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\lhead[]{\small 2^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Géométrie chapitre 1}}
\rhead[]{\small {2009-2010}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

%\def\R{{\mathbb R}}
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\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
%\theorembodyfont{\rmfamily}
%\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
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\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\newframedtheorem{Def}{Définition}

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\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
   \end{LARGE}}
\end{center}

\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 

\bigskip

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Définition}

\begin{Def} 
\begin{dinglist}{228}
   \item Un point $C$ est l’image d’un point $D$ par la \underline{translation} qui transforme $A$ en $B$ lorsque le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
   \item On dit alors que $C$ est l’image du point $D$ par la translation de \underline{vecteur} $\V{AB}$.
\end{dinglist}
\end{Def}

\begin{minipage}{10cm}
   Translation de vecteur $\V{AB}$ transformant $D$ en $C$ : \\
   
   On remarque que :
   \begin{itemize}
      \item $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles (même direction),
      \item $AB$ et $DC$ sont de même longueur,
      \item $\V{AB}$ et $\V{DC}$ vont dans le même sens. \\
   \end{itemize} \\
   
   Les vecteurs seront souvent notés $\V{u}$, $\V{v}$, $\V{w}$... 
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{6cm}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(6,5.3)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](6,5)
      \psline[linecolor=red]{|->}(1,1)(4,2)
      \rput(0.8,0.8){$A$}
      \rput(4.2,1.8){$B$}
      \psline[linecolor=red]{|->}(2,3)(5,4)
      \rput(1.8,3.2){$D$}
      \rput(5.2,4.2){$C$}
      \psline[linecolor=blue](1,1)(2,3)
      \psline[linecolor=blue](4,2)(5,4)
      \rput(2.6,1.2){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \rput(3.1,3){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
   \end{pspicture}
\end{minipage}

\biglskip

\begin{Rem}
   Le vecteur $\V{u}$ n'est pas fixe, on peut le dessiner n'importe où sur une feuille :
\end{Rem}

\begin{center}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(11,6)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](11,6)
      \psline{|->}(1,1)(4,3)
      \rput(2.5,2.5){$\V{u}$}
      \psline[linecolor=red]{|->}(6,3)(9,5)
      \rput(7.5,4.5){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \psline[linecolor=red]{|->}(2,4)(5,6)
      \rput(3.5,5.5){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \psline[linecolor=red]{|->}(8,0)(11,2)
      \rput(9.5,1.5){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
   \end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Égalité de vecteurs} 

\begin{Def}
   Deux vecteurs $AB$ et $DC$ sont \underline{égaux} si et seulement si le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). On note alors $\V{AB} =\V{DC}$.
\end{Def}

\begin{minipage}{5cm}
Aucun des vecteurs ci-contre ne sont égaux deux à deux.
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{11cm}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(11,6)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](11,6)
      \psline{|->}(1,1)(4,3)
      \rput(2.5,2.5){$\V{u}$}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(6,3)(4,6)
      \rput(5.2,5){\textcolor{blue}{$\V{x}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(5,1)(11,5)
      \rput(7.5,3.2){\textcolor{blue}{$\V{v}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(11,2)(8,0)
      \rput(9.5,1.5){\textcolor{blue}{$\V{w}$}}
   \end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{Rem}
   \begin{itemize}
      \item $\V{AB} = \V{0}$ si et seulement si $A=B$,
      \item Si on fixe un point $O$, alors pour tout vecteur $\V{u}$, il existe un unique point $M$ vérifiant $\V{u} = \V{OM}$.
   \end{itemize}
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Opposé d'un vecteur} 

\begin{Def}
   Quels que soient les points $A$ et $B$, le vecteur $\V{BA}$ est appelé\underline{ vecteur opposé }au vecteur $\V{AB}$.
\end{Def}

\begin{Rem}
   Si  $\V{u} =\V{AB}$, alors $-\V{u} =\V{BA}$.
\end{Rem}

\begin{center}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(11,6)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](11,6)
      \psline[linecolor=red]{|->}(1,1)(2,5)
      \rput(1.3,3){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \psline[linecolor=red]{|->}(4,6)(3,2)
      \rput(3,4){\textcolor{red}{$\V{-u}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(5,2)(8,4)
      \rput(4.6,1.8){$A$}
      \rput(7.4,2.5){\textcolor{blue}{$\V{AB}=\V{v}$}}
      \rput(8,4.4){$B$}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(10,2)(7,0)
      \rput(9,0.5){\textcolor{blue}{$\V{-v}$}}
   \end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Somme de deux vecteurs} 

\begin{Def}
   Soient $\V{u}$ et $\V{v}$ deux vecteurs, on définit le vecteur $\V{w} =\V{u}+\V{v}$ de la façon suivante : \\
   Soit $A$ un point du plan, on trace le représentant de $\V{u}$ d'origine $A$ : il a pour extrémité $B$,\\
   puis on trace le représentant de $\V{v}$ d'origine $B$ : il a pour extrémité $C$. \\
Le vecteur $\V{AC}$ est un représentant du vecteur $\V{w}$.
\end{Def}

\begin{center}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(11,6)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](11,6)
      \psline[linecolor=red]{|->}(1,1)(4,3)
      \rput(2.5,2.5){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(1,5)(3,3)
      \rput(2,4.5){$\V{v}$}
      \psline[linecolor=red]{|->}(5,2)(8,4)
      \rput(4.6,1.8){$A$}
      \rput(6.5,3.5){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \rput(8,4.4){$B$}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(8,4)(10,2)
      \rput(9,3.5){\textcolor{blue}{$\V{v}$}}
      \rput(10.3,1.8){$C$}
      \psline[linewidth=.1]{|->}(5,2)(10,2)
      \rput(7.5,1.6){{\textbf{$\V{w} =\V{u}+\V{v}$}}}
   \end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Relation de Chasles :} Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan, on a $\V{AB}+\V{BC}= \V{AC}$.

\begin{Prop}
   Quels que soient les vecteurs $\V{u}$, $\V{v}$ et $\V{w}$ du plan, on a :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\V{u}+\V{v} =\V{v}+\V{u}$,
      \item $(\V{u}+\V{v})+\V{w} =\V{u}+(\V{v}+\V{w})$,
      \item $\V{u}+\V{0} =\V{u}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Multiplication d'un vecteur par un nombre réel} 

\begin{Def}
   Soit $\V{u} =\V{AB}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul, on définit le vecteur $\V{v} = k\V{u} =\V{AC}$ par :
   \begin{dinglist}{228}
     \item $A$, $B$ et $C$ sont alignés,
     \item si $k>0$, $AC =kAB$ et $B$ et $C$ sont du même côté par rapport à $A$,
     \item Si $k<0$, $AC =-kAB$ et $B$ et $C$ sont de part et d'autre de $A$.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
   Si  $\V{u} = 0$ ou $k=0$ alors $\V{v} = \V{0}$
\end{Rem}

\begin{center}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(14,7)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](14,7)
      \psline[linecolor=red]{|->}(1,1)(4,3)
      \rput(2.4,2.6){\textcolor{red}{$\V{u}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(0,3)(6,7)
      \rput(2.5,5.5){\textcolor{blue}{$\V{v}=2\V{u}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(13,7)(4,1)
      \rput(9,3.5){\textcolor{blue}{$\V{w}=-3\V{u}$}}
      \psline[linecolor=blue]{|->}(7,0)(8.5,1)
      \rput(7.5,1.1){\textcolor{blue}{$\V{x}=\frac{1}{2}\V{u}$}}
      \psline[linecolor=blue]{<-|}(10,2)(14,4.66)
      \rput(12.5,2.8){\textcolor{blue}{$\V{y}=-\frac{4}{3}\V{u}$}}
   \end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{Prop}
   Quels que soient les vecteurs $\V{u}$, $\V{v}$ et les réels $k$ et $l$ , on a :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $k(\V{u} + \V{v}) =  k\V{u} + k\V{v}$
      \item $(k+l)\V{u}  =  k\V{u} +l\V{u}$
      \item $k(\lambda\V{u})  =  (k\lambda)\V{u}$
      \item $k\V{u}  = \V{0} \Longleftrightarrow k=0$ ou $\V{u} =\V{0}$
   \end{dinglist}
\end{Prop}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Colinéarité de deux vecteurs}

\begin{Def}
   Deux vecteurs $\V{u}$ et $\V{v}$ sont \underline{colinéaires} s'il existe un réel $k$ non nul tel que $\V{v}=k\V{u}$.
\end{Def}

Autrement dit, les vecteurs $\V{u}$ et $\V{v}$ ont la même direction.

Sur le dessin précédent, tous les vecteurs dessinés sont colinéaires entre eux.

\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
      \item Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont colinéaires,
      \item deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont colinéaires.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{center}
\psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(18,4)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](8,4)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](10,0)(18,4)
      \psline[linecolor=red,arrowsize=0.3,linewidth=0.08]{|->}(1,1)(7,3)
      \psline[linecolor=red,arrowsize=0.3,linewidth=0.08]{|->}(1,1)(3,1.67)
      \psline[linecolor=red](0,0.67)(8,3.33)
      \rput(1.8,1.8){\textcolor{red}{$\V{AB}$}}
      \rput(1,0.5){$A$}
      \rput(3,1){$B$}
      \rput(7,2.5){$C$}
      \rput(1.8,1.8){\textcolor{red}{$\V{AB}$}}
      \rput(4.3,1.5){\textcolor{red}{$\V{AC}$}}
      
      \psline[linecolor=blue](10,1.8)(18,3.4)
      \psline[linecolor=blue,arrowsize=0.3,linewidth=0.08]{|->}(11,2)(16,3)
      \psline[linecolor=blue](11,0)(18,1.4)
      \psline[linecolor=blue,arrowsize=0.3,linewidth=0.08]{|->}(17,1.2)(13,0.4)
      \rput(11,1.5){$A$}
      \rput(16,2.5){$B$}
      \rput(17,0.7){$C$}
      \rput(13,1){$D$}
      \rput(13.5,3){\textcolor{blue}{$\V{AB}$}}
      \rput(15,1.4){\textcolor{blue}{$\V{CD}$}}
   \end{pspicture}
\end{center}

\end{document}