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\lhead[]{\small T^{ale} STI}
\chead[]{\textsc{Probabilités}}
\rhead[]{\small {$2008$/$2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
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\def\R{{\mathbb R}}
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\theoremstyle{break}
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\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{PROBABILIT\'ES}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace*{7cm}

On fait remonter à la correspondance de $1964$ entre Pascal et Fermat, sur un problème de jeu de hasard, l'acte de naissance du calcul des probabilités.

Après trois siècles de recherche, le calcul des probabilités a pu fournir, au début du $XX^{e}$ siècle, les bases théoriques nécessaires au développement de la statistique et a investi de très nombreux domaines de la vie scientifique, économique et sociale.


\pagebreak

Le but des probabilités est d'essayer de rationaliser le hasard : quelles sont les chances d'obtenir un résultat suite à une expérience aléatoire ?

Quelles chances ai-je d'obtenir "pile" en lançant une pièce de monnaie ? Quelles chances ai-je d'obtenir "$6$" en lançant un dé ? Quelles chances ai-je de valider la grille gagnante du loto ?

\vspace{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Rappels : Vocabulaire des événements} %___________

\subsection{Vocabulaire}%_______________________________________________________________

\begin{Def}
   Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé \underline{éventualité} liée à l'expérience aléatoire.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Lancer un dé à six faces : "obtenir $2$" est une éventualité de cette expérience aléatoire.
      \item Tirage des six numéros gagnants du Loto : "obtenir la combinaison $2-5-17-23-36-41$" est une éventualité.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\medskip

\begin{Def}
   L'ensemble formé par les éventualités est appelé \underline{univers}, il est très souvent noté $\Omega$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Lancer d'une pièce de monnaie : $\Omega=\{$pile;face$\}$.
      \item Lancer un dé à six faces : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\medskip

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Un \underline{événement} d'une expérience aléatoire est une partie quelconque de l'univers,
      \item Un événement ne comprenant qu'une seule éventualité est un \underline{événement élémentaire}.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Lors du lancer d'un dé à $6$ faces :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $A=$ "obtenir un $5$" est un événement élémentaire que l'on peut noter $A=\{5\}$,
      \item $B=$ "obtenir un numéro pair" est un événement que l'on peut noter $B=\{2;4;6\}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\pagebreak

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item L'événement qui ne contient aucune éventualité est l'\underline{événement impossible}, noté $\varnothing$,
      \item L'événement composé de toutes les éventualités est appelé \underline{événement certain}.
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Tirage des six numéros gagnants du loto : "obtenir la combinaison $3-25-38-59-67-91$" est un événement impossible (les numéros vont de $1$ à $49$).
      \item Lancer d'un dé à six faces : "obtenir un nombre positif" est un événement certain.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Def}
   Pour tout événement $A$ il existe un événement noté $\overline{A}$ et appelé \underline{événement contraire} de $A$, qui est composé des éléments de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.\\
   On a en particulier $A\cup\overline{A}=\Omega$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Lancer d'une pièce de monnaie : si $A=\{\text{pile}\}$ alors son événement contraire est $\overline{A}=\{\text{face}\}$.
      \item Lancer d'un dé à six faces : si $A$ est l'événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$", alors son événement contraire $\overline{A}$ est l'événement "obtenir $5$ ou $6$".
   \end{dinglist}
\end{Ex}

Dans toute la suite du cours, on suppose que $\Omega$ est l'univers associé à une expérience aléatoire, et $A$ et $B$ deux événements associés à cet univers.


\subsection{Intersection et réunion d'événements} %_______

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item \underline{Intersection d'événements} : événement constitué des éventualités appartenant à $A$ et à $B$ noté $A\cap B$ (se lit "$A$ inter $B$" ou "$A$ et $B$"),
      \item \underline{Réunion d'événements} : événement constitué des éventualités appartenant à $A$ ou à $B$ noté $A\cup B$ (se lit "$A$ union $B$" ou "$A$ ou $B$").
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Rem}
   Si $A\cap B=\varnothing$, on dit que les événements sont \underline{disjoints} ou \underline{incompatibles}.
\end{Rem}

\begin{Ex}
   On considère l'ensemble des chiffres.\\
   On note $A$ l'événement "obtenir un chiffre pair" et $B$ l'événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six"
  \begin{dinglist}{212}
     \item $A \cap B=$ "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : $A \cap B=\{2;4\}$,
     \item $A \cup B=$ "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : $A \cup B=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}$.
  \end{dinglist}
\end{Ex}

\subsection{Représentation des évenements} %____________

\textbf{Diagrammes ou patates}

\begin{pspicture}(15,4)
   \psellipse(3,2)(2,1.2)
   \psellipse(6,2)(2.2,1.4)
   \rput(4.4,2){$A \cap B$}
   \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](12,2)(2,1.2)
   \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](15,2)(2.2,1.4)
   \rput(13.4,2){$A \cup B$}
\end{pspicture}


\textbf{Tableaux}

\begin{minipage}{8cm}
   On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu :
\end{minipage}
\hspace{3cm}
\begin{minipage}{5cm}
   \begin{tabular}{|*{5}{C{0.5}|}}
       \hline 
      & \textbf{1} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} \\ 
      \hline
      \textbf{1} & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
      \hline
      \textbf{2} & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ \\ 
      \hline 
      \textbf{3} & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ \\ 
      \hline 
      \textbf{4} & $4$& $8$ & $12$ & $16$ \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{minipage}


\textbf{Arbres}

\begin{minipage}{8cm}
   On lance une pièce de monnaie deux fois, on peut schématiser cette expérience par un arbre :
\end{minipage}
\hspace{3cm}
\begin{minipage}{5cm}
   \pstree[treemode=R]{{\Tc*{1mm}}}
     {\pstree{\Tr{pile}}
        {\Tr{pile} \Tr{face}}
      \pstree{\Tr{face}}
        {\Tr{pile} \Tr{face}}}             
\end{minipage}

\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Rappels : Calcul de probabilités} %_______

\begin{Def}
   La \underline{probabilité} d'un événement d'univers $\Omega$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constitue.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Def}
   On dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. \\
   Dans ce cas, on a : $P(A)=\dfrac{\textrm{nombre d'éléments de }A}{\textrm{nombre d'éléments de }\Omega}=\dfrac{\textrm{Card}(A)}{\textrm{Card}(\Omega)}$.
\end{Def}

\pagebreak

\begin{Rem}
  Dans un exercice, pour signifier qu'on est dans une situation d'équiprobabilité on a généralement dans l'énoncé un expression du type :
  \begin{itemize}
     \item on lance un dé \underline{non pipé},
     \item dans une urne, il y a des boules \underline{indiscernables} au toucher,
     \item on rencontre au \underline{hasard} une personne parmi \dots
  \end{itemize}
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
  On lance un dé équilibré à six faces. On considère l'événement $A$ : "obtenir un chiffre pair" et l'événement $B$ : "obtenir un diviseur de six".
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le dé est équilibré, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
      \item $A=\{2;4;6\}$ et $B=\{1;2;3;6\}$,
      \item donc, $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$,
      \item et $P(B)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
  Soit $A$ et $B$ deux événements, on a les propriétés suivantes :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $P(\varnothing)=0$.
      \item $P(\Omega)=1$.
      \item $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)$.
      \item $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère l'ensemble $E$ des entiers de $1$ à $20$. On choisit l'un de ces nombres au hasard. \\
   $A$ est l'événement : « le nombre est multiple de $3$ » :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $A=\{3;6;9;12;15;18\}$,
   \end{dinglist}
   $B$ est l'événement : « le nombre est multiple de $2$ » :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $B=\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\}$,
   \end{dinglist}
   Calul des probabilités :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $P(A)=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}=0,3$.
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}=0,7$.
      \item $P(B)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0,5$.
      \item $P(A \cap B)=\dfrac{3}{20}=0,15$.
      \item $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{6}{20}+\dfrac{10}{20}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{13}{20}=0,65$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Variable aléatoire}%______________________________

\subsection{Notion de variable aléatoire} %___________

\begin{Def}
   Une grandeur numérique $X$ prenant, lors d'une expérience aléatoire, des valeurs $x_1, x_2, ..., x_n$ avec des probabilités $p_1, p_2, ..., p_n$ est une \underline{variable aléatoire}.
\end{Def}


\begin{Ex}
   Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à $6$ faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face obtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé.\\
On appelle $X$ le gain, positif ou négatif, du joueur après un lancer.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Ici, l'ensemble des issues possibles est $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$,
      \item on a défini avec $X$ une variable aléatoire réelle telle que :\\    
       \hspace*{0,3cm} $X(1)=-2$, $X(2)=4$, $X(3)=-6$, $X(4)=8$, $X(5)=-10$ et $X(6)=12$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}



\subsection{Loi d'une variable aléatoire} %____________

\begin{Def}
   La \underline{loi de probabilité} de la variable aléatoire $X$ est la fonction $f$ qui a chaque valeur associe sa probabilité.
\end{Def}

\begin{Rem}
   En général, on présente la loi d'une variable aléatoire $X$ sous la forme d'un tableau, qui récapitule les valeurs prises par $X$ ainsi que les probabilités associées :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{4}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|}
   \hline
   Valeurs de $X : x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & ... & $x_n$ \\
   \hline
   Probabilité : $p(X=x_i)$ & $p_1$ & $p_2$ & $p_3$ & ... & $p_n$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   On reprend l'énoncé de l'exemple précédent. La loi de $X$ est donnée par :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|}
   \hline
   $x_i$ & $-10$ & $-6$ & $-2$ & $4$ & $8$ & $12$ \\
   \hline
   $p(X=x_i)$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   On dispose d'un jeu de $32$ cartes. On tire une carte dans ce jeu, et on attribue à ce tirage la valeur $X$ calculée suivant la règle suivante :
   \begin{dinglist}{212}
      \item si la carte est un Roi, $X$ vaut $4$ points,
      \item si la carte est une Dame, $X$ vaut $3$ points,
      \item si la carte est un Valet, $X$ vaut $1$ point,
      \item toutes les autres cartes valent $0$ point.
   \end{dinglist}
   La loi de $X$ est donnée par :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|}
   \hline
   $x_i$ & $0$ & $1$ & $3$ & $4$ \\
   \hline
   $p(X=x_i)$ & $\frac58$ & $\frac18$ & $\frac18$ & $\frac18$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait $1$, en accord avec l'un des axiomes des probabilités !
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction de répartition d'une variable aléatoire}%_______

\begin{Def}
   La \underline{fonction de répartition} de la variable aléatoire $X$ est la fonction :
   $$\begin{array}{rcl} F : \quad \R & \rightarrow & [\;0\,;\,1\,] \\ x & \mapsto & F(x)=p(X \leq x). \end{array}$$
\end{Def}

\begin{Ex}
   Soit $X$ la variable aléatoire dont la loi est donnée par :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|C{0.8}|}
   \hline
   $x_i$ & $-4$ & $-2$ & $1$ & $5$ \\
   \hline
   $P(X=x_i)$ & $0,1$ & $0,3$ & $0,5$ & $0,1$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction de répartition $F$ de $X$ est définie sur $\R$ par :
      $$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
      0 & \mbox{ si } t\in ]-\infty;-4[ \\
      0,1 & \mbox{ si } t\in [-4;-2[ \\
      0,4 & \mbox{ si } t\in [-2;1[ \\
      0,9 & \mbox{ si } t\in [1;5[ \\
      1 & \mbox{ si } t\in [5;+\infty[. \\
      \end{array}\right.$$\\
      \item  La fonction de répartition $F$ de $X$ admet la représentation graphique ci-dessous :
   \end{dinglist}
   \begin{center}
   \psset{yunit=3}
   \begin{pspicture}(-8,0)(9,1)
      \psgrid[subgriddiv=5,griddots=10,gridlabels=0](-8,0)(9,1)
      \psaxes(0,0)(-8,0)(9,1)
      \psline[linecolor=red]{-[}(-8,0)(-4,0)
      \psline[linecolor=red]{*-[}(-4,0.1)(-2,0.1)    
      \psline[linecolor=red]{*-[}(-2,0.4)(1,0.4)
      \psline[linecolor=red]{*-[}(1,0.9)(5,0.9)
      \psline[linecolor=red]{*-}(5,1)(9,1)
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{Ex}

\bigskip

Le théorème suivant permet de tracer en pratique la fonction de répartition d'une variable aléatoire \\
(discrète et finie) :

\begin{Prop}  
   La fonction de répartition $F$ de $X$ est une fonction définie sur $\R$ qui a les propriétés suivantes :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $F$ est croissante sur $\R$,
      \item $\lim_{x \rightarrow -\infty} F(t)=0$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} F(t)=1$,
      \item $F$ est constante par morceaux,
      \item la courbe représentative de $F$ présente des "sauts" (est discontinue) aux points dont les abscisses sont des valeurs $x_i$ de $X$, la hauteur des sauts étant la probabilité $p_i$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Espérance d'une variable aléatoire}%___________

\begin{Def}
   Soit $X$ une variable aléatoire de loi :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|}
   \hline
   $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & ... & $x_n$ \\
   \hline
   $p(X=x_i)$ & $p_1$ & $p_2$ & $p_3$ & ... & $p_n$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
On appelle \underline{espérance} de la variable aléatoire $X$ le réel noté $E(X)$ qui vaut :
$$E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i.$$
\end{Def}

\begin{Rem}
Ce nombre important en probabilités représente la valeur moyenne de la variable aléatoire $X$. 
\end{Rem}

\begin{Ex}
   On reprend le jeu de cartes étudié précédemment.\\
   On rappelle que la loi de $X$ est donnée par :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|}
   \hline
   $x_i$ & $0$ & $1$ & $3$ & $4$ \\
   \hline
   $p(X=x_i)$ & $\frac58$ & $\frac18$ & $\frac18$ & $\frac18$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   D'où le calcul de l'espérance :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $E(X)=0\times \dfrac58+1\times \dfrac18 +3\times\dfrac18+4\times\dfrac18$
      \item $E(X)=\dfrac{8}{8}=1$.
      \item Concretement, cela signifie "qu'en moyenne", le joueur gagne $1$ point.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Variance et écart-type d'une variable aléatoire}

\begin{Def}
   Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de loi :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|C{0.7}|}
   \hline
   $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & ... & $x_n$ \\
   \hline
   $p(X=x_i)$ & $p_1$ & $p_2$ & $p_3$ & ... & $p_n$ \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{dinglist}{228}
      \item On appelle \underline{variance} de la variable aléatoire $X$ le réel noté $V(X)$ qui vaut :
      $$V(X)=p_1[x_1-E(X)]^2+p_2[x_2-E(X)]^2+...+p_n[x_n-E(X)]^2=\sum_{i=1}^n p_i[x_i-E(X)]^2.$$
      \item On appelle \underline{écart-type} de $X$ le réel noté $\sigma(X)$ défini par    :      
      $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$$
   \end{dinglist}
\end{Def}

\begin{Ex}
   Calcul de la variance pour le jeu de cartes :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $V(X)=\dfrac58[0-1]^2+\dfrac18[1-1]^2+ \dfrac18[3-1]^2+\dfrac18[4-1]^2$
      \item $V(X)=\dfrac58+0+\dfrac48+\dfrac98=\dfrac94=2,25$.   
   \end{dinglist}
   D'où l'écart-type :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\sigma_x=\sqrt{\dfrac94}=\sigma_x=\dfrac32=1,5$.    
   \end{dinglist}
\end{Ex}

Le théorème suivant permet un calcul plus facile de la variance :

\begin{Th}[De K\oe nig]
   $$V(X) = p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-E^2(X)=\sum_{i=1}^n(p_ix_i)-E^2(X).$$
\end{Th}

\smallskip

\begin{Ex}
   Autre méthode de calcul de la variance pour le jeu de cartes :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $V(X)=\dfrac58\times 0^2+\dfrac18\times 1^2+ \dfrac18\times 3^2+\dfrac18\times 4^2-1^2$
      \item $V(X)=0+\dfrac18+\dfrac98+\dfrac{16}{8}-1=V(X)=\dfrac94=2,25$.   
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Prop}
   \begin{dinglist}{169}
      \item La variance et l'écart-type d'une variable aléatoire réelle $X$ sont des nombres positifs.
      \item L'écart-type mesure la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire par rapport à son espérance.
      \item Si $X$ est exprimé dans un certaine unité, $\sigma_X$ l'est dans la même unité.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\textcolor{blue}{
\begin{Exo}
Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.\\
   L'urne U$_{1}$ contient trois boules rouges notées $R_{1},~ R_{2},~ R_{3}$ et deux boules jaunes notées $J_{1}$, $J_{2}$.\\
   L'urne U$_{2}$ contient quatre boules bleues notées $B_{1},~ B_{2},~ B_{3},~ B_{4}$ et une boule verte $V$.\\
   Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser $3$ \textgreek{\euro}. Il tire ensuite au hasard une boule dans U$_{1}$, puis une boule dans U$_{2}$. Les boules sont indiscernables au toucher. \\
   On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.
   \begin{enumerate}
      \item  \`A l'aide d'un tableau ou d'un arbre montrer qu'il y a $25$ couples de boules possibles.
      \item  Une boule rouge fait gagner $2$ \textgreek{\euro}. Une boule jaune fait gagner $3$ \textgreek{\euro}. Une boule bleue fait gagner $1$ \textgreek{\euro}. La boule verte fait gagner $5$ \textgreek{\euro}. \`A chaque tirage de $2$ boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en tenant compte de la mise de $3$ \textgreek{\euro}, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de $4$ \textgreek{\euro}.
      \begin{enumerate}
         \item  Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
		 \item  Démontrer que $P(\text{X}=5)=\dfrac{2}{25}$.
		 \item  Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
		 \item  Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement $1$ \textgreek{\euro} ?
	  \end{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
	     \item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 
		 \item Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.
      \end{enumerate}		
   \end{enumerate}
\end{Exo}}

\end{document}
