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\lhead[]{\small T^{ale} STI}
\chead[]{\textsc{Fonctions : rappels}}
\rhead[]{\small {$2008$/$2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\shadecolor{lightgray}
\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Rep}{(O;\V{i};\V{j})}
\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
%\newcommand{\Reel}{\mathfrak{Re}} 
%\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} 
%\renewcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert}
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 


\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{RAPPELS SUR LES FONCTIONS}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak



\section{Fonctions affines}

\subsection{Variations} %_____________________________

\begin{Def}
   $a$ et $b$ sont deux réels donnés. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est appelée \underline{fonction affine}, une équation de cette droite est $y=ax+b$ où :
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le réel $a$ est le coefficient directeur de cette droite.
      \item Le réel $b$ est l'ordonnée à l'origine.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si $a > 0$, $f$ est croissante sur $\R$.
      \item Si $a < 0$, $f$ est décroissante sur $\R$ .
      \item Si $a = 0$, $f$ est constante sur $\R$ .
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $f$ définie par $f(x)=3x+2$ est croissante.
      \item La fonction $f$ définie par $f(x)=-2x+3$ est décroissante.
      \item La fonction $f$ définie par $f(x)=5$ est constante.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Signe de $ax+b$}%______________________________

Suivant le signe du coefficient directeur $a$, on obtient lestableaux de signes suivants :
\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      $a>0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lcccr|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $ax+b$ & \psline{->}(0.5,0)(3.5,0.3) & $^-$ & $0$ & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{center}
      $a<0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lcccr|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         variations}& \psline{<-}(3.5,0)(0.5,0.3) & $+$ & $0$ & $^-$ & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{multicols}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

\subsection{Tableaux de signes}%_____________________________________

On utilise un \underline{tableau de signes} lorsque l'on veut résoudre une inéquations composée d'un \textbf{produit} ou d'un \textbf{quotient} de facteurs

Soit l'inéquation $(2x-4)(-x-5) \leq 0$. On constuit le tableau de signes de la façon suivante :

\smallskip

\begin{minipage}{3cm}
   dans la première colonne, on met les différents facteurs de l'inéquation
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   on place en abscisses les solutions des équations \\
   \vspace*{0.3cm}
   \begin{tabular}{|c|lccC{1}ccr|} 
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $-5$ & & $2$ & & $+\infty$ \\ 
      \hline
      $2x-4$ & & $-$ & | & $-$ & $0$ & $+$ & \\
      \hline
      $-x-5$ & & $+$ & $0$ & $-$ & | & $-$ & \\
      \hline
      $(2x-4)(-x-5)$ & & $-$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & \\
      \hline
   \end{tabular}\\
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
   pour déterminer les colonnes, on résout les équations\\
   $2x-4=0 \Longleftrightarrow x=2$\\
   $-x-5=0 \Longleftrightarrow x=-5$
\end{minipage}

\bigskip

Enfin, on résout l'inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles   $$\mathcal{S}=]-\infty;-5] \cup [\;2;+\infty[$$


\section{Fonctions de référence}

\subsection{Fonction carré} %________________________________________________

\begin{Prop}
   La fonction \underline{carré} définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$ de dérivée $f'(x)=2x$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
\end{Prop}

Tableau de variations :
\hspace*{2.5cm} 
   \begin{tabular}{|c|ccccc|}
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\
      \hline
      $f'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ &  \\
      \hline  
      & $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
      $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
      & & & $0$ & & \\
      \hline
   \end{tabular}

Dans un repère $\Rep$, la courbe représentative de la fonction carré est une \underline{parabole} de sommet $O$ qui admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction \underline{paire}.


\subsection{Fonction inverse} %____________________________

\begin{Prop}
    La fonction \underline{inverse} définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ de dérivée $f'(x)=-\dfrac1x$ est strictement décroissante sur $] \, -\infty \, ; \, 0 \, [$ et sur $] \, 0 \, ; \, +\infty \, [$.
\end{Prop}

Tableau de variations :
\hspace*{2cm} 
   \begin{tabular}{|c|ccc||ccc|}
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & \multicolumn{4}{c}{$0$} & $+\infty$ \\
      \hline
      $f'(x)$ & & $-$ & & $-$ & & \\
      \hline
      & $0$ & & & $+\infty$ & & \\
      $f$ & & $\searrow$ & & & $\searrow$ & \\
      & & & $-\infty$ & & & $0$ \\
      \hline
   \end{tabular}

Dans un repère $\Rep$, la courbe représentative de la fonction inverse est une \underline{hyperbole} qui admet l'origine $O$ du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction \underline{impaire}.


\subsection{Fonction cube}%__________________________

\bigskip

\begin{Prop}
   La fonction \underline{cube} définie sur $\R$ par  $f(x)=x^{3}$, de dérivée $f'(x)=3x^2$ est strictement croissante sur $\R$.
\end{Prop}

Tableau de variations :
      \hspace*{2cm}
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         $f'(x)$ & & & $+$ & & \\
         \hline
         & & & & & $+\infty$ \\
         & & & & $\nearrow$ & \\
         $f$ & & & $0$ & & \\
         & & $\nearrow$ & & & \\
         & $-\infty$ & & & & \\
         \hline
      \end{tabular}

La courbe de la fonction cube dans un repère orthogonal est une \underline{cubique}, cette fonction est \underline{impaire}.


\subsection{Fonction racine carrée} %______________________

\begin{Prop}
   La fonction \underline{racine carrée} définie sur $\R^+$ par  $f(x)=\sqrt{x}$, de dérivée $f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt x}$ est strictement croissante sur $[O;+\infty[$.
\end{Prop}

Tableau de variations :
   \hspace*{2cm}
      \begin{tabular}{|c|cccc|}
          \hline
          $x$ & $0$ & & & $+\infty$ \\
          \hline
          $f'(x)$ & & $+$ & & \\
          \hline
          & & & & $+\infty$ \\
          $f$ & & & $\nearrow$ & \\
          & $0$ & & & \\
          \hline
       \end{tabular}
   \end{center}

\subsection{Représentation graphique}

\begin{center}
   \psset{unit=0.7}
   \begin{pspicture}(-8,-7)(9,9)
      \psaxes{->}(0,0)(-8.2,-7.2)(9.2,9.2)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=10,gridlabels=0](-8,-7)(9,9)
      \psplot[linecolor=red]{-3}{3}{x x mul}
      \rput(4,8.5){\textcolor{red}{$f(x)=x^2$}}
      \psplot[linecolor=blue]{-8}{-0.14}{1 x div}
      \psplot[linecolor=blue]{0.11}{9}{1 x div}
      \rput(-7,0.5){\textcolor{blue}{$f(x)=\dfrac{1}{x}$}}
      \psplot[linecolor=green]{-1.95}{2.08}{x x mul x mul}
      \rput(-3,-5.5){\textcolor{green}{$f(x)=x^3$}}
      \psplot[linecolor=magenta]{0}{9}{x sqrt}
      \rput(7.9,3.3){\textcolor{magenta}{$f(x)=\sqrt{x}$}}
   \end{pspicture}
\end{center}


\section{Fonctions sinus et cosinus} %________________________

\subsection{Défintions} %_____________________________________

\begin{Def}
   Soit $x$ un réel, il lui correspond un unique point $M$ de $(\mathcal{C})$ tel que $x$ soit une mesure en radians de $(\widehat{\V{OA}, \V{OM}})$.
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le \underline{cosinus} de $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse de $M$ dans le repère $\Rep$.
      \item Le \underline{sinus} de $x$, noté $\sin x$, est l'ordonnée de $M$ dans le repère $\Rep$.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{minipage}{8cm}
   $cos x$ et $sin x$ sont donc respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point $M$ dans le repère $\Rep$\\
   On note : $M\Coor{\cos x}{\sin x}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}
      \psset{unit=2}
      \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
         \pscircle(0,0){1}
         \psline{-}(-1,0)(0,0)
         \psline{->}(0,0)(0,1)
         \psline{-}(0,-1)(0,0)
         \psline{->}(0,0)(1,0)
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{-}(0.5,0)(0.5,0.87)
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{-}(0,0.87)(0.5,0.87)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=red]{-}(0,0)(0.5,0.87)
         \psarc[linecolor=red]{->}(0,0){0.3}{0}{60}
         \rput(0.6,1.05){\textcolor{red}{$M$}}
         \rput(0.35,0.2){\textcolor{blue}{$x$}}
         \rput(0.5,-0.21){\textcolor{blue}{$\cos x$}}
         \rput(-0.23,0.75){\textcolor{blue}{$\sin x$}}
         \rput(-0.1,-0.1){$0$}
         \rput(-0.1,0.5){$\V{j}$}
         \rput(0.62,0.15){$\V{i}$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\cos^{2}x + \sin^{2}x=1$
      \item $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ \quad et \quad $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
   \end{dinglist}
\end{Prop}


\subsection{Valeurs remarquables}  %______________________

\begin{center}
   \begin{pspicture}(-2.5,-3.5)(3,3)
      \pscircle(0,0){3}
      \psline{-}(-3,0)(3,0)
      \psline{-}(0,-3)(0,3)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=blue](2.6,1.5)(-2.6,1.5)(-2.6,-1.5)(2.6,-1.5)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=red](2.1,2.1)(-2.1,2.1)(-2.1,-2.1)(2.1,-2.1)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=green](1.5,2.6)(-1.5,2.6)(-1.5,-2.6)(1.5,-2.6)
      \pspolygon(0,0)(1.5,2.6)(3,0)
      \rput(3.3,0){$0$}
      \rput(3,1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{\pi}{6}$}}
      \rput(2.4,2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{\pi}{4}$}}
      \rput(1.6,3.1){\textcolor{green}{$\dfrac{\pi}{3}$}}
      \rput(0,3.5){$\dfrac{\pi}{2}$}
      \rput(-3,1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{5\pi}{6}$}}
      \rput(-2.4,2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{3\pi}{4}$}}
      \rput(-1.6,3.1){\textcolor{green}{$\dfrac{2\pi}{3}$}}
      \rput(-3.5,0){$-\pi$}
      \rput(-3,-1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{7\pi}{6}$}}
      \rput(-2.4,-2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{5\pi}{4}$}}
      \rput(-1.7,-3.2){\textcolor{green}{$\dfrac{4\pi}{3}$}}
      \rput(0,-3.5){$\dfrac{3\pi}{2}$}
      \rput(3.1,-1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{11\pi}{6}$}}
      \rput(2.4,-2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{7\pi}{4}$}}
      \rput(1.7,-3.2){\textcolor{green}{$\dfrac{5\pi}{3}$}}
      \rput(1.5,0){$\frac{1}{2}$}
      \rput(2.1,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(2.6,0){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,0){$0$}
      \rput(-1.5,0){$-\frac{1}{2}$}
      \rput(-2.1,0){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(-2.6,0){$-\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,1.5){$\frac{1}{2}$}
      \rput(0,2.1){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(0,2.6){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,-1.5){$-\frac{1}{2}$}
      \rput(0,-2.1){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(0,-2.6){$-\frac{\sqrt{3}}{2}$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\renewcommand{\arraystretch}{2} 
\begin{center}
   \begin{tabular}{|*{7}{C{1.5}|}}
      \hline 
      $x$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\
      \hline 
      $\sin x$ & $0$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$ \\ 
      \hline 
      $\cos x$ & $1$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $0$ & $1$ \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center} 
\renewcommand{\arraystretch}{1} 


\subsection{Variations et courbe représentative} %____________________________

\subsubsection{Fonction sinus} %_______________________________________

\renewcommand{\arraystretch}{1} 
Tableau de variations sur l'intervalle $\Int{0}{\pi}$ de la fonction sinus et représentation graphique sur $\R$ :

\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|ccccr|}
      \hline
      $x$ & $0$ & & $\dfrac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\ [6pt]
      \hline
      & & & $1$ & & \\
      $\sin(x)$ & & \nearrow & & \searrow & \\ 
      & $0$ & & & & $0$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
   \psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-8,-2)(8,1.8)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-8,-2)(8,2) 
      \psaxes[labels=y]{->}(0,0)(-8,-1.9)(8,2)
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=red]{-8}{-3.14}{x 90 mul 1.57 div sin} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linecolor=red]{-3.14}{3.14}{x 90 mul 1.57 div sin} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=red]{3.14}{8}{x 90 mul 1.57 div sin} 
      \rput(1.57,-0.6){\large $\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(1.57,-0.1)(1.57,0.1)
      \rput(3.15,-0.5){\large $\pi$}
      \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)
      \rput(-1.57,0.6){\large $-\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(-1.57,-0.1)(-1.57,0.1)
      \rput(-3.1,0.5){\large $-\pi$}
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      \rput(-6.3,0.5){\large $-2\pi$}
      \psline(-6.3,-0.1)(-6.3,0.1)
      \rput(6.4,-0.5){\large $-2\pi$}
      \psline(6.3,-0.1)(6.3,0.1)
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      \psline{<->}(-3.14,-1.5)(3.14,-1.5)
      \psline[linestyle=dashed](-3.14,-1.5)(-3.14,0)
      \psline[linestyle=dashed](3.14,-1.5)(3.14,0)
      \rput(0,-1.9){\Large $2\pi$}
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
   \end{pspicture} 
\end{center}


\subsubsection{Fonction cosinus} %_______________________________________________

Tableau de variations sur l'intervalle $\Int{0}{\pi}$ de la fonction cosinus et représentation graphique su $\R$ :

\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|ccccc|}
      \hline
      $x$ & $0$ & & $\dfrac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\ [8pt]
      \hline
      & $1$ \psline{->}(0,0)(2,-0.6) & & & & \\
      $\cos x$ & & & $0$ & & \\ 
      & & & & & $-1$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}


\begin{center}
   \psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-8,-1.8)(8,1.8)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-8,-2)(8,2) 
      \psaxes[labels=y]{->}(0,0)(-8,-1.9)(8,2)
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=blue]{-8}{-3.14}{x 90 mul 1.57 div cos} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linecolor=blue]{-3.14}{3.14}{x 90 mul 1.57 div cos} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=blue]{3.14}{8}{x 90 mul 1.57 div cos} 
      \rput(1.57,-0.6){\large $\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(1.57,-0.1)(1.57,0.1)
      \rput(3.15,-0.5){\large $\pi$}
      \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)
      \rput(-1.5,-0.6){\large $-\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(-1.57,-0.1)(-1.57,0.1)
      \rput(-3.1,0.6){\large $-\pi$}
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      \rput(-6.3,-0.5){\large $-2\pi$}
      \psline(-6.3,-0.1)(-6.3,0.1)
      \rput(6.4,-0.5){\large $-2\pi$}
      \psline(6.3,-0.1)(6.3,0.1)
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      \psline{<->}(-3.14,-1.5)(3.14,-1.5)
      \psline[linestyle=dashed](-3.14,-1.5)(-3.14,-1)
      \psline[linestyle=dashed](3.14,-1.5)(3.14,-1)
      \rput(0,-1.9){\Large $2\pi$}
   \end{pspicture} 
\end{center}

\subsection{Dérivation}

\begin{Prop}
  Les deux fonctions sont définies et dérivables sur $\R$ et pour toute fonction $u$ dérivable sur $I$, on a :
  \begin{dinglist}{169}
     \item $\cos'(u)=-u'\sin(u)$ \qquad en particulier $\cos'(x)=-\sin(x)$.
     \item $\sin'(u)=u'\cos(u)$ \qquad et en particulier $\sin'(x)=\cos(x)$.
  \end{dinglist}
\end{Prop}


\subsection{Equations trigonométriques} %_____________________

\begin{Prop}
   Soit $\alpha$ une réel fixé, alors l'équation :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\sin x =\sin \alpha$ a pour solutions $x=\alpha+2k\pi$ et $x=\pi-\alpha+2k\pi$, $k \in \Z$.
      \item $\cos x =\cos \alpha$ a pour solutions $x=\alpha+2k\pi$ et $x=-\alpha+2k\pi$, $k \in \Z$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      \psset{unit=1.8cm} 
      \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1.1)
         \pscircle(0,0){1}
         \psline{-}(-1,0)(1,0)
         \psline{-}(0,-1)(0,1)
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{-}(-0.5,0.87)(0.5,0.87)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=red]{-}(0,0)(0.5,0.87)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=red]{-}(0,0)(-0.5,0.87)
         \psarc{->}(0,0){0.3}{0}{60}
         \rput(0.4,0.2){\textcolor{red}{$\alpha$}}
         \psarc{<-}(0,0){0.3}{120}{180}
         \rput(0.8,1){\textcolor{red}{$\alpha+k\,2\pi$}}
         \rput(-1,1){\textcolor{red}{$\pi-\alpha+k\,2\pi$}}
         \rput(0,0.75){$\sin x$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
   \begin{center}
      \psset{unit=1.8cm} 
      \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1.1)
         \pscircle(0,0){1}
         \psline{-}(-1,0)(1,0)
         \psline{-}(0,-1)(0,1)
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{-}(0.5,-0.87)(0.5,0.87)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{-}(0,0)(0.5,0.87)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{-}(0,0)(0.5,-0.87)
         \psarc{->}(0,0){0.3}{0}{60}
         \psarc{<-}(0,0){0.3}{300}{360}
         \rput(0.35,0.2){\textcolor{blue}{$\alpha$}}
         \rput(0.9,1){\textcolor{blue}{$\alpha+k\,2\pi$}}
         \rput(0.9,-1){\textcolor{blue}{$- \alpha+k\,2\pi$}}
         \rput(0.6,0.1){$\cos x$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{multicols}

\begin{Ex}
   Résolution d'équations trigonométriques :
   \begin{multicols}{2}
      \begin{dinglist}{212}
         \item $\cos(x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
         \item $\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
         \item $\sin(x)=\sin \left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$
         \item $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$
      \end{dinglist}
      \begin{itemize}
         \item $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\right\}$.
         \item $S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\right\}$.
         \item $S=\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, -\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\right\}$.
         \item $S=\left\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\right\}$.
      \end{itemize}
   \end{multicols}
\end{Ex}


\section{Fonction polynôme}
 %_____________________________________________

\subsection{Fonction polynôme de degré $n$} %______________________________

\begin{Def}
   On appelle \underline{fonction polynôme de degré $n$} toute fonction $P$ définie sur $\R$ de la forme :
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_px^p+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$$
   \begin{dinglist}{228}
      \item $a_0$, $a_1$, \dots,  $a_n$ sont appelés \underline{coefficients} de $P$.
      \item Le terme $a_px^p$ un le \underline{monôme} de degré $p$ .
      \item $n=deg(P)$.
   \end{dinglist}
\end{Def}
	
\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $P$ définie par $P(x)=7x^6-5x^4+3x-11$ est une fonction polynôme de degré $6$.
      \item La fonction affine  $ax+b$ avec $a\neq0$ est une fonction polynôme de degré $1$.
      \item La fonction constante $k$ avec $k\neq0$ est une fonction polynôme de degré $0$.
      \item La fonction $Q$ définie par : $Q(x)=x^3+x+\dfrac{1}{x}$ n'est pas une fonction polynôme.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   Soient $P$ et $Q$ des fonctions polynômes non nulles, alors :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)$.
      \item $deg(P+Q)\leq max[\;deg(P)\;;\;deg(Q)\;]$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   L'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler.
\end{Rem}


\subsection{Egalité de deux polynômes} %_____________________________

\begin{Th}
   Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes, $P=Q$ signifie que : 
   \begin{dinglist}{227}
      \item $deg(P)=deg(Q)$,
      \item les coefficients des termes de même degré de $P$ et $Q$ sont égaux.
   \end{dinglist}
\end{Th}

\textbf{Cas particulier :} $P=0$ est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nuls.

\bigskip

\begin{Ex}
  Les polynômes $P(x)=2x^2-3x+4$ et $R(x)=ax^2+bx+c$ sont égaux pour \quad $a=2$ \quad $b=-3$ \quad $c=4$.
\end{Ex}


\subsection{Racine d'un polynôme} %____________________

\begin{Def}
   On appelle \underline{racine} d'une fonction polynôme $P$ toute solution $x_0$ de l’équation $P(x)=0$
\end{Def}

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Les racines de la fonction polynôme $P$ définie sur $\R$ par : $P(x)=(x-1)(x+3)(x-2 )$ sont $-3$, $1$ et $2$
      \item Les fonctions polynômes du $1^{er}$ degré $ax+b$ admettent toutes une seule racine $x_0=-\dfrac{b}{a}$
      \item Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple $x^2+1$ qui est strictement positif
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Factorisation} %_________________________________________________

\begin{Th}
   Si une fonction polynôme $P$ à coefficients réels de degré $n$ a une racine réelle $x_0$ alors on peut factoriser $P(x)$ par $(x-x_0)$ et on obtient
 $$P(x)=(x-x_0)Q(x) \text{ ou } Q \text{ est une fonction polynôme de degré } (n-1).$$
\end{Th}

\begin{Rem}
   On peut essayer de remplacer la variable $x$ par $1$, $-1$, $0\dots$ et si la valeur du polynôme est $0$, on dit qu’on a trouvé une « racine évidente ».
\end{Rem}


\subsection{Identification des coefficients} %_________________________

On considère le polynôme $f$ défini par : $f(x) = 3x^4-x^3+x^2+11x+ 6$.

Une solution évidente est $x_0=-1$\\.
donc, il existe un polynôme $g$ de degré $4-1=3$  tel que pour tout réel $x$ :\\
\begin{tabular}{l!{$=$}l}
   $f(x)$ & $(x+1)g(x)$ \\ 
   & $(x+1)(ax^3+bx^2+cx+d)$ \\
   & $ax^4+bx^3+cx^2+dx+ax^3+bx^2+cx+d$ \\
   & $ax^4+(b+a)x^3+(c+b)x^2+(d+c)x+d$ \\
\end{tabular}

Les polynômes $3x^4-x^3+x^2+11x+ 6$ et $ax^4+(b+a)x^3+(c+b)x^2+(d+c)x+d$ sont égaux, leurs coefficients le sont aussi :

$\left\{\begin{array}{ccc} a & = & 3 \\ b+a & = & -1 \\ c+b & = & 1 \\ d+c & = & 11 \\ d & = & 6 \\}\end{array}\right.$
\qquad donc : \qquad $\left\{\begin{array}{ccc} a & = & 3 \\ b & = & -4 \\ c & = & 5 \\ d & = & 6\\}\end{array}\right.$

Conclusion : \fbox{$f(x)=(x+1)(3x^3-4x^2+5x+6)$}



\section{Second degré} %___________________________
	
\begin{Th}
   Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$.
   \begin{dinglist}{227}
      \item $\Delta<0$ : l’équation n'a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser.
      \item $\Delta=0$ : l’équation a une solution double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$. \\
              \hspace*{0.2cm} le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_0)^2$.
      \item $\Delta>0$ : l’équation possède $2$ solutions réelles : $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. \\
              \hspace*{0.2cm} le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
   \end{dinglist}
\end{Th}	

\smallskip
	
\begin{Ex}
Soit l'équation $-6x^2+x+1=0$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times(-6)\times1=25$.
      \item Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
              \hspace*{0.3cm} \begin{multicols}{2}
                 \hspace*{0.3cm} $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-5}{-12}=\dfrac{1}{2}$ \\
                   $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+5}{-12}=-\dfrac{1}{3}$.
              \hspace*{0.3cm} \end{multicols}
      \item $S= \left\{-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}\right\}$ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=-6\left(x+\dfrac{1}{3}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.
   \end{dinglist}
   
Soit l'équation $-6x^2+x+1=0$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item  $\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times5\times2=-4$.
      \item Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution réelle.
      \item $S= \varnothing$ et $P$ ne se factorise pas.
   \end{dinglist}
   
Soit l'équation $2x^2+5x+\dfrac{25}{8}=0$.
   \begin{dinglist}{212}    
      \item $\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times2\times\dfrac{25}{8}=0$.
      \item Le discriminant est nul, il y a une solution double : $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{4}$.
      \item $S= \left\{-\dfrac{5}{4}\right\}$ et la forme factorisée de $P$ est : $P(x)=2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\begin{Th}
   Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ sauf entre ses racines lorsqu’elles existent.
\end{Th}

\smallskip

\begin{Ex}
$f(x)=-6x^2+x+1$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le discrimiant est positif, $f$ est du signe de $a=-6$, donc négative sauf entre ses racines $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$.
   \end{dinglist}
$f(x)=5x^2+6x+2=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le discrimiant est négatif, $f$ est du signe de $a=5$, donc positive sur $\R$.
   \end{dinglist}
$f(x)=2x^2+5x+\dfrac{25}{8}=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le discrimiant est nul, $f$ est du signe de $a=2$, donc positive sur $\R$ et nulle en $x_0=-\dfrac{5}{4}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\end{document}