme.
\end{itemize}
\end{multicols}

\begin{pspicture}(-8,-0.5)(5,2.5)
\includegraphics[scale=0.45]{./figure.1}
\end{pspicture}

\textit{Compléter les égalités données en ANNEXE}.
\end{Exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Partie}                         %
Fonctions                              %
\end{Partie}                           %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
Construire le tableau de signes des fonctions suivantes : \\
\hspace*{1cm} $f(x) =-2x+3$ \quad et \quad $g(x) =x-\pi$.
\end{Exo}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
Cette exercice est un "VRAI-FAUX", \\
\textit{les réponses sont à donner sur l'ANNEXE.}
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{10cm}
   \item La courbe de la fonction $f$ définie sur $[~-5~;~4~]$ est représenté ci-contre:
   \begin{enumerate}
      \item $0$ admet trois antécédents par $f$.
      \item Tout élément de $[~-3~;~4~]$ admet trois antécédents.
	  \item $f(-3)\leqslant f(1)$.
	  \item Le minimum de $f$ sur $[~-5~;~4~]$ est compris entre $-2$ et $-1$.
      \item $f$ est croissante sur $[~-5~;~0~]$.
   \end{enumerate}
   \end{minipage}\hfill
   \begin{minipage}{6cm}
   \psset{unit=.45}
   \begin{pspicture}(-6,-6)(5,4)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=5](-6,-6)(5,5)
      \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-6,-6)(5,5)
      \uput{.2cm}[225](0,0){$0$}
      \uput{.3cm}[270](1,0){$1$}
      \uput{.3cm}[180](0,1){$1$}
      \psbezier(-5,-5)(-4.4,-.5)(-3,4)(-2,4)(-.8,4)(.7,-1.8)(1.7,-1.8)(2.7,-1.8)(3.4,1)(4,4)
   \end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{9cm}
\item $f$ est une fonction définie sur $I=[~-4~;~5~]$, son tableau de variations est donné ci-contre. De plus $f(-1)=0$.
   \begin{enumerate}
	  \item L'équation $f(x)=0$ admet deux solutions.
	  \item $f(2)=0$
	  \item $f(4)>0$
	  \item $f$ admet $0$ comme minimum sur $I$.
	  \item $f(4)>f(-2)$
   \end{enumerate}
   \end{minipage}\hfill
   \begin{minipage}[b]{7cm}
   \renewcommand{\arraystretch}{1.4} 
   \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
	  \hline
	  $x$ & $-4$ & & $0$ & & $3$ & & $5$ \\
	  \hline
	  variations & & & $2$ & & & & $4$ \\
	  de & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
	  $f$ & $-3$ & & & & $0$ & & \\
	  \hline
   \end{tabular}
\end{minipage}
\end{Exo}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 7 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
\ \\
\textsc{\textbf{Partie A}}

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =(x-3)^2-1$.
\begin{enumerate}
   \item Développer, réduire et ordonner $g(x)$.
   \item Factoriser $g(x)$.
   \item Résoudre l'équation $g(x)=0$.
   \item Résoudre l'équation $g(x)=8$.
   \item Calculer $g(\sqrt{2})$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Partie B}} \\

\begin{minipage}{11cm}
   Soit $ABCD$ un carré de côté $6$\,cm, $M$ et $N$ deux points mobiles respectivement sur  $[AB]$ et $[BC]$ tels que $AM =BN$.
   \begin{enumerate}
      \item On note $AM =BN =x$. Dans quel intervalle, noté $I$, varie $x$ ?
      \item Faire une figure en vraie grandeur pour $x=5$.
	   \item Exprimer en fonction de $x$ les aires respectives des triangles $AMD$, $BMN$ et $CDN$.
	   \item En déduire que pour tout $x$ appartenant à $I$, on a : \\
	   $\mathcal{A}_{MND}=\cfrac{1}{2}(x^2-6x+36)$.
   \end{enumerate}
   \end{minipage}\hfill
   \begin{minipage}{6cm}
      \psset{unit=0.6}
      \begin{center}
      \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,6.5)
      \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(6,0)(6,6)(0,6)
      \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2,6)(6,4)
      \psline{<->}(0,6.25)(2,6.25)
      \psline{<->}(6.25,6)(6.25,4)
      \psline{<->}(6,-0.25)(0,-0.25)
      \rput(-0.4,-0.4){$D$}
      \rput(6.4,-0.4){$C$}
      \rput(6.4,6.4){$B$}
      \rput(-0.4,6.4){$A$}
      \rput(2,6.5){$M$}
      \rput(6.5,4){$N$}
      \rput(3,-0.6){$6$ cm}
      \rput(1,6.5){$x$}
      \rput(6.5,5){$x$}
      \end{pspicture}
      \end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textsc{\textbf{Partie C}}
\begin{enumerate}		
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $[~0~;~6~]$ par: $f(x)=\dfrac12(x^2-6x+36)$.
   \begin{enumerate}
	  \item Tracer $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de $f$ dans un repère $\Rep$.
	  \item \`A l'aide de $\mathcal{C}_f$, dresser le tableau de variations de $f$.
   \end{enumerate}
   \item Déterminer graphiquement (on fera 	apparaître clairement les traits de lecture sur le graphique):
   \begin{enumerate}
      \item les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire de $MND$ est égale à $14$\,cm$^2$,
	  \item la position de $M$ sur $[AB]$ telle que l'aire de $MND$ soit minimale.
   \end{enumerate}
   \item A l'aide de quels résultats obtenus dans la partie A peut-on retrouver les valeurs obtenues à la question 2.(a) ?
\end{enumerate}

\end{Exo}

\pagebreak

\setcounter{Exo}{0}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\textit{\textbf{ANNEXE A RENDRE AVEC VOTRE COPIE.}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

NOM : \dotfill

\bigskip

\begin{Exo}[5 points]
Pour chaque cas, entourer \textbf{la} réponse correcte. \\
Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse $-0,5$ point, et l'absence de réponse 0 point. \\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|}
   \hline
   L'étendue de cette série est : & $14$ & $15$ & $23$ & $50$  \\
   \hline
   Le mode de cette série est : & $4$ & $10$ & $15$ & $24$ \\
   \hline
   La moyenne de cette série est : & $4$ & $5,5$ & $6$ & $7,7$ \\
   \hline
   Le premier quartile de cette série est : $\qquad$ & $2$ & $3$ & $4$ & $13$ \\
   \hline
   La fréquence de $4$ est : & $0,08$ & $0,3$ & $0,46$ & $30$ \\
   \hline
\end{tabular} 
\end{center}
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[4 points]
   \`A faire intégralement sur la copie.
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[5 points]
   \`A faire intégralement sur la copie.
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[6 points]
\hspace*{0.5cm}
\begin{itemize}
   \item $\V{OA}+\V{OC}=\dots\dots$ \\
   \item $\V{EB}+\V{OA}=\dots\dots$ \\
   \item $\V{CO}+\V{IA}=\dots\dots$ \\
   \item $\V{OC'}+\V{OB'}+\V{EB}=\dots\dots$ \\ 
   \item $\V{BO}=\dots\dots\V{ED}$ \\
   \item $\V{OA}+\V{OB}=\dots\dots\V{OC'}$
   \end{itemize}
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[4 points]
   \`A faire intégralement sur la copie.
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[5 points]
Pour chaque question, cocher \textbf{la} bonne réponse. \\
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une mauvaise réponse $-0,5$ point, et l'absence de réponse 0 point. \\
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{1.5}|C{1.5}|C{1.5}|}
      \hline
      & VRAI & FAUX \\
      \hline
      1.(a)\quad & & \\
      \hline
      1.(b) & & \\
      \hline
      1.(c) & & \\
      \hline
      1.(d) & & \\
      \hline
      1.(e) & & \\
      \hline
   \end{tabular}
   \hspace{1cm}
   \begin{tabular}{|C{1.5}|C{1.5}|C{1.5}|}
      \hline
      & VRAI & FAUX \\
      \hline
      2.(a) & & \\
      \hline
      2.(b) & & \\
      \hline
      2.(c) & & \\
      \hline
      2.(d) & & \\
      \hline
      2.(e) & & \\
      \hline
   \end{tabular} 
   \end{center}
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[22 points]
   \`A faire intégralement sur la copie.
\end{Exo}


\end{document}
