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\lhead[]{\small T^{ale} STI}
\chead[]{\textsc{Equations différentielles}}
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\newframedtheorem{Th}{Théorème}
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\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{EQUATIONS DIFF\'ERENTIELLES}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 

\vspace*{8cm}

\textbf{Bref historique :} C'est au début du $XVII^{ième}$ siècle, avec le calcul différentiel et intégral de Newton et
Leibniz, qu'apparut la notion d'équations différentielles.

Elles sont issues de problèmes de géométrie et de
mécanique. Au début du $XVIII^{ième}$ siècle les méthodes classiques de résolution de certaines équations
(linéaires et de Bernouilli notamment) furent découvertes.

Avec le développement de la mécanique, la résolution des équations différentielles devient une branche
importante des mathématiques (grâce à Euler, Lagrange, Laplace …).


\pagebreak

\section{Introduction}

\begin{Def}
   Une \underline{équation différentielle} est une équation liant une fonction et sa ou ses dérivée(s).\\
\underline{Résoudre} une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l'égalité.
\end{Def}

\begin{Ex}
   On cherche à résoudre l'équation différentielle $y'(x)=x^2.$
   \begin{dinglist}{212}
      \item On trouve ici $y(x)=\dfrac13 x^3+c$ où $c$ est une constante réelle.
      \item On remarque qu'il y a une infinité de solutions, dépendantes de $C$.
   \end{dinglist}
   Si de plus on impose une contrainte du type $y(0)=1$ (condition initiale), on obtient :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $y(0)=\dfrac13\times 0^3+C=C$, 
      \item or, $y(0)=1$ donc, $C=1$.
      \item Conclusion : $y(x)=\dfrac13 x^3+1$ .
      \item Dans ce cas, la solution devient unique.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\begin{Rem}
   Par la suite, on écrira la solution sous la forme $f(x)=...$ ,~~$g(x)=...$ plutôt que $y(x)= ...$
\end{Rem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Equations différentielles du type $y'=ay$}


\subsection{Solution générale}%_______________

\begin{Th}
   Soit $y'=ay$ une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant $a \in \R$.\\
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions dérivables, définies sur $\R$ par :
$$f(x)=k\,e^{ax} \quad \mbox{où } k\in \R.$$
\end{Th}

\underline{Démonstration :} \\
Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'-ay=0$. \\
\begin{itemize}
   \item Soit $f$ la fonctions définie sur $\R$ par $f(x)=ke^{ax}$, $f$ est dérivable sur $\R$ de dérivée $f'(x)=kae^{ax}$. \\
      $f'(x)-af(x)=kae^{ax}-a\times ke^{ax}=0$ \quad donc, $f$ est bien solution de $(E)$. \\
   \item Les solutions de la forme $x\rightarrow ke^{ax}$ sont des solutions de $(E)$. Il reste à montrer qu'il n'y a pas d'autres solutions que celles-ci. Pour cela, on suppose que $g$ est un fonction définie et dérivable sur $\R$ solution de $(E)$ et on va montrer qu'alors elle est de la forme $x\rightarrow ke^{ax}$. \\
   
    Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=g(x)e^{-ax}$. $h$ est dérivable sur $\R$ de dérivée \\
    $h'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}$ \\
    $h'(x)=e^{-ax}\left(g'(x)-ag(x)\right)$ \\
    mais comme $g$ est solution de $(E)$, on a $g'(x)-ag(x)=0$ soit $h'(x)=0$. \\
    On a alors : $h(x)=k ~~\Longleftrightarrow~~ g(x)e^{-ax}=k ~~\Longleftrightarrow~~ g(x)=ke^{ax}$.
\end{itemize}

\begin{Ex}
   Résolution de l'équation différentielle : $y'=3y$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Les solutions sont du type $f(x)=ke^{3x}$ où $k$ est une constante réelle.
   \end{dinglist}   
      Résolution de l'équation différentielle : $y'+4y=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Cette équation peut s'écrire $y'=-4y$. 
      \item Les solutions sont du type $f(x)=ke^{-4x}$ où $k$ est une constante réelle.
   \end{dinglist}  
   Résolution de l'équation différentielle : $2y'-5y=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Cette équation peut s'écrire $y'=\dfrac52y$.
      \item Les solutions sont du type $f(x)=ke^{\frac52 x}$ où $k$ est une constante réelle.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\subsection{Unicité de la solution sous condition initiale}

\begin{Th}
   Soient $x_0 $, $y_0$ et $a$ des réels donnés, l'équation différentielle $y'=ay$ admet une \underline{unique solution} $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $f(x_0)=y_0$.\\
   Cette solution est la fonction définie par $f(x)=y_0\,e^{a(x-x_0)}$.
\end{Th}

\underline{Démonstration :} \\
On sait que la solution générale de l'équation différentielle $y'=ay$ est une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ de la forme $f(x)=ke^{ax}$ où $k$ est un nombre réel. \\
De plus, $f(x_0)=y_0 ~~\Longleftrightarrow~~ ke^{ax_0}=y_0 ~~\Longleftrightarrow~~ k=y_0\,e^{-ax_0}$ \\
D'où $f(x)=y_0\,e^{-ax_0}e^{ax}=y_0\,e^{a(x-x_0)}$.

\bigskip

\begin{Ex}
   Résolution de l'équation différentielle $y'+2y=0$ dont la solution $f$ vérife $f(0)=1$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Les solutions sont du type $f(x)=ke^{-2x}$ où $k$ est une constante réelle.
      \item $f(0)=1 ~~\Longleftrightarrow~~ ke^{-2\times0}=1 ~~\Longleftrightarrow~~k=1$,
      \item D'où $f(x)=e^{-2x}$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Equations différentielles du type $y''+\omega^2 y=0$}

\subsection{Solution générale}

\begin{Th}
   Soit $y''+\omega^2 y=0$ une équation différentielle linéaires du second ordre à coefficient constant $\omega$ positif.\\
   Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies et deux fois dérivables sur $\R$ vérifiant :
$$f(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$$
où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
\end{Th}

\pagebreak

\begin{Ex}
   Résolution de l'équation différentielle (E) : $y''+4y=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item (E) s'écrit aussi $y''+2^2y=0$, on prend donc $\omega=2$.
      \item Les solutions sont du type $f(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
   \end{dinglist}
      Résolution de l'équation différentielle : $27y''+3y=0$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Cette équation peut s'écrire $y''+\dfrac{3}{27}y=0$,
      \item ou encore $y''+\left(\dfrac13\right)^2y=0$, on prend $\omega=\dfrac13$. 
      \item Les solutions sont du type $f(x)=A\cos(\frac13x)+B\sin(\frac13x)$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
   \end{dinglist}
\end{Ex}

\smallskip

\begin{Rem}
   Il peut arriver que, pour plus de facilité, on doive transformer l'écriture de la solution\\
$f(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$ en $f(x)=K\cos(\omega x+ \varphi)$.\\
   Pour cela, on utilisera la formule de trigonométrie :
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$
\end{Rem}
 
\begin{Ex}
   Soit $f(x)=4\cos\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)$, montrons que $f(x)$ peut aussi s'écrire $2\sqrt3\cos\dfrac{x}{3}+2\sin\dfrac{x}{3}$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Le plus simple est de partir de la forme "factorisée" pour obtenir la forme "développée" :
      \item $4\cos\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)=4\left(\cos \dfrac{x}{3}\cos \dfrac{\pi}{6}+\sin \dfrac{x}{3}\sin \dfrac{\pi}{6}\right)$\\
      \hspace*{2.5cm} $=4\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\cos\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{3}\right)$, donc :
     \item $4\cos\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)=2\sqrt3\cos\dfrac{x}{3}+2\sin\dfrac{x}{3}$. 
   \end{dinglist}
\end{Ex}
 
 
\subsection{Unicité de la solution sous condition initiale}

\begin{Th}
   L'équation différentielle $y''+\omega^2 y=0$ admet une \underline{unique solution} $f$ définie sur $\R$ vérifiant deux conditions initiales données.
\end{Th}

\begin{Rem}
   On aura, en général, des conditions initiales du type :
   $\left\{\begin{array}{l c l}
           f(x_0) & = & y_0\\
           f(x_1) & = & y_1
           \end{array}  \right.$
   ou 
   $\left\{\begin{array}{l c l}
           f(x_0) & = & y_0\\
           f'(x_1) & = & y_1
           \end{array}  \right.$.
\end{Rem}

\bigskip

\begin{Ex}
   On considère l'équation (E) : $4y''+\pi^2y=0$ dont la solution vérifie les conditions initiales $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$.
   Résolution de l'équation différentielle générale :
   \begin{dinglist}{212}
      \item (E) $\Longleftrightarrow y''+\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2y=0$.
      \item Les solutions sont donc : $f(x)=A\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+B\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$.
   \end{dinglist}
   Utilisation de la première condition :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = A\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+B\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = A\dfrac{\sqrt2}{2}+B\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2}(A+B).$
      \item Sachant que $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, on obtient $A+B=1$.
   \end{dinglist}
   Utilisation de la seconde condition :  
   
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f'(x)=-\dfrac{\pi}{2}A\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+\dfrac{\pi}{2}B\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$.
      \item $f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{2}A\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\pi}{2}B\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\pi}{2}A\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\pi}{2}B\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\pi\sqrt2}{4}(-A+B).$
      \item Sachant que $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$, on obtient $-A+B=0$.      
   \end{dinglist}
   Résolution du système d'équations :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\left\{\begin{array}{r c l}
A+B & = & 1\\
-A+B & = & 0
\end{array} \right. $
      \quad \Longleftrightarrow  \quad
      $\left\{\begin{array}{r c l}
A+B & = & 1\\
2B & = & 1
\end{array} \right.$
      \quad \Longleftrightarrow  \quad
      $\left\{\begin{array}{r c l}
A & = & \frac12\\
B & = & \frac12
\end{array} \right.$
   \end{dinglist}
   Conclusion :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $f(x)=\dfrac12\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+\dfrac12\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$.
   \end{dinglist}
\end{Ex}


\textcolor{blue}{
\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item Résoudre l'équation diff\'erentielle : $4y''+y=0$.
      \item Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant 
$\left\{\begin{array}{l c l}
f(\pi) & = & \sqrt{3}\\
f(0)& = & 1.
\end{array}  \right.$
      \item Montrer que cette solution $f$ vérifie, pour
 tout $x$ réel : $f(x)=2\cos\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
      \item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels
 l'équation d'inconnue $x$ : $f(x)=1$; en donner les solutions appartenant à l'intervalle $[~0~;~4\pi~[$.
   \end{enumerate} 
\end{Exo}}

\end{document}