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\lhead[]{\small 2^{nde} ISI}
\chead[]{\textsc{Outils de calcul chapitre 3}}
\rhead[]{\small {2009-2010}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
%\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
%\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
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\newframedtheorem{Def}{Définition}

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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}



\begin{document}

   \begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
   \end{LARGE}}
\end{center}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 

\bigskip

\begin{center}
$\bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar \quad \bigstar$
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Inéquations du premier degré}

\begin{Def}
   Une \underline{inéquation du premier degré} est une expression de la forme $ax+b>0$ ou $ax+b\geq0$ ou $ax+b<0$ ou $ax+b\leq0$ avec $a\neq0$ où $x$ est l'inconnue.
\end{Def}

La résolution d'inéquations du premier degré se fait de la même manière que pour les équations du premier degré, sauf pour le sens de l'inégalité qui peut changer :

\smallskip

\begin{Prop}
   Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Résoudre dans $\R$ les inéquations $2x+3>0$ et $3-5x \leqslant 0$ :\\
   \begin{tabular}{p{0.1cm}l!{$\Longleftrightarrow$}lC{1}l!{$\Longleftrightarrow$}l}
      & \ding{212} \; $2x+3>0$ & $2x>-3$ & & \ding{212} \; $3-5x \geq 0$ & $-5x \geq -3$ \\
      & & $x>-\dfrac{3}{2}$ & & & $x \leq \dfrac{3}{5}$ \\
      & & $\mathcal{S}=\;\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$. & & & $\mathcal{S}=\left]-\infty;\dfrac{3}{5}\right]$. \\
   \end{tabular}
\end{Ex}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Tableaux de signes}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Signe de $ax+b$}
Suivant le signe du coefficient directeur $a$, on obtient les tableaux de signes suivants :
\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      $a>0$\\
      \vspace{0.3cm}
      \begin{tabular}{|c|lcccr|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         variations & \psline{->}(0.5,0)(3.5,0.3) & & $0$ & & \\
         \hline
         signe de $\fbox{a}x+b$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\ 
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{center}
      $a<0$\\
      \vspace{0.3cm}
      \begin{tabular}{|c|lcccr|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         variations & \psline{<-}(3.5,0)(0.5,0.3) & & $0$ & & \\
         \hline
         signe de $\fbox{a}x+b$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\ 
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{multicols}

On utilise un \underline{tableau de signes} lorsque l'on veut résoudre une inéquations composée d'un \textbf{produit} ou d'un \textbf{quotient} de facteurs.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Inéquation produit} 

Soit l'inéquation $(2x-4)(-x-5) \leq 0$. On constuit le tableau de signes de la façon suivante :

\bigskip

\begin{minipage}{3cm}
   dans la première colonne, on met les différents facteurs de l'inéquation
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   on place en abscisses les solutions des équations \\
   \vspace*{0.3cm}
   \begin{tabular}{|c|lccC{1}ccr|} 
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $-5$ & & $2$ & & $+\infty$ \\ 
      \hline
      $\fbox{2}x-4$ & & $-$ & | & $-$ & $0$ & $+$ & \\
      \hline
      $\fbox{-}x-5$ & & $+$ & $0$ & $-$ & | & $-$ & \\
      \hline
      $(2x-4)(-x-5)$ & & $\ovalbox{-}$ & $0$ & $+$ & $0$ & $\ovalbox{-}$ & \\
      \hline
   \end{tabular}\\
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
   pour déterminer les colonnes, on résout les équations\\
   $2x-4=0 \Longleftrightarrow x=2$\\
   $-x-5=0 \Longleftrightarrow x=-5$
\end{minipage}

\bigskip

Enfin, on résout l'inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles   $$\mathcal{S}=\;]-\infty\;;-5\;] \cup [\;2\;;+\infty\;[.$$

\bigskip

\begin{Ex}
   Résoudre dans $\R$ l'inéquation $(2x-1)^2<(2x-1)(x-4)$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item
        
         \begin{tabular}[t]{l!{$\Longleftrightarrow$}l}
            $(2x-1)^2<(2x-1)(x-4)$ & $(2x-1)^2-(2x-1)(x-4)<0$ \\
                                            & $(2x-1)[(2x-1)-(x-4)]<0$ \\
                                            & $(2x-1)(x+3)<0$ \\
         \end{tabular}
      \item construction du tableau de signes : \\
         \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|lccC{1}ccr|} 
               \hline
               $x$ & $-\infty$ & & $-3$ & & $\frac{1}{2}$ & & $+\infty$ \\ 
               \hline
               $\fbox{2}x-1$ & & $-$ & | & $-$ & $0$ & $+$ & \\
               \hline
               $\fbox{1}x+3$ & & $-$ & $0$ & $+$ & | & $+$ & \\
               \hline
               $(2x-1)(x+3)$ & & $+$ & $0$ & $\ovalbox{-}$ & $0$ & $+$ & \\
               \hline
            \end{tabular}
            \hspace{0.25cm}
            \begin{tabular}{l}
               \\
               $\nearrow \qquad 2x-1=0 \Longleftrightarrow x=\frac12$ \\
               $\nearrow \qquad x+3=0 \Longleftrightarrow x=-3$\\
               \\
            \end{tabular}
         \end{center} \\
      \item Conclusion : on cherche les signes \og $-$ \fg{} dans la dernière ligne d'où : $\mathcal{S}=\left]-3\;;\;\dfrac{1}{2}\right[$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Inéquation quotient}

On souhaite par exemple résoudre l'inéquation $\dfrac{-2x+4}{x+3} \geq 0$.

La seule différence avec l'inéquation produit, c'est qu'il faut faire attention à la valeur interdite : la valeur pour laquelle le dénominateur est nul.\\
Dans le tableau de signes, cela se traduit par une double barre au niveau des valeurs interdites

\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|lccC{1}ccr|} 
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $-3$ & & $2$ & & $+\infty$ \\ 
      \hline
      $\fbox{-2}x+4$ & & $+$ & | & $+$ & $0$ & $-$ & \\
      \hline
      $\fbox{1}x+3$ & & $-$ & $0$ & $+$ & | & $+$ & \\
      \hline
      $\dfrac{-2x+4}{x+3}$ & & $-$ & || & $\ovalbox{+}$ & $0$ & $-$ & \\
      \hline
   \end{tabular}
   \hspace{0.25cm}
   \begin{tabular}{l}
      \\
      $\searrow \qquad -2x+4=0 \Longleftrightarrow x=2$ \\
      $\nearrow \qquad x+3=0 \Longleftrightarrow x=-3$\\
      \\
   \end{tabular}
\end{center}

Enfin, on résout l'inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles $$\mathcal{S}=~]\;3\;;\;2\;].$$

\smallskip

\begin{Ex}
   Résoudre l'inéquation $\dfrac{2x+3}{x-1} \leq \dfrac{4x}{2x-3}$. \\
   
   \begin{dinglist}{212}
      \item
      On commence par transformer l'expression de manière à n'avoir QUE des produits ou des quotient d'un côté, et un zéro de l'autre : \\
      \renewcommand{\arraystretch}{2.5} 
         \begin{tabular}[t]{l!{$\Longleftrightarrow$}l}
            $\dfrac{2x+3}{x-1} \leq \dfrac{4x}{2x-3}$ & $\dfrac{2x+3}{x-1}-\dfrac{4x}{2x-3} \leq 0$ \\
                    &  $\dfrac{(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)}{(x-1)(2x-3)} \leq 0$ \\
                    & $\dfrac{4x^2-9-4x^2+4x}{(x-1)(2x-3)} \leq 0$ \\
                    & $\dfrac{4x-9}{(x-1)(2x-3)} \leq 0$. \\
         \end{tabular} \\
      \item construction du tableau de signes : \\
      \renewcommand{\arraystretch}{1.8} 
         \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|lccC{0.8}cC{0.8}ccr|} 
               \hline
               $x$ & $-\infty$ & & $1$ & & $\frac32$ & & $\frac94$ & & $+\infty$ \\ 
               \hline
               $\fbox{4}x-9$ & & $-$ & | & $-$ & | & $-$ & $0$ & $+$ & \\
               \hline
               $\fbox{1}x-1$ & & $-$ & $0$ & $+$ & | & $+$ & | & $+$ & \\
               \hline
               $\fbox{2}x-3$ & & $-$ & | & $-$ & $0$ & $+$ & | & $+$ & \\
               \hline
               $\dfrac{4x-9}{(x-1)(2x-3)}$ & & $-$ & || & $+$ & || & $-$ & $\dfrac32$ & $+$ & \\
               \hline
            \end{tabular}
            \hspace{0.25cm}
            \begin{tabular}{l}
               \\
               $\nearrow \qquad 4x-9=0 \Longleftrightarrow x=\frac94$ \\
               $\nearrow \qquad x-1=0 \Longleftrightarrow x=1$ \\
               $\nearrow \qquad 2x-3=0 \Longleftrightarrow x=\frac32$ \\
               \\
   \end{tabular}
         \end{center}
      \item Conclusion : on cherche les solutions négatives ou nulles
      $$\mathcal{S}=~]-\infty\;;\;1\;[ \; \cup \left[\;\dfrac32\;;\;\dfrac94\;\right[.$$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Résolution graphique d'une inéquation}

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\begin{itemize}
   \item Les solutions de l'équation $f(x)<k$ [respectivement $f(x)>k$] sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous [respectivement au dessus] de la droite horizontale d'équation $y=k$.
   \item Les solutions de l'équation $f(x)<g(x)$ [respectivement $f(x)>g(x)$] sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés en dessous [respectivement au dessus] de $\mathcal{C}_g$.
\end{itemize}

\vspace{1cm}

\begin{Ex}
   On considère les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$. \\
   Résoudre graphiquement :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x) \geq 0$ \hspace{1.3cm} $\mathcal{S}=]-\infty~;-1~]\cup[~3~;+\infty~[$.
      \item $f(x)<5$ \hspace{1.3cm} $\mathcal{S}=]-2~;~4~[$.
      \item $f(x) \geq -4$ \hspace{1cm} $\mathcal{S}=\R$.
      \item $f(x)<-5$ \hspace{1cm} $\mathcal{S}=\varnothing$.
      \item $f(x) \leq g(x)$ \hspace{0.8cm} $\mathcal{S}=[~0~;~3~]$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,6)
   \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20](-3,-6)(5,-6)(5,2)
   \psaxes[ticksize=2pt]{->}(0,0)(-3,-6)(5,6)
   \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-3,-6)(5,6)
   \psplot[linecolor=red]{-2.15}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
   \psplot[linecolor=blue]{-3}{5}{3 -1 mul x add}
   \psline[linestyle=dashed](-3,-4)(5,-4)
   \psline[linestyle=dashed](-3,5)(5,5)
   \psline[linestyle=dashed](-3,-5)(5,-5)
   \rput(-2.5,4){\textcolor{red}{$\mathcal{C}_f$}}
   \rput(-2.5,-4.5){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_g$}}
   \rput(6,5){$y=5$}
   \rput(6,0){$y=0$}
   \rput(6,-4){$y=-4$}
   \rput(6,-5){$y=-5$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}