\documentclass[11pt,dvips]{article} 
\usepackage{hyperref}
\usepackage[cp1252]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[a4paper,vmargin=1cm,hmargin=1.5cm,includefoot,includehead]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot} 
\usepackage{framed}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multicol}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pifont}
\usepackage[framed]{ntheorem}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{tabularx}

\lhead[]{\small T^{ale}~STI}
\chead[]{\textsc{Calcul différentiel}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
%\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
\theorembodyfont{\small \sffamily}
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\theorembodyfont{\slshape}
\shadecolor{lightgray}
\newshadedtheorem{Def}{Définition}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{Exo}{EXERCICE}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Rep}{(O;\V{i};\V{j})}
\newcommand{\Int}[2]{[\, #1 ; #2 \,]}
%\newcommand{\Reel}{\mathfrak{Re}} 
%\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} 
%\renewcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert}
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3} 


   
   
   
\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{Calcul différentiel}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dérivation}

Dans cette partie, $f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $C$ sa courbe représentative dans un repère. $a$ et $x$ sont deux réels distincts de $I$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Nombre dérivé en un point} 


\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie en $a$ et au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \underline{dérivable en $a$} s'il existe un réel $A$ est une fonction $\epsilon$ tels que, au voisinage de $h=0$, on a :
   $$f(a+h)=f(a)+Ah+h\epsilon(h), \text{ avec } \lim_{h\to 0}~\epsilon(h)=0.$$
   A est appelé \underline{nombre dérivé} de $f$ en $a$.
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$. 
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(a+h)=(a+h)^2=a^2+2ah+h^2=f(a)+(2a)h+h(h)$.
      \item Donc, $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $A=2a$ et $\epsilon(h)=h$ de limite nulle en $0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Def}
   \begin{dinglist}{228}
      \item Le \underline{taux de variation} de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ est le quotient :
$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
      \item Avec $x=a+h$, ce quotient s'écrit aussi : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
      \item $f$ est \underline{dérivable} en $a$ et on note cette dérivée $f'(a)$ si la limite suivante existe :
        $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
   \end{dinglist}
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item  le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : \\
         \hspace*{0.3cm} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h} =\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} =\dfrac{2ah+h^2}{h} =2a+h$.
      \item donc, $f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}~(2a+h)=2a$.
      \item En particulier, $f'(3)=6$, $f'(0)=0$ ...
   \end{dinglist}   
\end{Ex}

\begin{minipage}{6cm}
   \textbf{Interprétation graphique :}\\
   Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ se rapproche du point $A$. \\
   Ainsi, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente $\mathcal{T}$ au point $A$ \\
   $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $a$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
   \begin{center}
   \psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \psplot[linewidth=0.05]{0.55}{5.46}{x x mul -1 mul 6 x mul add -4 add}
      \psdot(1,1)
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \psdot(4,4)
      \rput(4,4.3){$M$}
      \rput(4,-0.6){$a+h$}
      \rput(-1,4){$f(a+h)$}
      \rput(1.6,4.6){\textcolor{red}{$\mathcal{T}$}}
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue](-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
      \psline[linecolor=blue](-0.33,-1)(4,5.5)
      \psline[linecolor=blue](0.33,-1)(2.5,5.5)
      \psline[linecolor=red]{<->}(0.5,-1)(2,5)
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction dérivée} 

\begin{Def}
  Soit $f$ une fonction dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelé \underline{fonction dérivée} de $f$ sur $I$.
\end{Def}

On obtient le tableau de dérivation suivant :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{3}|C{3}|c|}
      \hline 
      Fonction $f$ & Fonction $f'$ & Ensemble de définition de $f$ \\ 
      \hline  
      $k$ & $0$ & $\R$ \\ 
      \hline  
      $ax+b$ & $a$ & $\R$ \\ 
      \hline   
      $\dfrac{1}{x}$ & $ -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\ 
      \hline
      $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &$\R_+^*$ \\ 
      \hline
      $x^{\alpha}$ & $\alpha x^{\alpha-1}$ & $\R$ si $\alpha\in\N^*$ ou $\R^*$ si $\alpha\in\Z_-^*$  ou $\R_+^*$ si $\alpha\in\R$\\
      \hline 
      $\ln(x)$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\R_+^*$ \\
      \hline
      $e^x$ & $e^x$ & $\R$ \\
      \hline      
      $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\R$ \\
      \hline
      $\cos(x)$ & $ -\sin(x)$ & $\R$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}
 
\smallskip

\begin{Ex}
Calcul de la dérivée des fonctions suivantes :\\
   \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
   \begin{tabular}{p{0.5cm}!{\ding{212}}llp{2cm}!{\ding{212}}ll}
      & $f(x)=\pi$ & $f'(x)=0$ & & $f(x)=x^3$ & $f'(x)=3x^2$ \\
      & $f(x)=x^{\frac23}$ & $f'(x)=\frac23x^{-\frac13}$ & & $f(x)=x^{2007}$ & $f'(x)=2007x^{2006}$ \\
   \end{tabular}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Dérivées successives}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les \underline{dérivées successives} de $f$ notées :
$$f' \quad , \quad f'' \quad , \quad f''' \quad , \quad \dots \quad , \quad f^{(n)}.$$
\end{Def}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2+x+3$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=6x^2-2x+1$.
      \item $f''(x)=12x-2$.
      \item $f'''(x)=12$.
      \item $f^{(4)}=0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

En physique et en mécanique, on utilise la notation différenteielle : \qquad $\dfrac{df}{dx}=f'$ \qquad et \qquad $\dfrac{d^2f}{dx^2}=f''$

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}
   \begin{Ex}
      Dans un circuit R, L, C en série, on a :
      \begin{dinglist}{212}
         \item $i=\dfrac{dq}{dt}$.
         \item $e=-L\dfrac{di}{dt}$.
         \item donc : $e=-L\dfrac{d^2q}{dt^2}$.
      \end{dinglist}
   \end{Ex}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
   \begin{pspicture}(0,0)(5.5,3)
      \psdot(2.5,0)
      \psline(2.5,0)(0,0)(0,2)(0.5,2)
      \psframe(0.5,1.6)(2,2.4)
      \psline(2,2)(2.5,2)
      \pscurve(2.5,2)(2.75,2.4)(3,2)
      \pscurve(3,2)(3.25,2.4)(3.5,2)  
      \pscurve(3.5,2)(3.75,2.4)(4,2)       
      \psline(4,2)(4.5,2)
      \psline(4.5,1.6)(4.5,2.4)
      \psline(5,1.6)(5,2.4)
      \psline(5,2)(5.5,2)(5.5,0)(3,0)
      \psdot(3,0)
      \rput(1.25,2.7){R}
      \rput(3.25,2.7){L}
      \rput(4.75,2.7){C}     
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations}

   $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{5}|C{4}|C{4}|}
      \hline 
      Opération & Fonction & Dérivée \\ 
      \hline  
      Addition & $u+v$ & $u'+v'$\\ 
      \hline  
      Multiplication par un nombre & $k\times u$ avec $k\in\R$ & $k\times u'$\\
      \hline  
      Multiplication &  $u\times v$ & $u'\times v+u\times v'$\\
      \hline 
      Puissance & $u^n$ & $n\times u'\times u^{n-1}$ \\
      \hline 
      Division & $\dfrac{u}{v}$ & $ \dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2} $\\
      \hline 
      Inverse & $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$\\
      \hline 
      Fonction composée & $f\circ g$ & $f'\circ g\times g'$ \\
      \hline 
      exponentielle & $e^u$ & $u'~e^u$ \\
      \hline 
      logarithme & $\ln(u)$ & $\dfrac{u'}{u}$ \\
      \hline 
      sinus & $\sin(u)$ & $u'~\cos(u)$  \\
      \hline
      cosinus & $\cos(u)$ & $-u'~\sin(u)$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center} 

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de dérivées :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x)=x^3+x+3$ : On utilise la formule $(u+v)'=u'+v'$ avec $u(x)=x^3$ et $v(x)=x+3$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3x^2+1$. \\
      \item $f(x)=3(x^2+4)$ : on utilise la formule $(ku)'=ku'$ avec $k=3$ et $u(x)=x^2+4$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=6x$. \\
      \item $f(x)=(-2x+3)(5x-3)$ : On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=-2x+3$ et $v(x)=5x-3$. \\  
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-20x+21$. \\
      \item $f(x)=(2x-7)^2$ : on utilise la formule $(u^2)'=2uu'$ avec $u(x)=2x-7$. \\  
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=4(2x-7)$. \\
      \item $f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+3}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=3x-4$ et $v(x)=x^2+3$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x+9}{(x^2+3)^2}$. \\
      \item $f(x)=\dfrac{1}{-3x+1}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec  $v(x)=-3x+1$. \\
         \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{3}{(-3x+1)^2}$. \\
      \item $f(x)=e^{3x+1}$ : On utilise la formule $(e^u)'=u'~e^u$ avec $u(x)=3x+1$. \\
          \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3~e^{3x+1}$. \\
      \item $f(x)=ln(-2x+5)$ : On utilise la formule $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=-2x+5$. \\
          \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-2}{-2x+5}$. \\
      \item $f(x)=\cos(2x+1)$ : On utilise la formule $\cos'(u)=-u'\sin(u)$ avec $u(x)=2x+1$. \\
          \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-2\sin(2x+1)$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Equation de la tangente} 

\begin{Prop}
   Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.\\
   La \underline{tangente} $\mathcal{T}_a$ en $a$ à la courbe $C_f$ a pour équation : $$\mathcal{T}_a : y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f(x)=x^2+2$. Les équations des tangentes en $0$ et en $-1$ sont :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=2x$
      \item $f'(0)=0$ donc $T_0 : y=0\times(x-0)+f(0)=2$.
      \item $f'(-1)=-2$ donc $T_{-1} : y=-2\times(x+1)+f(-1)=-2x+1$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Etude des variations d'une fonction}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction}

L'idée est qu'il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbe $\mathcal{C}$ et le sens de variation de la fonction $f$.

\begin{Prop}
   On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.
   \begin{dinglist}{169}
      \item $f$ est croissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\geqslant0$ pour tout $x\in I$.
      \item $f$ est décroissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\leqslant0$ pour tout $x\in I$.
      \item $f$ est constante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

Il est donc possible de déterminer les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.

\medskip

\begin{Ex}
   \textbf{\'Etude d'une fonction polynôme :} \\  
   Soit $f(x)=2x^3-3x^2-12x-1$, définie et dérivable sur $\R$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)$.
      \item On détermine le signe de $x^2-x-2$ en cherchant ses racines et on trouve $-1$ et $2$. \\
               \hspace*{0.3cm} $f'(x)=6(x+1)(x-2)$ est positive sauf entre ses racines $-1$ et $2$.
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction $f$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
                    \hline
                    $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $2$ & & $+\infty$\\
                    \hline
                    signe de $f'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ &\\
                    \hline
                     & &  & $6$ & & & & $+\infty$\\
                     variations de $f$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
                     & $-\infty$ & & & & $-21$ & &\\
                    \hline
                 \end{tabular}
              \end{center}
      \item $f$ est croissante sur $]-\infty~;-1~]$ et sur $[~2~;+\infty~[$ et décroissante sur $[~-1~;~2~]$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   \textbf{Etude d'une fonction logarithme :} \\
   
   Soit $g(x)=2x^2+1-\ln x$, définie et dérivable sur $\R_+^*$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x>0$ on a $g'(x)=4x-\dfrac1x= \dfrac{4x^2-1}{x} =\dfrac{(2x+1)(2x-1)}{x}$.
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction $g$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c||lcccr|}
                    \hline
                    $x$ & $0$ & & $\frac12$ & & $+\infty$\\
                    \hline
                    $2x+1$ & & $+$ & | & $+$ & \\
                    \hline
                    $2x-1$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
                    \hline
                    $x$ & & $+$ & | & $+$ & \\
                    \hline
                    signe de $g'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ &\\
                    \hline
                     & $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
                     variations de $g$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
                     & & & $\frac32+\ln 2$ & & \\
                    \hline
                 \end{tabular}
              \end{center}
      \item $g$ est décroissante sur $\left[~0~;~\dfrac12~\right[$ et croissante sur $\left[~\dfrac12~;+\infty~\right[$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   \textbf{Etude d'une fonction exponentielle :} \\
   
   Soit $h(x)=(x+2)~e^{-x}$, définie et dérivable sur $\R$. Déterminons son sens de variation :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=1\times e^{-x}+(x+2)\times (-e^{-x})=(1-x-2)~e^{-x}=(-x-1)~e^{-x}$.
      \item On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction $h$ : \\
              \begin{center}
                 \begin{tabular}{|c||lcccr|}
                    \hline
                    $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & $0$ & $+\infty$\\
                    \hline
                    $-x-1$ & & $+$ & | & $-$ & \\
                    \hline
                    $e^{-x}$ & & $+$ & | & $+$ & \\
                    \hline
                    signe de $h'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
                    \hline
                     & & & $e$ & & \\
                     variations de $h$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ &\\
                     & $-\infty$ & & & & $0$ \\
                    \hline
                 \end{tabular}
              \end{center}
      \item $h$ est croissante sur $[-\infty~;-1~]$ et décroissante sur $[-1~;+\infty~[$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Extremum d'une fonction}

\begin{Prop}
   $f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$. \\
   Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ distinct des extrémités de $I$, alors $f'(a)=0$.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   Attention, la réciproque n'est pas vraie : le fait que $f'(a)=0$ n'implique pas forcément qu'il existe un extremum en $a$
\end{Rem}

\smallskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $f(x)=x^3$ est définie et dérivable sur $\R$.
      \item $f'(x)=3x^2$ donc, $f'(0)=0$ mais $f$ n'admet ni minimum, ni maximum en $0$.
   \end{dinglist}
\end{Ex} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}  
\begin{center}
   \psset{unit=1.5}
   \begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-1.1)(1,1.1)
      \uput{0}[0](0.6,0.8){$y=x^3$}
      \psplot[linecolor=red]{-1}{1}{x x mul x mul}
      \psline[linecolor=blue,linewidth=0.03]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{Rem}
   La tangente à la courbe en un point $a$ où $f'(a)=0$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Résolution de l'équation $f(x)=\lambda$} 

\begin{Prop}
   Si $f$ est une fonction continue, dérivable et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle $[\,a;b\,]$ alors, pour tout $\lambda \in [\,f(a);f(b)\,]$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet une solution unique sur l'intervalle $[\,a;b\,]$.
\end{Prop}

\begin{center}
  \begin{pspicture}(-1,-2)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \pscurve[linecolor=red](-1,-1)(1,1)(2,3)(4,4)(6,4.5)
      \psdot(1,1)
      \psdot(4,4)
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue]{->}(0,3)(2,3)(2,0)
      \rput(-0.6,3){\textcolor{blue}{$\lambda$}}
      \rput(2,-0.6){\textcolor{blue}{$x$}}
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \rput(4,4.3){$B$}
      \rput(4,-0.6){$b$}
      \rput(-0.6,4){$f(b)$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\begin{Ex}
 Soit $f(x)=x^3+x+1=0$, $f$ est définie et dérivable sur $\R$. Résolvons l'équation $f(x)=0$ à $10^{-1}$ près.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+1$.
      \item $f'$ est strictement positive sur $\R$, on en déduit que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
      \item on calcule $f(-1)=-1$ et $f(0)=1$.
      \item D'après le théorème, $0 \in [\,f(-1);f(0)\,]=[\,-1;1\,]$, l'équation 
$f(x)=0$ admet donc une solution unique dans l'intervalle $[-1;1\,]$.
      \item A la calculatrice, on trouve $f(-0,7)=-0,043<0$ et $f(-0,6)=0,184>0$.
      \item La racine vaut donc $-0,7$ à $10^{-1}$ près.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Primitives}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Définitions}

\begin{Def}
   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \\
   On appelle \underline{primitive} de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ vérifiant $$F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout } x\in\R.$$
\end{Def}

\begin{Ex}
   Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=x^3$ est une primitive de $f$ sur $\R$ puisque $F'(x)=f(x)$.
      \item La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=x^3+2$ est aussi une primitive de $f$ sur $\R$ puisque $G'(x)=f(x)$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Ex}
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$. Montrons que la fonction $F$ définie sur $R$ par $F(x)=\sqrt{x^2+3}+\pi$ est une primitive de $f$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Pour cela, il faut calculer $F'$, la dérivée de $F$ et vérifier que l'on obtient $f$.
      \item $F'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}+0=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}=f(x).$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Prop}
   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$, $k$ un réel, $x_0\in I$ et $y_0\in\R$ fixés.
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ possède au moins une primitive sur $I$.
      \item Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$, les primitives de $f$ sont les fonctions du type $F(x)+k$
      \item Si $f$ est dérivable sur $I$, il existe une \underline{unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Les fonctions  $F_0(x)=\dfrac14 x^4$, $F_1(x)=\dfrac14 x^4+1$, $F_2(x)=\dfrac14 x^4+2$, ... , $F_k(x)=\dfrac14 x^4+k$ avec $k\in\R$ \\
         \hspace*{0.3cm} sont toutes des primitives de la fonctions $f$.
      \item Cependant, il n'existe qu'une unique primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(0)=1$ : il s'agit de $F_1$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Calculs de primitives}

L'objet de ce paragraphe est de présenter quelques techniques permettant l'obtention de primitives de fonctions données sur un intervalle déterminé. 

\subsubsection{Primitives des fonctions usuelles}

La lecture du tableau des primitive se fait en lisant celui des dérivées \og à l'envers \fg{}. \\
Les fonctions $f$ suivantes sont définies, dérivables sur l'intervalle $I$, $n$ est un entier relatif différent de $-1$.

\textbf{Obtention de primitives par lecture inverse du tableau des dérivées :}
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{4}|C{4}|C{4}|}
      \hline
      $f(x)$ & une primitive $F(x)$ & conditions \\
      \hline
      $0$ & $k$ & $I=\R$ \\
      \hline
      $a$ & $ax$ & $I=\R$ \\
      \hline
      $x^n$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ & $I=\R$ si $n>0$    \qquad $I=\R^*$ si $n<0$ \\
      \hline
      $\dfrac{1}{x^2}$ & $-\dfrac{1}{x}$ & $I=\R^*$ \\
      \hline
      $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x}$ & $I=\R_+^*$ \\
      \hline
      $\cos x$ & $\sin x$ & $I=\R$ \\
      \hline
      $\sin x$ & $-\cos x$ & $I=\R$ \\
      \hline
      $e^x$ & $e^x$ & $I=\R$ \\
      \hline
      $\dfrac{1}{x}$ & $\ln x$ & $I=\R_+^*$ \\ 
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{Rem}
   Pour obtenir toutes les primitives d'une fonction $f$ donnée, il suffit de rajouter une constante.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{dinglist}{212}
      \item Une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^8$ est $F(x)=\dfrac19~x^9$.
      \item Une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R^*_+$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^8}$ est $F(x)=-\dfrac{1}{7~x^7}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Opérations sur les primitives}

$u$ et $v$ sont des fonctions de primitives $U$ et $V$ sur un intervalle $I$.

\textbf{Tableau des opérations sur les primitives :}
\begin{center}
   \begin{tabular}{|C{4}|C{4}|C{4}|}
      \hline
      Forme de la fonction & Une primitive & Conditions \\
      \hline
      $u+v$ &$ U+V$ & \\
      \hline
      $k\times u$ & $k\times U$ &\\

      \hline
      $u'~u^n$ & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & $n\in\N$ \\
      \hline
      $\dfrac{u'}{u^n}$ & $-\dfrac{1}{(n-1)~u^{n-1}}$ & $n\in\N^* $ \\
      \hline
      $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ & $u(x)>0$ \\
      \hline
      $u' \cos u$ & $\sin u$ & \\
      \hline
      $u' \sin u$ & $-\cos u$ & \\
      \hline
      $u'e^u$ & $e^u$ & \\
      \hline
      $\dfrac{u'}{u}$ & $\ln u$ & $u(x)>0$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{Ex}
   On cherche à déterminer dans chacun des cas suivant une primitive $F$ de le fonction $f$ sur l'intervalle $I$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x)=4x^2$ et $I=\R$ : $F(x)=4\times\dfrac {x^3}{3}=\dfrac{4x^3}{3}$.  \\
      \item $f(x)=2x(x^2-1)^5$ et $I=\R$ : $f(x)=(x^2-1)'(x^2-1)^5$ donc $F(x)=\dfrac{(x-1)^6}{6}$. \\
      \item $f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{3x-6}}$ et $x>2$ : $f(x)=\dfrac{(3x-6)'}{\sqrt{3x-6}}$ donc $F(x)=2\sqrt{3x-6}$. \\
      \item $f(x)=2x+2\cos(2x)-6\sin(3x-1)$ et $I=\R$ : $f(x)=2x+(2x)'\cos(2x)-2(3x-1)'\sin(3x-1)$ \\
         \hspace*{0.3cm} donc $F(x)=x^2+\sin(2x)+2\cos(3x-1)$. \\
      \item 
      $f(x)=-9~e^{-3x-1}$ et $I=\R$ : $f(x)=3(-3x-1)'e^{-3x-1}$ donc : $F(x)=3~e^{-3x-1}$. \\
      \item $f(x)=\dfrac{4x-2}{x^2-x+3}$ et $I=\R$ : $f(x)=\dfrac{2(x^2-x+3)'}{x^2-x+3}$ donc : $F(x)=2\ln(x^2-x+3)$. 
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\end{document}