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\lhead[]{\small 2^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Géométrie chapitre 4}}
\rhead[]{\small {2009-2010}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}


\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
%\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
%\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
%\theorembodyfont{\rmfamily}
%\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\newframedtheorem{Def}{Définition}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Rep}{(O;\V{i};\V{j};\V{k})}
%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
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%\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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\begin{document}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
   \end{LARGE}}
\end{center}

\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\bigskip

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Volumes de l'espace}

\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.8}
   \begin{center}
      Parallélépipède rectangle : $V =L\times$l$\times$ h. \\
      \begin{pspicture}(0,-1.2)(5,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1)(5,3)(1,3)(0,2)
         \psline(0,2)(4,2)(4,0)
         \psline(4,2)(5,3)
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3)
      \end{pspicture} \\
      Sphère : V= $\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$ \\
      \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5.2)
         \pscircle(2.5,2.5){2.5}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.5)(2.5,1){0}{180}
         \psellipticarc(2.5,2.5)(2.5,1){180}{0}
         \rput(2.5,2.1){$O$}
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)
         \psdot(2.5,2.5)
         \rput(3.75,2.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture} \\
      Cylindre de révolution : $V =\pi\times r^2\times h$. \\
      \begin{pspicture}(-2,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(4,5)
         \psline(0,1)(0,5)
         \psellipse(2,5)(2,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{|-|}(5,1)(5,5)  
         \rput(5.3,3){\textcolor{blue}{$h$} }
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
   \begin{center}
   pyramide : $V =\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{h}}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(5,6.5)
         \pspolygon(1,0)(4,0)(5,1)(2.5,6)(0,1)
         \psline(1,0)(2.5,6)(4,0)
         \psline[linestyle=dashed](0,1)(1.3,2)(3.7,2)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](3.7,2)(2.5,6)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.5,6)(2.5,1)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.8,1)(2.8,1.3)(2.5,1.3)
         \rput(2.7,2.8){\textcolor{blue}{$h$}}
      \end{pspicture} \\
      Cône de révolution : $V =\dfrac{\pi\times r^2\times h}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-1.8,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(2,6)(0,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2,1)(2,6)
         \rput(2.5,3.5){\textcolor{blue}{$h$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Positions relatives} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Position relative de deux droites :}

\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droites coplanaires sécantes :\\un point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,3.9)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(4,3)
         \rput(1.4,0.3){\textcolor{red}{$d_1$}}
         \psline[linecolor=blue](0.75,2.25)(4.25,0.75)
         \rput(4.1,1.3){\textcolor{blue}{$d_2$}}
         \psdot[dotstyle=+,dotscale=2](2.35,1.55)
         \rput(2.4,2){$A$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droites coplanaires parallèles :\\aucun ou une infinité de points d'intersection
      \begin{pspicture}(6,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(4,3)
         \rput(1.8,2){\textcolor{red}{$d_1=d_3$}}
         \psline[linecolor=blue](1.5,0)(5,3)
         \rput(3,0.8){\textcolor{blue}{$d_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droites non coplanaires :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,3.9)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(4,3)
         \rput(1.4,0.3){\textcolor{red}{$d_1$}}
         \psline[linecolor=blue](1,3.3)(1.5,2.4)
         \psdot[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=blue](1.5,2.4)
         \psline[linecolor=blue, linestyle=dashed](1.5,2.4)(3,-0.3)
         \rput(3.1,0.3){\textcolor{blue}{$d_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Position relative de deux plans} 

\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans sécants :\\un droite d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](3.5,3)(5,3)(4,0)(0,0)(1,3)(1.5,3) 
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](1.5,3)(3.5,3)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](3.17,0)(3,-0.5)(1,1.5)(2,4.5)(3.5,3)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](3.5,3)(4,2.5)(3.17,0)
         \rput(2.1,3.9){\textcolor{red}{$P_2$}}
         \psline(2.3,-0.5)(3.7,3.7)
         \rput(3.8,3.9){$d$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans parallèles strictement:\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \pspolygon[linecolor=red](0,1)(4,1)(5,4)(1,4) 
         \rput(1.2,3.6){\textcolor{red}{$P_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans parallèles confondus :\\un plan d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(1,0.3){$P_1=P_2$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Position relative d'une droite et d'un plan}

\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan sécants :\\un point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](1,3.3)(2,1.5)
         \psdot[dotstyle=+,dotscale=2](2,1.5)
         \rput(2.3,1.8){$A$}
         \psline[linecolor=red, linestyle=dashed](1.5,2.4)(3,-0.3)
         \rput(3.1,0.4){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\droite incluse dans le plan
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.8,0)(4,3)
         \rput(3,2.5){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](3,-0.5)(1,3.5)
         \rput(2.6,-0.3){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Règles d'incidence et parallélisme} 

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Deux droites de l'espace sont \underline{parallèles} si elles sont coplanaires et non sécantes,
      \item Deux plans de l'espace sont \underline{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants,
      \item    Une droite et un plan de l'espace sont \underline{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants.
   \end{dinglist}
\end{Def}


\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles,
      \item Si deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{Q}$ alors les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles,
       \item Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles,
       \item Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\psset{unit=0.9}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(2.9,2)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.9,2)(4,3)
         \rput(1.4,0.3){\textcolor{red}{$d_1$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,2)(4.25,0.75)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.75,2.25)(1.3,2)
         \rput(4.1,1.3){\textcolor{blue}{$\delta_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.5,2)(4,5)
         \rput(1.4,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
         \psline[linecolor=blue](0.75,4.25)(4.25,2.75)
         \rput(4.1,3.3){\textcolor{blue}{$\delta_2$}}
         \psline(0.7,2)(0,0)(4,0)(5,3)(4.5,3)
         \psline[linestyle=dotted](4.5,3)(1,3)(0.7,2)
         \rput(0.5,0.3){$P$}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(1.2,4.6){$Q$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P$}}
         \psline[linecolor=red](0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){\textcolor{red}{$Q$}}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(0.5,2.3){$R$}
      \end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5.5)
         \psline(0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){$P$}
         \psline(1.8,5)(1,5)(0,2)(4,2)(5,5)(2.5,5)
         \psline[linestyle=dotted](1.8,5)(2.5,5)
         \rput(1.2,4.7){$Q$}
         \psline[linecolor=red](3.17,1)(3,0.5)(1,2.5)(2,5.5)(2.5,5)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](2.5,5)(4,3.5)(3.17,1)
        \rput(1.4,2.7){\textcolor{red}{$R$}}
         \psline[linecolor=blue](2.3,0.5)(2.8,2)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.8,2)(3.7,4.7)
         \rput(3.9,4.3){\textcolor{blue}{$d$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,1.5)(2.7,5.7)
         \rput(2.8,5.3){\textcolor{blue}{$\delta$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}


\begin{Th}
   Soient $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ deux plans sécants suivant une droite $\delta$, \\
   si $d_1\in\mathscr{P}$ et $d_2\in\mathscr{Q}$ sont deux droites parallèles alors la droite $\delta$ est parallèle aux droites $d_1$ et $d_2$. \\
   Ce théorème est parfois appelé \textbf{Théorème du toit}.
\end{Th}

\begin{center}
   \begin{pspicture}(7,6.1)
      \psline[linecolor=red](3.5,0.5)(7,4) 
      \psline(4,1)(2,4)(1,1)
      \psline[linestyle=dashed](3.5,3.5)(4.5,6.5)
      \psline(4.5,6.5)(6.5,3.5)
      \psline[linecolor=red](0.5,0.5)(2.8,2.8) 
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2.8,2.8)(4.2,4.2)
      \psline[linecolor=red](1.3,3.3)(5,7)
      \rput(1.3,0.6){\textcolor{red}{$d_1$}}
      \rput(4.3,0.6){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \rput(1.5,4){\textcolor{red}{$\delta$}}
      \rput(1.7,2.1){$P$}
      \rput(4.1,1.7){$Q$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\end{document}