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\lhead[]{\small $2$^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Probabilités}}
\rhead[]{\small $08$ mars $2010$}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
%\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
%\def\N{{\mathbb N}}
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\pagestyle{fancy}


\def\theoremframecommand{\psshadowbox*[framearc=0.5]}
\newshadedtheorem{Partie}{Partie}
\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
%\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
%\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\rmfamily}
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\newtheorem{Exo}{\ding{50}~~Exercice}

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\begin{document}

\textbf{\begin{center}
\shadowbox{\Huge{Devoir surveillé n°9}}
\end{center}}

\bigskip

\textit{Dans tout le devoir, on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Exo}[Calcul de probabilités]
   On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
   \begin{enumerate}
      \item Quelle est la probabilité de tirer un trèfle ?
      \item Quelle est la probabilité de tirer une carte noire     ?
      \item Quelle est la probabilité de ne pas tirer un carreau ?
      \item Quelle est la probabilité de tirer une figure (roi, dame ou valet) ?
      \item Quelle est la probabilité de tirer un as ?
      \item Quelle est la probabilité de ne pas tirer un valet noir ?
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}[Utilisation d'un tableau]
   On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6.    On note alors le plus grand des deux numéros sortis.
   \begin{enumerate}
      \item Utiliser un tableau à double entrée pour modéliser la situation.
      \item Quel est l'univers $\Omega$ de toutes les issues possibles ?
      \item Établir la loi de probabilité de l'expérience.
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}[Utilisation d'un arbre]
   La porte d'entrée d'un immeuble est muni d'un clavier de trois touches marquées par les lettres $A,B$ et $C$. \\
   Le code qui déclenche l'ouverture de la porte est formé d'une série de deux lettres distinctes ou non.
   \begin{enumerate}
      \item Recopier et compléter l'arbre suivant qui dénombre l'ensemble des codes possibles : \\
      
	     \begin{center}
	     \pstree[treemode=R,nodesep=5pt]{\Tdot}
	      {\pstree{\Tr{A}}{\Tr{A} \Tr{B} \Tr{C}}
	       \pstree{\Tr{B}}{\Tr{$\cdots$}\Tr{$\cdots$}\Tr{$\cdots$}}
	       \pstree{\Tr{$\cdots$}}{}
	}
	     \end{center}
	  \vspace*{0.5cm}  
      \item Déterminer le nombre de codes différents possibles.
      \item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants.
      \begin{itemize}
         \item[A :] Le code se termine par A.
         \item[B :] Le code est formé de deux lettres différentes.
         \item[C :] Le code comporte au moins une fois la lettre A.
      \end{itemize}
\end{Exo}


\pagebreak


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Exo}[Utilisation d'un diagramme]
   Une campagne de prévention routière s'intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l'éclairage de 400 véhicules :
   \begin{itemize}
      \item 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.
      \item 140 des 400 véhicules présentent un défaut d'éclairage.
      \item 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d'éclairage. 
   \end{itemize}
   \begin{enumerate}
      \item Recopier puis compléter le diagramme de Venn ci-dessous avec des nombres pour représenter la situation.
	   \begin{center}
	            \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.65cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	   \rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
	   \rput{0.9}(-0.28,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
	   \rput{1.11}(1.63,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
	   \uput[dl](-0.5,1.5){F}
	   \uput[dl](2,1.5){E}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
    \item On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que : 
	\begin{enumerate}
        \item le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d'éclairage ?
         \item le véhicule présente un défaut d'éclairage mais pas de défaut de freinage ?
         \item le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
         \item le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Exo}[Exercice \og type bac \fg]
   Voici les résultats d'un sondage effectué en 1999 auprès de 2\,000 personnes, à propos d'Internet : 
   \begin{itemize}
      \item 40\% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 35\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 30\% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85\% ne sont pas intéressées par Internet. 
   \end{itemize} 
   \begin{enumerate}
      \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \\
         \begin{tabular}{|C{2.7}|c|c|C{2.7}|}
            \hline 
            & intéressées par Internet & non intéressées par internet & \textbf{total} \\
            \hline 
            moins de 30 ans & & & \\
            \hline 
            de 30 à 60 ans & & & \\
            \hline 
            plus de 60 ans & & & \\
            \hline 
            \textbf{total} & & & \textbf{2\,000} \\
            \hline 
         \end{tabular} 
      \item On choisit au hasard une personne parmi les 2\,000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :
      \begin{itemize} 
         \item[A :]\og{\sl la personne interrogée a moins de 30 ans}\fg,
         \item[B :] \og{\sl la personne interrogée est intéressée par Internet}\fg. 
      \end{itemize}
      \begin{enumerate}
         \item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $\overline{A}$ puis calculer $P(\overline{A})$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $A\cap B$ puis calculer $P(A\cap B)$. En déduire $P(A\cup B)$. 
      \end{enumerate}
      \item On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet.\\               
          Quelle est la probabilité qu'elle ait plus de 30 ans ? 
   \end{enumerate} 
\end{Exo}


\end{document}
