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\lhead[]{\small 2^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Géométrie chapitre 2}}
\rhead[]{\small {2009-2010}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

%\def\R{{\mathbb R}}
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\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
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%\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\newframedtheorem{Def}{Définition}

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\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
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\definecolor{vert}{rgb}{0,0.5,0.25}

\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      CONFIGURATIONS DU PLAN
   \end{LARGE}}
\end{center}

\tableofcontents
 
\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 
\psset{unit=0.8}

\bigskip

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Droites remarquables d'un triangle} 

\begin{Def} 
   La \underline{hauteur} issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au côté opposé $(BC)$.
\end{Def}

\begin{minipage}{7cm}
   Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé \underline{l'orthocentre} du triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
      \psset{CodeFig=true, PointSymbol=none,RightAngleSize=0.2}
      \pstTriangle{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstProjection[PointName=none,CodeFigColor=blue]{B}{A}{C}
      \pstProjection[PointName=none,CodeFigColor=vert]{A}{C}{B}
      \pstProjection[PointName=none,CodeFigColor=red]{C}{B}{A}
      \rput(1.8,1.2){$H$}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{Def} 
   La \underline{médiane} issue du sommet $A$ est la droite passant par $A$ et par le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$.
\end{Def}

\begin{minipage}{7cm}
   Les trois médianes sont concourantes en un point $G$ qui est le \underline{centre de gravité} du triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
      \psset{CodeFig=true, PointSymbol=none}
      \pstTriangle[CodeFigColor=white]{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstMiddleAB[PosAngle=-90,SegmentSymbol=pstslash, PointName=none,CodeFigColor=blue]{A}{B}{K}
      \pstMiddleAB[PosAngle=20,SegmentSymbol=pstslashh, CodeFigColor=red]{B}{C}{I}
      \pstMiddleAB[PosAngle=150,SegmentSymbol=MarkCros, PointName=none,CodeFigColor=vert]{C}{A}{J}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A}{I}
      \pstLineAB[linecolor=vert]{B}{J}
      \pstLineAB[linecolor=blue]{C}{K}
      \rput(2,0.6){$G$}
   \end{pspicture}
\end{center}                                                            
\end{minipage}

\begin{Rem}
   $G$ se trouve aux deux tiers de la médiane $[AI]$ en partant de $A$ : $\V{AG}=\dfrac23\V{AI}$.
\end{Rem}

\pagebreak

\begin{Def}
   La \underline{médiatrice} du segment $[AB]$ est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.
\end{Def}

\begin{minipage}{7cm}
   C'est aussi l'ensemble des points du plan équidistants de $A$ et de $B$. \\
   Les trois médiatrices sont concourantes en un point $O$ qui est le \underline{centre du cercle circonscrit} à ce triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-2.5)(5,3.5)
      \psset{CodeFig=true,PointSymbol=none,linecolor=red}
      \pstTriangle{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstCircleABC[RightAngleSize=0.2,CodeFigColor=blue]{A}{B}{C}{O}
   \end{pspicture}
\end{center}  
\end{minipage}

\begin{Def} 
   La \underline{bissectrice} d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
\end{Def}

\begin{minipage}{7cm}
   Les trois bissectrices sont concourantes en un point $I$ qui est le \underline{centre du cercle inscrit} dans le triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-0.7)(5,3.5)
      \psset{PointSymbol=none}
      \pstTriangle{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstBissectBAC[linecolor=red, PointName=none]{B}{A}{C}{A'}
      \pstBissectBAC[linecolor=green, PointName=none]{A}{C}{B}{C'}
      \pstBissectBAC[linecolor=blue, PointName=none]{C}{B}{A}{B'}
      \pstMarkAngle[linecolor=red, Mark=MarkHash, MarkAngleRadius=0.8]{B}{A}{A'}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=red, Mark=MarkHash, MarkAngleRadius=0.7]{A'}{A}{C}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=vert, MarkAngleRadius=0.8]{C}{B}{B'}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=vert, MarkAngleRadius=0.9]{B'}{B}{A}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=blue, Mark=MarkCros, MarkAngleRadius=0.7]{A}{C}{C'}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=blue, Mark=MarkCros, MarkAngleRadius=0.6]{C'}{C}{B}{}
      \pstInterLL{C}{C'}{A}{A'}{I}
      \pstProjection[PointName=none]{A}{B}{I}[I']
      \pstCircleOA[linestyle=dashed]{I}{I'}
   \end{pspicture}
\end{center}  
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Grands théorèmes} 

\begin{Th}[de Thalès : $-627$ et $-547$]
   $O$, $A$, $B$ sont trois points du plan, $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux droites $(OA)$ et $(OB)$.
   \begin{dinglist}{227}
      \item Si les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles  alors $\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OB}{ON}=\dfrac{AB}{MN}$.
      \item Si  $\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OB}{ON}$ et si les points $O$, $A$, $M$ et  $O$, $B$, $N$ sont alignés dans le même ordre alors\\ \hspace*{0.3cm}les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles.
   \end{dinglist}
\end{Th} 	

\begin{minipage}{8.5cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,4)
         \pstGeonode[PosAngle={-160,-40,85}]{O}(3,0){A}(2,2){B}
         \pstHomO[HomCoef=1.5, PosAngle={-40, 85}]{0}{A,B}[M,N]
         \psset{nodesep=-1}
         \pstLineAB{O}{M}
         \pstLineAB{O}{N}
         \psset{linecolor=red, nodesep=-0.5}
         \pstLineAB{A}{B}
         \pstLineAB{M}{N}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8.5cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,4)
         \pstGeonode[PosAngle={-50,-40,80}](2,1){O}(5,1){A}(4,3){B}
         \pstHomO[HomCoef=-0.5, PosAngle={140,-115}]{O}{A,B}[M,N]
         \psset{nodesep=-1}
         \pstLineAB{A}{M}
         \pstLineAB{B}{N}
         \psset{linecolor=red, nodesep=-0.5}
         \pstLineAB{A}{B}
         \pstLineAB{M}{N}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

\begin{Th} [des milieux]
   On se place dans un triangle quelconque.
   \begin{dinglist}{227}
      \item La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté 
      \item Si une droite passe par le milieu d'un premier côté et est parallèle au second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
   \end{dinglist}
\end{Th}

\begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}
      \psset{unit=0.8}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
         \pstTriangle[PosAngle={-150,-20,80}]{A}(5,0){B}(3,3){C}
         \pstHomO[HomCoef=0.5, PosAngle={-100, 85}]{0}{B,C}[D,E]
         \psset{linecolor=red, nodesep=-0.5}
         \pstLineAB{B}{C}
         \pstLineAB{D}{E}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   on a : $D$ milieu de $[AB]$\\
   \hspace*{1cm} $E$ milieu de $[AC]$\\

   alors : $(DE) \parallel (BC)$\\
   et \hspace*{0.7cm} $DE=\frac{1}{2}BC$
\end{minipage}

\begin{Th} [de Pythagore : $-580$, $-500$]
   Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan :\\ 
   le triangle $ABC$ est rectangle en $A$  équivaut à dire que $AC^2+AB^2=BC^2$.	 
\end{Th}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.35cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(7.5,8.5)
\pspolygon(-0.36,4.2)(-0.36,1.28)(4.54,1.28)
\pspolygon(0.55,1.28)(0.55,2.19)(-0.36,2.19)(-0.36,1.28)
\rput(-0.5,5){$B$}
\psdots[linecolor=blue](-0.36,1.28)
\rput(0,1.7){$A$}
\psdots[linecolor=blue](4.54,1.28)
\rput(5,2){$C$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.54,1.28)(-0.36,1.28)(-0.36,-3.62)(4.54,-3.62)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-0.36,1.28)(-0.36,4.2)(-3.28,4.2)(-3.28,1.28)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red](-0.36,4.2)(4.54,1.28)(7.46,6.18)(2.56,9.1)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{Th}
   Soient $A$ et $B$ deux points d'un cercle de centre $O$.\\
   Pour tout point $M$ de ce cercle, la mesure de l'angle géométrique $\widehat{AMB}$ est égale à la moitié de celle de l'angle au centre $\widehat{AOB}$.
\end{Th}

\begin{minipage}{9cm}
   \begin{center}
   \psset{unit=0.6}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,5.5)
         \pstGeonode[PosAngle={-90,0}](2.5,2.5){O}(5,2.5){A}
         \pstCircleOA{O}{A}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{B}{\pstDistVal{3}}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{N}{\pstDistVal{6}}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{M}{\pstDistVal{10}}
         \pstLineAB[linecolor=vert]{O}{A}
         \pstLineAB[linecolor=vert]{O}{B}
         \pstMarkAngle[linecolor=vert]{A}{O}{B}{\textcolor{vert}{$\theta$}}
         \pstLineAB[linecolor=red]{M}{A}
         \pstLineAB[linecolor=red]{M}{B}
         \pstMarkAngle[linecolor=red]{A}{M}{B}{\textcolor{red}{$\frac{\theta}{2}$}}
         \pstLineAB[linecolor=blue]{N}{A}
         \pstLineAB[linecolor=blue]{N}{B}
         \pstMarkAngle[linecolor=blue]{A}{N}{B}{\textcolor{blue}{$\frac{\theta}{2}$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
   \begin{center}
    \psset{unit=0.8}
      \begin{pspicture}(5,5)
         \pstGeonode[PosAngle={-90,0,180}](2,2.5){O}(4,2.5){A}(0,2.5){B}
         \pstCircleOA{O}{A}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{C}{\pstDistVal{2}}
         \pstLineAB[linecolor=red]{A}{B}
         \pstLineAB[linecolor=red]{B}{C}
         \pstLineAB[linecolor=red]{C}{A}
         \pstRightAngle[linecolor=red]{A}{C}{B}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}


\textbf{Conséquences :}
\begin{itemize}
   \item si $M$ et $N$ sont deux points du cercle de centre $O$ alors $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$,
   \item Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ alors il est,inscrit dans le cercle de diamètre $[BC]$
   \item Si le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[BC]$ alors il est rectangle en $A$?
\end{itemize}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Transformations} 

\begin{Def} 
   $M'$ est l'image du point $M$ par la \underline{symétrie de centre $O$} signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$.
\end{Def}
 
\begin{minipage}{7cm}
   La symétrie centrale conserve les longueurs, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques et orientés, les formes et les figures.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3)
      \pstGeonode[PosAngle=-90](0,1.5){O}
      \pstTriangle(1,0){A}(4,0){B}(2,2){C}
      \pstSymO[CodeFig=true, CodeFigColor=blue, PosAngle={40,170,-90}]{O}{A, B, C}[A', B', C']
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{C'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{Def}
   $M'$ est l'image du point $M$ par la \underline{symétrie d'axe $\Delta$} signifie que la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
\end{Def}

\begin{minipage}{7cm}
   La symétrie axiale conserve les longueurs, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques, les formes et les figures. \\
   Par contre, elle inverse les angles orientés.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3.2)
      \pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,-0.5){O}(0,3.5){O'}
      \pstLineAB{O}{O'}
      \pstTriangle[PosAngleA=115](1,1){A}(4,0){B}(2,3){C}
      \psset{CodeFig=true, CodeFigColor=blue, linecolor=red, RightAngleSize=0.2}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslash, PosAngle=50]{O}{O'}{A}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashh, PosAngle=-135]{O}{O'}{B}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashhh, PosAngle=90]{O}{O'}{C}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{B'}{C'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{A'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propriétés des quadrilatères}

\begin{center}
    \includegraphics[width=13cm,height=10.5cm]{quadrilateres}
\end{center}

\end{document}