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\lhead[]{\small 2^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Outils de calcul chapitre 1}}
\rhead[]{\small {2009-2010}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
%\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
%\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
%\theorembodyfont{\rmfamily}
%\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\newframedtheorem{Def}{Définition}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
%\newcommand{\V}{\overrightarrow}
%\newcommand{\Rep}{(O;\V{\imath};\V{\jmath};\V{k})}
%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
%\newcommand{\Reel}{\mathfrak{Re}} 
%\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} 
%\renewcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert}
%\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}
%\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}

\begin{document}

\begin{document}
   \begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
   \end{LARGE}}
\end{center}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 

\bigskip

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Calcul algébrique}

Le calcul algébrique consiste à transformer des expressions algébriques pour les mettre sous différentes formes.

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item \underline{Développer}, c'est transformer un produit de facteurs en une somme de facteurs   ,       
      \item \underline{Factoriser}, c'est transformer une somme de facteurs en un produit de facteurs.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item $-2x^3+14x^2+5x-35$ est une forme développée du produit $(-2x^2+5)(x-7)$,
      \item $(-2x^2+5)(x-7)$ est une forme factorisée de la somme $-2x^3+14x^2+5x-35$,
      \item $-2x^2+3x-5$ est la forme réduite de $3-x^2+2x-x^2-8+x$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Identités remarquables}

Afin de factorise ou de développer des expressions numériques, on utilise très régulièrement les identités remarquables vue ne collège :

\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$,
      \item $(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$,
      \item $(a+b)(a-b) =a^2-b^2$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Exemple d'utilisation de différentes écritures d'une expression}

\textcolor{blue}{
Soit $f$ la fonctions définie sur $\R$ par $f(x)=x-3+3(x-3)^2+x^2-9$.
\begin{enumerate}
   \item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
   \item Factoriser $f(x)$.
   \item Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée de $f$ :
   \begin{enumerate}
      \item Calculer $f(0)$.
      \item Calculer $f(3)$.
      \item Résoudre $f(x)=0$.
      \item Résoudre $f(x)=15$.
   \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\bigskip

\textsc{Solution :}

   \begin{enumerate}
      \setlength\itemsep{0.5cm} 
      \item $(x-3)^2 =x^2-2\times x\times3+3^2 =x^2-6x+9$ \qquad d'après l'identité : $(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$. \\
      $f(x)=x-3+3x^2-18x+27+x^2-9$ \\
      \hspace*{0.73cm} $=4x^2-17x+15$. \\
      La forme réduite de $f$ est : \fbox{$f(x)=4x^2-17x+15$}
      \item $x^2-9 =(x-3)(x+3)$ \qquad d'après l'identité : $a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$. \\
      $f(x)=(x-3)[1+3(x-3)+(x+3)]$ \\
      \hspace*{0.73cm} $=(x-3)(1+3x-9+x+3)$ \\
      \hspace*{0.73cm} $=(x-3)(4x-5)$.\\
              La forme factorisée de $f$ est \fbox{$f(x)=(x-3)(4x-5)$}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \setlength\itemsep{0.5cm} 
         \item on utilise la forme développée la plus simple : \\
         $f(0)=4\times 0^2-17\times 0+15=15$ donc : \fbox{$f(0)=15$}
         \item on utilise la forme factorisée pour lequel le premier facteur s'annulera : \\
         $f(3)=(3-3)(4\times 3-5)=0$ donc : \fbox{$f(3)=0$}
         \item on utilise la forme factorisée et on utilise la propriété \\
         \og un produit de facteurs est nul ssi l'un des fateurs est nul \fg : \\
         $f(x)=0 \Longleftrightarrow (x-3)(4x-5)=0 \Longleftrightarrow$ 
                  \begin{array}[t]{ccc}
                    x-3=0 & \text{ou} & 4x-5=0 \\
                    x=3 & | & x=\dfrac{5}{4} \\
                 \end{array}\\
                  Conclusion : \fbox{$\mathcal{S}=\left\{\dfrac{5}{4};3\right\}$}
         \item on utilise la forme développée car on remarque la constante \og $15$ \fg{} dans les deux membres : \\
         $f(x)=15 \Longleftrightarrow 4x^2-17x+15=15$ \\
         \hspace*{1.65cm} $\Longleftrightarrow 4x^2-17x=0$ \\
         \hspace*{1.65cm} $\Longleftrightarrow x(4x-17)=0 \Longleftrightarrow$ 
                  \begin{array}[t]{ccc}
                    x=0 & \text{ou} & 4x-17=0 \\
                    x=0 & | & x=\dfrac{17}{4} \\
                 \end{array}\\
                  Conclusion : \fbox{$\mathcal{S}=\left\{0;\dfrac{17}{4}\right\}$}
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}


\end{document}