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\lhead[]{\small T^{ale}~STI}
\chead[]{\textsc{Fonction logarithme}}
\rhead[]{\small {$2008$/$2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
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\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
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\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{Fonction logarithme}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace*{5cm}

\textbf{Bref histoirique :} On date en général la naissance des logarithmes népériens de $1647$, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme). 
La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole. 

Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en $1668$, quand celui-ci met en place sa série de Mercator. Sa série exploitée par Newton, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent.


\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction du logarithme}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Définition}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Def}
   La fonction \underline{logarithme népérien}, notée $\ln$, est l’unique primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac1x$
définie sur $]\,0\,;\,+\infty\,[$ qui s’annule en $1$.
\end{Def}

\underline{Conséquences directes :}\\
\begin{itemize}
   \item $\ln(1)=0$,
   \item La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]\,0\,;\,+\infty\,[$ et pour tout  $x>0$, $\ln’(x)=\dfrac1x$.
\end{itemize}

\vspace*{0,5cm}
   
\begin{Rem}
   Il existe différentes fonctions logarithmes ; dans ce chapitre, on étudie la fonction
logarithme mise en évidence par l'\'Ecossais {\sc J. Neper}, et qui porte son nom : le logarithme népérien.
\end{Rem}

\begin{Prop}
   Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $u$ une fonction strictement positive sur $I$, alors \\
   la fonction $x \mapsto \ln[u(x)]$ est définie et existe sur $I$.
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Ensemble de définition $I$ de la fonction définie par $f(x)=\ln(x+3)$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction $x\mapsto\ln[u(x)]$ est définie lorsque $u(x)$ est positif,
      \item on doit donc avoir : $x+3>0 \Longleftrightarrow x>-3$.
      \item D'où : $\mathcal{D}_f=\,]-3\,;\,+\infty\,[$.
   \end{dinglist}   
\end{Ex}


\subsection{Relation fondamentale}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop}
   Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, on a la relation fondamentale suivante :
   $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$$
\end{Prop}

\textbf{Démonstration :}\\
   Soit $b>0$ fixé. Pour $x>0$, on définit la fonction $f(x)=\ln(x.b)$.\\
   Par dérivation, il vient $f'(x)=\dfrac{b}{x.b}=\dfrac1x$.\\
   Puis par intégration : $f(x)=\ln(x)+K$.\\
   En posant $x=1$, on a $f(1)=\ln(1)+K=K.$\\
   Or, $f(1)=\ln(1.b)=\ln(b)$, d'où $K=\ln(b).$\\
   Finalement : $\ln(x.b)=\ln(x)+\ln(b)$ et si on choisit $x=a$, on obtient le résultat voulu.

\begin{Prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $n$ est un entier naturel, alors : 
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\ln\left(\dfrac1a\right)= -\ln(a)$.
      \item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.
	  \item $\ln(a^n)=n\ln(a)$.
	  \item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac12\ln(a)$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications.

\textbf{Démonstrations :}
\begin{itemize}
   \item On a $a\times\dfrac{1}{a}=1$.\\
   Donc $\,\ln\left(a\times\dfrac{1}{a}\right)=\ln(1)=0$\\
      \Longleftrightarrow $\quad \ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=0$\\
      \Longleftrightarrow $\quad \ln\left(\dfrac1a\right)= -\ln(a)$.
   \item On peut écrire $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln\left(a\times\dfrac{1}{b}\right) = \ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.
   \item $\ln(a^n)=\ln(a\times a\times … \times a)=\ln(a)+\ln(a)+ … +\ln(a)=n\ln(a)$.
   \item Lorsque $a$ est un réel strictement positif, on a $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.\\
    Donc $\,\ln(\sqrt{a}\times\sqrt{a})=\ln(a)$\\
    \Longleftrightarrow $\quad \ln(\sqrt{a})+\ln(\sqrt{a}) =\ln(a)$\\
     \Longleftrightarrow $\quad \ln(\sqrt{a})=\dfrac12\ln(a).$
\end{itemize}       

\hspace*{0.5cm}

\begin{Rem} 
La propiété fondamentale se généralise au cas d’un produit de trois, quatre, $n$ facteurs :
$$\ln(a_1\times a_2\times … \times a_n)=\ln(a_1)+\ln(a_2)+…+\ln(a_n).$$
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Transformations d'expressions numériques (sur les intervalles où elles sont définies):
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln(24) =\ln(2^3\times3) =\ln(2^3)+\ln(3) =3\ln(2)+\ln(3)$.
      \item $\ln\left(\dfrac{192}{108}\right) =\ln\left(\dfrac{16}{9}\right) =\ln(16)-\ln(9)=\ln(2^4)-\ln(3^2) =4\ln(2)-2\ln(3)$.
      \item $\ln(\sqrt{96}) =\dfrac12\ln(96) =\dfrac12\ln(2^5\times3) =\dfrac12[5\ln(2)+\ln(3)]$.
	\end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Ex}
   Transformations d'expressions algébriques (sur les intervalles où elles sont définies):
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln(x+3)+\ln(2x+1) =\ln[(x+3)(2x+1)] =\ln(2x^2+7x+3)$.
      \item $\ln(3x)-\ln(3)+\ln(x^2) =\ln\left(\dfrac{3x\times x^2}{3}\right) =\ln(x^3) =3\ln(x)$.
      \item $\ln(\sqrt{x-1})= \dfrac12\ln(x-1)$.
	\end{dinglist}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Etude de la fonction logarithme}

\subsection{Limite aux bornes}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop}
   On a les limites importantes suivantes :
   $$\blacklozenge \lim_{x \rightarrow 0^+}\ln(x)=-\infty \hspace{5cm} \blacklozenge \lim_{x \rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty.$$ 
\end{Prop}

\textbf{Conséquence :}
La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe représentative de
la fonction $\ln$.

\smallskip

\begin{Ex}
   Limite en $+\infty$ de $\,\ln(x-1)$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction est définie lorsque $x-1>0$, donc sur $]\,1\,;\,+\infty\,[$ .
      \item $\left.\begin{array}{lcr}
      \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}(x-1) & = & +\infty \\ 
      \lim\limits_{X \rightarrow +\infty}\ln(X) & = & +\infty
      \end{array}\right\}$
      par composition : $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\ln(x-1)=+\infty.$
   \end{dinglist}
   Limite en $-3$ de $\,\ln(x+3)$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item La fonction est définie lorsque $x+3>0$, donc sur $]\,-3\,;\,+\infty\,[$.
      \item $\left.\begin{array}{lcr}
      \lim\limits_{x \rightarrow -3^+}(x+3) & = & 0^+ \\ 
      \lim\limits_{X \rightarrow 0^+}\ln(X) & = & -\infty
      \end{array}\right\}$
      par composition : $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}\ln(x+3)=-\infty.$
   \end{dinglist} 
\end{Ex}


\subsection{Variations}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sachant que la dérivée de la fonction logarithme est $\dfrac1x$ et qu’elle est définie sur $\R_+^*$, la dérivée est positive, et la fonction est donc croissante sur cet intervalle.

\begin{minipage}{7cm}
   D’où le tableau de variations et la courbe :\\
   \begin{center}   
   \renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|C{1}|lC{2}r|}
         \hline
         $x$ & $0$ & $1$ & $+\infty$ \\
         \hline
         $f'(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         & & & $+\infty$ \\
         $f$ & & $\nearrow$ & \\
         & $-\infty$ & & \\
         \hline
         signe & ~~~~~~$-$ & $0$ & $+$~~~~~~\\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \begin{center}
   \begin{pspicture}(-1,-6)(9,3)
      \psset{algebraic=true,unit=0.8}
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-1,-6)(9,3)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-6)(9,3)
      \psplot[linecolor=red]{0.0025}{9}{ln(x)}
      \rput{15}(4,2){\textcolor{red}{$y=\ln(x)$}}
      \psdot[linecolor=red](1,0)
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}


\subsection{Fonction \ln(u)}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop}
   Soit $I$ un intervalle de $\R$, et $u$ une fonction strictement positive et dérivable sur $I$, alors \\
      la fonction $x \mapsto \ln[u(x)]$ est dérivable sur $I$ de dérivée $\ln[u(x)]'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.$
\end{Prop}

\begin{Ex} 
   Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln(x^2+1)$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le polynôme $u$ défini par $u(x)=x^2+1$ est strictement positif et dérivable sur $\R$ de dérivée $u'(x)=2x$.
      \item Donc, $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
   \end{dinglist}
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\ln(x-2)$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le polynôme $v$ défini par $v(x)=x-2$ est strictement positif et dérivable sur $]\,2\,;\,+\infty\,[$ de dérivée $v'(x)=1$.
      \item Donc, $g$ est dérivable sur $]\,2\,;\,+\infty\,[$ et $g'(x)=\dfrac{1}{x-2}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

Ceci nous conduit à un résultat important pour la recherche de primitives :

\begin{Prop}
   Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $I$.
   \begin{dinglist}{169}
      \item Si $u$ est strictement \underline{positive} sur $I$, alors les primitives de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sont de la forme $\ln[u(x)]+K$.
      \item Si $u$ est strictement \underline{négative} sur $I$, alors les primitives de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sont de la forme $\ln[-u(x)]+K$.
   \end{dinglist}
   où $K$ est une constante réelle.
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   Détermination de la primitive $F$ de $f$,fonction définie sur $I=\,\left]\,\dfrac12\,;\,+\infty\,\right[$ par $f(x)=\dfrac{2}{2x-1}$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le polynôme $u$ défini par $u(x)=2x-1$ est strictement positif et dérivable sur $I$ de dérivée $u'(x)=2$.
      \item Donc, $f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ stictement positive de primitive $\ln(u)+K$.
      \item $F(x)=\ln(2x-1)+K$ sur $I$.
   \end{dinglist}
      Détermination de la primitive $G$ de $g$, fonction définie sur $J=\,\left]\,-\infty \,;\,\dfrac12\,\right[$ par $g(x)=\dfrac{2}{2x-1}$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le polynôme $v$ défini par $v(x)=2x-1$ est strictement négatif et dérivable sur $J$ de dérivée $v'(x)=2$.
      \item Donc, $g$ est de la forme $\dfrac{v'}{v}$ avec $v$ stictement négative de primitive $\ln(-v)+L$.
      \item $G(x)=\ln(-2x+1)+L$ sur $J$.
   \end{dinglist}
   Conlusion :\\
   La fonction définie sur $\R-\left\{\dfrac12\right\}$ par $h(x)=\dfrac{2}{2x-1}$  admet donc des primitives distinctes selon l'intervalle dans lequel on se trouve.
\end{Ex}

\pagebreak

\subsection{Croissance comparée du logarithme népérien et des fonctions puissance}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop}
   On a les limites classiques suivantes, pour tout $n \in \N^*$ :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
      \item $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0$.
      \item $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln(x)=0$.
      \item $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^n\ln(x)=0$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Rem}
   On dit que "le $x$ l'emporte sur le logarithme".
\end{Rem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Equations et inéquations}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Nombre e}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

D’après le tableau de variation de la fonction $\ln$, on en déduit que l’équation $\ln(x)=1$ admet une unique solution dans $]\,0\,;\,+\infty\,[$. Ce réel est noté $e$ et vaut environ $2,718$.

On a donc deux valeurs importants à connaitre pour le logarithme :\\
$$\framebox{\ln(1)=0} \qquad \text{ et }\qquad  \framebox{\ln(e)=1}$$

\begin{Rem}
   Ce $"e"=e^1=\exp(1)$ vient de la fonction exponentielle qui est au programme de terminale.
\end{Rem}

\smallskip

\begin{Ex}
   Simplification d'expressions contenant $e$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln(e^2)=2\ln(e)=2$.
      \item $\ln(e^4)=4\ln(e)=4$.
      \item $\ln(e^{-1})=-\ln(e)=-1$.
      \item $\ln(e^{-5})=-5\ln(e)=-5$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Rem}
   On remarque que pour tout réel $a$, $\ln(e^a)=a$ .
\end{Rem}


\subsection{Résolution d'équations}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Prop}
   Pour tout $u>0$, on a les résultats suivants :
   \begin{dinglist}{169}
      \item Pour tout $v>0$, l'équation $\ln(u)=\ln(v)$ possède comme unique solution $u=v$.
      \item Pour tout $\lambda$, l'équation $\ln(u)= \lambda$ possède comme unique solution le nombre $u=e^{\lambda}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Résolution dans $\R^+_*$ de l'équation $\ln(x)=4$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln(x)=4 \Longleftrightarrow \ln(x)=4\times 1 \Longleftrightarrow\ln(x)=4\ln(e) \Longleftrightarrow \ln(x)=\ln(e^4) \Longleftrightarrow x=e^4$.
   \end{dinglist}
    Résolution dans $\R^+_*$ de l'équation $2\ln(x)-\ln(x^3) = -5$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $2\ln(x)-\ln(x^3) = -5 \Longleftrightarrow \ln(x^2)-\ln(x^3) = \ln(e^{-5}) \Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac{x^2}{x^3}\right) = \ln(e^{-5})\\
      \hspace*{3.6cm} \Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac1x\right) = \ln(e^{-5}) \Longleftrightarrow \dfrac1x=e^{-5} \Longleftrightarrow x=e^5$.
   \end{dinglist}
   Résolution dans $]-3\,;\,3\,[$ de l'équation $\ln(-x^2+9)=0$.
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\ln(-x^2+9)=0 \Longleftrightarrow \ln(-x^2+9)=\ln(1) \Longleftrightarrow -x^2+9=1 \Longleftrightarrow x^2=8 \Longleftrightarrow x=-2\sqrt2\,$ ou $x=2\sqrt2$.
      \item Ces deux possibilités sont solutions car elles appartiennet toutes les deux à l'intervalle de définition.
   \end{dinglist}  
\end{Ex}
 
 
\subsection{Resolution d'inéquations}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
\begin{Prop}
   Pour tout $u>0$ et $v>0$, on a les résultats suivants :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\ln(u)<0$  équivaut à  $0<u<1$.
      \item $\ln(u)>0$  équivaut à  $u>1$.
      \item $\ln(u)<\ln(v)$ équivaut à $u<v$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\begin{Ex}
   Résolution de l’équation $\ln(x^2-4)<\ln(3x)$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item on cherche les nombres $x$ tels que  $x^2-4>0$  et $3x>0$ :
      \item $x^2-4>0$ lorsque $x<-2$ ou  $x>2$ et $3x>0$ lorsque $x>0$.
      \item L’équation sera donc résolue pour $x>2$. 
      \item $\ln(x^2-4)<\ln(3x) \Longleftrightarrow x^2-4<3x  \Longleftrightarrow x^2-3x–4>0$
      \item On trouve $\Delta=25$ et les solutions sont  $x_1=-1$ et $x_2=4$.
      \item Le trinôme est du signe de $a=1$, donc positif saus entre ses racines $-1$ et $4$ donc :
      \item $\mathcal{S}=]4;+\infty[$.
   \end{dinglist} 
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{logarithme décimal}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Cette fonction se note $\log$. Elle est définie sur $]\,0\,;\,+\infty\,[$ par la relation $\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}.$ 

Ses propriétés sont en gros identiques à celles de la fonction $\ln$. 

La relation fondamentale, qui explique son succès en Sciences est la suivante :
Pour tout $x>0$ et pour tout $y\in\R$, $\log(x)=y  \Longleftrightarrow x=10^y$ ou encore $\log(10^y)=y$.

\begin{Ex}
   Simplification de logarithmes décimaux.
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\log(10)=1$ 
      \item $\log(100)=\log(10^2)=2$
      \item $\log(0,1)=\log\left(\dfrac{1}{10}\right) = -\log(10) = -1$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

Le développement des calculatrices ont fait perdre aux logarithmes leur principal intérêt de simplifications des calculs. Ils restent cependant très présents en physique quand il s'agit d'appréhender des quantités pouvant varier de $10^{-10}$ à $10^{10}$. C'est ainsi qu'on les retrouve dans le calcul des pH, des décibels, ...

\textcolor{blue}{
\begin{Exo}
 Soit $f$  la fonction définie sur l'intervalle $]~-1~;~+\infty~[$ par :
   \[ f(x) = \dfrac{2x}{1+x}-\ln (1+x).\]
   On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\Rep$ d'unités graphiques $1$ cm sur l'axe des abscisses et $2$ cm sur l'axe des ordonnées.\\
   \textbf{Partie A}
   \begin{enumerate}
      \item  Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle\\ $]~-1~;~+\infty~[~ : ~f(x) = \dfrac{1}{1 + x}[2x - (1 + x)\ln (1 + x)],$\\
   calculer la limite de $f$ en $-1$ (on pourra utiliser sans démonstration $\lim_{X \to 0} X \ln X = 0$).
         \item En déduire une équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à $\mathcal{C}$.
      \end{enumerate}
      \item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant
à l'intervalle $]~-1~;~+\infty ~[$, $f'(x)=\dfrac{1-x}{(1+x)^2}$.
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]~-1~;~+\infty ~[$.
         \item Calculer la valeur exacte de $f(1)$.
         \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]~-1~;~+\infty ~[$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
   \textbf{Partie B}
   \begin{enumerate}
      \item  Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
      \item
      \begin{enumerate}
         \item  Justifier que l'équation $f(x)=0$ a une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle $[~1~;~5~]$.\\
   Démontrer que $\ln (1+\alpha)=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha}$.
         \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
      \end{enumerate}
      \item Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[~O~;~\alpha ~]$.
      \item Tracer, dans le repère$\Rep$, la tangente $\mathcal{T}$, la droite $\mathcal{D}$ puis la courbe $\mathcal{C}$.
   \end{enumerate}
   \textbf{Partie C}
   \begin{enumerate}
      \item  Démontrer que, sur l'intervalle $]~-1~;~+\infty ~[$, la fonction $F$ définie par \[F(x)=(-3-x)\ln(1+x)+3x\] est une primitive de la fonction $f$.
      \item Soit $\mathcal{H}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\alpha$.
      \begin{enumerate}
         \item  Hachurer la partie $\mathcal{H}$ sur le dessin.
         \item Calculer, en unités d'aire et en fonction de $\alpha$, l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie $\mathcal{H}$ et démontrer que $\mathcal{A}(\alpha)=2\left(\dfrac{\alpha^2-3\alpha}{1+\alpha}\right)$ cm$^2$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Exo}}

\end{document}

