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\lhead[]{\small $1^{ere}$ STI}
\chead[]{\textsc{Ch$08$ : Géométrie plan}}
\rhead[]{\small {Vendredi $11$ avril $2007$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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\theoremstyle{break}
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\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
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\newcommand{\Rep}{(O;\V{\imath};\V{\jmath})}
\newcommand{\Oij}{\rput(-0.3,-0.3){$0$} \rput(0.5,-0.3){$\V{\imath}$} \rput(-0.3,0.5){$\V{\jmath}$} \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 


\begin{document}


\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$8$
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parindent}{0cm} 
%{\setlength{\baselineskip}{1.3\baselineskip}

\bigskip

\begin{Exo} %___1___
   Reproduire la figure ci-dessous dont les cotes sont en cm, déterminer la position approchée à $1$ mm près du centre de gravité $G$ de la pièce puis placer $G$ sur la figure.
   \begin{center}
     \psset{unit=0.75}
      \begin{pspicture}(-1,-1)(13,13)
         \pspolygon(0,0)(3,0)(3,2)(6,2)(6,0)(12,0)(8,4)(12,8)(8,12)(4,8)(0,12)(0,6)(2,6)(2,3)(0,3)         
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1)
         \psline{<->}(0,-0.5)(2,-0.5)
         \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,-1)
         \rput(1,-1){2}
         \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,-1)
         \rput(2.5,-1){1}
         \psline{<->}(3,-0.5)(2,-0.5)
         \psline{<->}(3,-0.5)(6,-0.5)
         \psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-1)
         \rput(4.5,-1){3}
         \psline{<->}(6,-0.5)(12,-0.5)
         \psline[linestyle=dashed](12,0)(12,-1)
         \rput(9,-1){6}
         \psline[linestyle=dashed](12,0)(13,0)
         \psline{<->}(12.5,0)(12.5,4)
         \psline[linestyle=dashed](8,4)(13,4)
         \rput(13,2){4}
         \psline{<->}(12.5,4)(12.5,8)
         \psline[linestyle=dashed](12,8)(13,8)
         \rput(13,6){4}
         \psline{<->}(12.5,8)(12.5,12)
         \psline[linestyle=dashed](8,12)(13,12)
         \rput(13,10){4}
         \psline[linestyle=dashed](0,12)(0,13)
         \psline{<->}(0,12.5)(4,12.5)
         \psline[linestyle=dashed](4,8)(4,13)
         \rput(2,13){4}
         \psline{<->}(4,12.5)(8,12.5)
         \psline[linestyle=dashed](8,12)(8,13)
         \rput(6,13){4}
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(-1,0)
         \psline{<->}(-0.5,0)(-0.5,2)
         \psline[linestyle=dashed](0,2)(-1,2)
         \rput(-1,1){2}
         \psline{<->}(-0.5,2)(-0.5,3)
         \rput(-1,2.5){1}
         \psline[linestyle=dashed](0,3)(-1,3)
         \psline{<->}(-0.5,3)(-0.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](-1,6)(0,6)
         \rput(-1,4.5){3}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
   Soit $||\V{u}||=4$, \quad $||\V{v}||=7$ \quad et \quad $(\V{u},\V{v})=-\dfrac{\pi}{6}$. \\
   Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants :
   \begin{enumerate}
      \item $\V{u}.\V{v}$
      \item $(2\V{u}-4\V{u}).(2\V{u}+4\V{v})$
      \item $(4\V{u}-5\V{v})^2$
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\bigskip

\begin{Exo}
   Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Rep$ d'unité graphique $1$ cm. \\
   Soient les points $A(3;0)$, $B(0;3)$, $C(0;6)$ et $D(3;y)$
   \begin{enumerate}
      \item 
         \begin{enumerate}
            \item Quelle est la nature du triangle $OAB$ ? Justifier.
            \item En déduire la mesure en degrés des angles  de $OAB$.
         \end{enumerate}
      \item
         \begin{enumerate}
            \item Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC$.
            \item Calculer la valeur exacte de $\cos(\widehat{BCA})$, en déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{BCA}$.
            \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
         \end{enumerate}
      \item Déterminer par le calcul le ou les nombres $y$ tel(s) que le triangle $ACD$ soit rectangle en $D$.
  \end{enumerate}
\end{Exo}



\pagebreak %____%________%_CORRECTION%_______%______%____%

\setcounter{Exo}{0}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction DS n°$8$
   \end{LARGE}}
\end{center}

{\setlength{\baselineskip}{1.5\baselineskip}

\begin{Exo} %___1___
   \begin{itemize}
      \item Soit $G_1(4;4)$ le centre de gravité du triangle de côtés $12\times12$, de surface $S_1=72$ cm$^2$. \\
              Soit $G_2(8;8)$ le centre de gravité du carré de côté $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$, de surface $S_2=32$ cm$^2$. \\
              Soit $G_3(1;4.5)$ le centre de gravité du rectangle de côtés $2\times3$, de surface $S_3=6$ cm$^2$. \\
              Soit $G_4(4,5;1)$ le centre de gravité du rectangle de côtés $2\times3$, de surface $S_4=6$ cm$^2$.
      \item Le centre de garvité $G$ de la forme est barycentre du système $\{(G_1,S_1); (G_2,S_2); (G_3,-S_3); (G_4,-S_4)\}$. \\
               donc, $G$ barycentre de $\{(G_1,72); (G_2,32); (G_3,-6); (G_4,-6)\}$. \\
               soit, $G$ barycentre de $\{(G_1,36); (G_2,16); (G_3,-3); (G_4,-3)\}$. 
      \item Calcul de l'abscisse de $G$ : $x_G=\dfrac{36\times4+16\times8-3\times1-3\times4,5}{36+16-3-3}=\dfrac{255,5}{46}\approx5,6$ cm.
      \item Calcul de l'ordonnée de $G$ : $y_G=\dfrac{36\times4+16\times8-3\times4,5-3\times1}{36+16-3-3}=\dfrac{255,5}{46}\approx5,6$ cm.
      \item Conclusion : les coordonnées de $G$ sont : \fbox{$G(5,6;5,6)$}
   \end{itemize}
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item $\V{u}.\V{v}=||\V{u}||\times||\V{v}||\times\cos(\V{u},\V{v})=4\times7\times\cos(-\frac{\pi}{6})=28\times\frac{\sqrt3}{2}=$ \fbox{$14\sqrt{3}$}
      \item $(2\V{u}-4\V{v}).(2\V{u}+4\V{v})=4||\V{u}||^2-16||\V{v}||^2=4\times4^2-16\times7^2=$ \fbox{$-720$}
      \item $(4\V{u}-5\V{v})^2=16||\V{u}||^2-2\times4\times5\times\V{u}.\V{v}+25||\V{v}||^2=16\times4^2-40\times14\sqrt{3}+25\times7^2=$ \fbox{$1481-560\sqrt{3}$}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item 
         \begin{enumerate}
            \item $OA$ = $OB$ et $\V{OA}.\V{OB}=3\times0+0\times3=0$ donc, les vecteurs $\V{OA}$ et $\V{OB}$ sont orthogonaux et \fbox{le triangle $OAB$ est rectangle isocèle en $O$}.
            \item \fbox{$\Widehat{AOB}=90°$, $\Widehat{OAB}=\Widehat{OBA}=45°$}
         \end{enumerate}
      \item
         \begin{enumerate}
            \item $AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$ \\
                    $BC=3$ et $AC=\sqrt{(-3)^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.
            \item D'une part, $\V{CB}.\V{CA}=||\V{CB}||\times||\V{CA}||\times\cos(\V{CB},\V{CA})=3\times3\sqrt{5}\times\cos(\V{CB},\V{CA})=9\sqrt{5}\times\cos(\V{CB},\V{CA})$. \\
                    D'autre part, $\V{CB}.\V{CA}=xx'+yy'=0\times3+(-3)\times(-6)=18$. \\
                    D'où : $\cos(\widehat{BCA})=\dfrac{18}{9\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$. \\
                    \fbox{$\widehat{BCA}=27°$}
            \item $\widehat{CBA}=180°-45°=135°$. \\
                    Donc, $\widehat{BAC}=180°-135°-27°=18°$.
         \end{enumerate}
      \item Le triangle $ACD$ soit rectangle en $D$ donc : $\V{DC}.\V{DA}=0$ \\
              $\Longleftrightarrow (-3)\times0+(6-y)\times(-y)=0 \Longleftrightarrow y(6-y)=0 \Longleftrightarrow y=0$ ou $y=6$. \\
              $y=0$ correspond au point $A$. Conclusion : \fbox{$D(3;6)$}
  \end{enumerate}   
\end{Exo}



\end{document}

