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\lhead[]{\small T^{ale}~STI}
\chead[]{\textsc{Limites}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
%\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\shadecolor{lightgray}
\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE}

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\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
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%\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 


\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{Limites}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 





\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Langage des limites}

\subsection{Limite d'une fonction en un point $a$}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel ou une borne de $I$.\\
   Lorsque le réel $x$ s'approche de $a$, si les nombres $f(x)$ deviennet de plus en plus
   \begin{dinglist}{228}
      \item proches d'un réel $l$, on dit que $f$ à pour limite $l$ en $a$ et on note $\lim\limits_{x\to a}f(x)=l$ .
      \item grands, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ et on note $\lim \limits_{x\to a}f(x)=+\infty$. 
      \item grands en valeur absolue et négatifs, on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $a$ et on note $\lim\limits _{x\to a}f(x)=-\infty$. 
   \end{dinglist} 
Dans le cas où la limite en $a$ vaut $\pm\infty$, on dit que la droite d'équation $x=a$ est une \underline{asymptote verticale} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   "Visualisation" de limites en un point : \\  
    
   \begin{minipage}{6cm}
      $f(x)=\sqrt{x+3}+1$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-3}{4}{1 3 x add sqrt add}
            \psdot[linecolor=blue](-3,1)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -3}f(x)=1$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      $f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-2,-1)(6,7)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2}{1.62}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psplot[linecolor=red]{2.38}{6}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](2,-1)(2,7)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=+\infty$ \\
      La courbe admet une asympyote verticale d'équation $x=2$.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}   
         \begin{pspicture}(-6,-6)(1,2)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psplot[linecolor=red]{-6}{-2.17}{1 2 x add div}
            \psplot[linecolor=red]{-1.5}{1}{1 2 x add div}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-2,2)(-2,-6)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -2^-}f(x)=-\infty$ \\
      La courbe admet une asympyote verticale d'équation $x=-2$.
   \end{minipage}
\end{Ex}

\bigskip

\begin{Rem}
   Certaines fonctions n'admettent pas de limite en $a$.\\ 
   Par exemple, la fonction $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ définie sur $\R^*$ n'admet pas de limite en $0$ :\\
   \begin{itemize}
      \item sur $\R^*_-$, $f(x)=\dfrac{-x}{x}=-1$ donc, $\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-1$,
      \item sur $\R^*_+$, $f(x)=\dfrac{x}{x}=1$ donc, $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+1$.
   \end{itemize}
\end{Rem}

\pagebreak

\subsection{Limite d'une fonction en l'infini}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie au moins sur $[a;+\infty[$. Lorsque le réel $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes vers $+\infty$, si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus
   \begin{dinglist}{228}
      \item proches d'un réel $l$, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ et on note $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=l$.
      \item grands, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ et on note $\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. 
      \item  grands en valeur absolue et négatifs, on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ et on note \\    \hspace*{0.3cm} $\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$. 
   \end{dinglist} 
Dans le cas où la limite en $+\infty$ est $l$, on dit que la droite d'équation $y=l$ est une \underline{asymptote horizontale} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
\end{Def}

\begin{Ex}
   "Visualisation" de limites en $+\infty$ : \\ 
     
   \begin{minipage}{6cm}
      $f(x)=\dfrac{1}{x+3}+2$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.8}{4}{2 1 3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{-3.32}{2 1 3 x add div add}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-4,2)(4,2)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=2$ \\
      La courbe admet une asympyote horizontale d'équation $y=2$.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      $f(x)=x^2$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      $f(x)=1-x^2$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}   
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   Certaines fonctions n'admettent pas de limite  en l'infini : par exemple les fonctions cosinus et sinus.
\end{Rem}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie au moins sur $]-\infty;a]$. Lorsque le réel $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue et négatives vers $-\infty$, si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus
   \begin{dinglist}{228}
      \item proches d'un réel $l$, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $-\infty$ et on note $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=l$ .
      \item grands, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ et on note $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. 
      \item grands en valeur absolue et négatifs, on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ et on note \\   
      \hspace*{0.3cm} $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
   \end{dinglist}
Dans le cas où la limite en $-\infty$ est $l$, on dit que la droite d'équation $y=l$ est une \underline{asymptote horizontale} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$. 
\end{Def}

\begin{Ex}
   "Visualisation" de limites en $-\infty$ : \\ 
     
   \begin{minipage}{6cm}
      $f(x)=\dfrac{1}{x-3}+1$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{3.17}{4}{1 1 -3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{2.5}{1 1 -3 x add div add}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-4,1)(4,1)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=1$ \\
      La courbe admet une asympyote horizontale d'équation $y=1$.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      $f(x)=x^2$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      $f(x)=1-x^2$
      \begin{flushleft}
         \psset{unit=0.7}   
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ \\
      Il n'y a pas d'asymptote.
   \end{minipage}
\end{Ex}

\bigskip

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction telle que $\lim\limits_{x \to \pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, on dit alors que la droite d'équation $y=ax+b$ est une \underline{asymptote oblique} à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.
\end{Def}

\bigskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1$.
   \begin{center}
      \psset{unit=0.8}
      \begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psaxes{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psplot[linecolor=red]{-6}{-0.2}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psplot[linecolor=red]{0.35}{6}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-6,-2)(6,4)
      \end{pspicture}
   \end{center}   
   $\lim\limits_{x\to +\infty}\left[f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$. \\
   La courbe admet une asymptote oblique d'équation $y=\dfrac12x+1$.
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limites des fonctions usuelles}

Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de référence :
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{1.5}|*{10}{C{1}|}}
   \hline
   $f(x)$ limite en & $x$ & $x²$ & $x³$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\dfrac{1}{x²}$ & $\dfrac{1}{x³}$ & $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ & $\sin(x)$ & $\cos(x)$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ &  $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $0^-$ & $0^+$ & $0^-$ & indéfini & indéfini & aucune & aucune \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)$ & $0^-$ & $0^+$ & $0^-$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & indéfini & indéfini & $0$ & $1$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)$ & $0^+$ & $0^+$ & $0^+$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0$ & $1$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $0^+$ & $0^+$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & aucune & aucune \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Opérations sur les limites}

Dans tout ce qui suit, la notation "FI" désigne une Forme Indéterminée, c'est à dire qu'on ne sait pas calculer par une opération élémentaire.\\
La notation "$*$" signifie qu'il faut appliquer la "règle des signes".

\subsection{Limite d'une somme} %%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\begin{tabular}{|C{2}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
   \hline  
   $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~g$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~(f+g)$ & $l+l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & FI \\ 
   \hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de "sommes" de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~x&=&0}{\lim\limits_{x \to 0}~x^3&=&0} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(x+x^3\right)=0$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=+\infty$
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~x&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(x+x^2\right)=+\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right)=-\infty$.    
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right)$ \quad est une forme indéterminée .
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   Ces résultats englobent le cas de l'addition de constante, puisqu'on peut alors choisir une fonction
$f$ constante, dont la limite est partout cette constante.
\end{Rem}

\bigskip

\begin{Ex}
   Addition d'une constante :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0+}~\dfrac{1}{x}&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to 0+}3&=&3}~\lim\limits_{x \to 0+}\left(\dfrac{1}{x}+3\right)=+\infty$
      \item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc une asymptote verticale d'équation $x=0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Limite d'un produit}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|C{1}|C{1}|C{1}|C{1}|}
      \hline  
      $\lim~f$ & $l$ & $l\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~g$ &$l'$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \\ 
      \hline
      $\lim~(f\times g)$ & $l\times l'$ & $*\infty$& $*\infty$ & FI \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\bigskip

\begin{Ex}
   Calcul de "produit" de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(x+3)&=&3}{\lim\limits_{x\to 0}~(x-1)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~[(x+3)\times(x-1)]=-3$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-3)&=&-3}{\lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right]=-\infty$
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)& =&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}[(x-1)\times x^3]=+\infty$.   
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x^2+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right]$ \quad est une forme indéterminée .
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\bigskip

\begin{Rem}
   Ces résultats englobent le cas de la multiplication par une constante, puisqu'on peut alors choisir une fonction $f$ constante, dont la limite est partout cette constante.
\end{Rem}

\bigskip

\begin{Ex}
   Multiplication par une constante :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~-2&=&-2}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}(-2x^2)=-\infty$.
   \end{dinglist} 
\end{Ex}


\subsection{Limite d'un quotient}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2}|*{6}{C{1}|}}
      \hline  
      $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~g$ & $l'\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
      \hline  
      $\lim~\left(\dfrac{f}{g}\right)$ & $\dfrac{l}{l'}$ & $0$ & $*\infty$ & $*\infty$  & FI & FI \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de "quotients" de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(x+3)&=&3}{\lim\limits_{x\to 0}~(x-2)&=&-2} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)=-\dfrac32$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{1}{x}-3\right)&=&-3}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x^2}\right)=0^-$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~x-4&=&-4}{\lim\limits_{x \to 0^+}~x&=&0^+} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right)=-\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~\left(\dfrac{1}{x}-3\right)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-1)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x-1}\right)=-\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right)$ \quad est une forme indéterminée.   
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~x^2&=&0}{\lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x}&=&0} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right)$ \quad est une forme indéterminée .
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   Ces résultats englobent le cas de la division par une constante, puisqu'on peut alors choisir une fonction $f$ constante, dont la limite est partout cette constante.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Division par une constante :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x-2)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~5&=&5} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{x-2}{5}\right)=+\infty$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\subsection{Comparaisons}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Soient deux fonctions $u$ et $v$ définies dur $I$ dont on connaît les limites en $+\infty$ et $f$ une fonction.\\
On a le tableau suivant :

\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{6}|C{6.1}|C{4}|}
      \hline
      limite connue & comparaison, pour $x$ assez grand & $\lim f(x)$ \\
      \hline
      $\lim\limits_{x \to +\infty}~u(x)=+\infty$ & $f(x)\geq u(x)$ & $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ \\
      \hline
      $\lim\limits_{x \to +\infty}~u(x)=-\infty$ & $f(x)\leq u(x)$ & $\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=-\infty$ \\
      \hline
      $\lim\limits_{x \to +\infty}~u(x)=0$ & $\Abs{f(x)-L}\leq u(x)$ & $\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=L$ \\
      \hline
      $\lim\limits_{x \to +\infty}~u(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}~v(x)=L$ & $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ & $\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=L$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}

Le dernier cas constituent le \underline{théorème des gendarmes}.

\begin{Ex} 
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout $x\in\R+^*$, $\dfrac{-1}{x}\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac{1}{x}$. \\
      \item Or, $\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{-1}{x}\right) =\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right) =0$ \quad donc :  $\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)= 0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\subsection{Compatibilité avec l'ordre}%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop} 
   Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\leq g(x)$ pour tout $x\in I$, alors pour toute limite \underline{finie} de $f$ et $g$, on a : $$\lim f(x)\leq \lim g(x).$$
\end{Prop}

On dit dans ce cas que l'inégalité $f(x) \leq g(x)$ \underline{passe à la limite}.

\smallskip
\subsection{Compositions}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop}
   Soient deux fonctions : $f$ définie de $I$ dans $J$ et $g$ de $J$ dans $\R$. \\
   Si $\Lim{\lim\limits_{x \to a}f(x)=b}{\lim\limits_{x \to b}g(x)=c}$ \quad alors \quad $\lim\limits_{x \to a}~(g\circ f)(x)=\lim\limits_{x \to a}g[f(x)]=c$.
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Calcul de "composition" de limites :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x+3)&=&-\infty}{\lim\limits_{X\to -\infty}~X^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}~(x+3)^2=+\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~(2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{1}{X}&=&0^+} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{1}{2x+1}\right)=0^+$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(x+4)&=&4}{\lim\limits_{X\to 4}~\sqrt{X}&=&2} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4}=2$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées}

Dans ces cas, toutes les situations sont {\it a priori} possibles : existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite infinie ; absence de limite. \\
Seule une étude particulière permet de lever l'indétermination.

Rappelons pour commencer les cas d'indétermination des limites :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
      \hline
      $\lim f(x)$ & $\lim g(x)$ & Limite indéterminée & type d'indétermination \\
      \hline
      $+\infty$ & $-\infty$ & $f(x)+g(x)$ & $\infty - \infty$ \\
      \hline
      $0$ & $\pm \infty$ & $f(x) \times g(x)$ & $0 \times  \infty$ \\
      \hline
      $0$ & $0$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{0}{0}$ \\
      \hline
      $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)} & \dfrac{\infty}{\infty}$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}


\subsection{Cas des polynômes}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Les indéterminations en $\pm\infty$ sont levées par une factorisation de la puissance de $x$ maximale.

\smallskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type "$\infty-\infty$" :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~3x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~x&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$ est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$. 
	  \item On met $x^2$ en facteur : $f(x)=3x^2-x=x^2\left(3-\dfrac{1}{x}\right)$.
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(3-\dfrac{1}{x}\right)&=&1}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.	  
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en $\pm \infty$ est dicté par le comportement
de son terme de plus haut degré en $\pm \infty$.
\end{Rem}


\subsection{Cas des fractions de polynômes}

\begin{Ex}
   Indétermination du type $\dfrac{\infty}{\infty}$ :    
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(2x^2-3)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right)$ est une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$. 
      \item Pour $x\not= 0$, on factorise par la puissance de $x$ maximale et on simplifie : \\
      \hspace*{0.3cm} $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3} =\dfrac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac{3}{x^2}\right)} =\dfrac{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{3}{x^2}}$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)&=&1}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(2-\frac{3}{x^2}\right)&=&2} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=\dfrac12$.     
   \end{dinglist}
   

\subsection{Autres cas}

\begin{Ex}
   Indétermination du type "$0\times \infty$" :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to -\infty}~\dfrac{1}{x}& =&0}{\lim\limits_{x\to -\infty}~(x^2+1)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right]$ est une forme indéterminée du type $0\times\infty$. 
	  \item On développe : $f(x)=\dfrac{1}{x}(x^2+1)=x+\dfrac{1}{x}$.
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to -\infty}~x&=&-\infty}{\lim\limits_{x\to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$.	  
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\medskip

\begin{Ex}
   Indétermination du type "$\dfrac00$" :
   \begin{dinglist}{212}
	  \item $\Lim{\lim\limits_{x\to 1}~(x^2-1)&=&0}{\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)&=&0} \quad \lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)$ est une forme indéterminée du type $\dfrac00$. 
	  \item On factorise : $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$.
	  \item $\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)=0$ \quad donc : \quad $\lim\limits_{x\to 1}~f(x)=0$.
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\end{document}