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\lhead[]{\small T^{ale}~STI~GE}
\chead[]{\textsc{Calcul intégral}}
\rhead[]{\small {$2008$-$2009$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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%\def\D{{\mathbb D}}
\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

\pagestyle{fancy}

\theoremstyle{break}
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\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
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\newtheorem{Ex}{Exemple}
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\newshadedtheorem{Def}{Définition}
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\begin{document}

\vspace*{1.5cm}

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{Huge}
      \textcolor{blue}{Calcul intégral}
   \end{Huge}}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}


\tableofcontents

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak

Dans tout le chapitre, $F$ et $G$ sont des primitives respectivement de $f$ et $g$ sur $I$. \\
$a$ et $b$ sont deux points de $I$, bornes incluses.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrale d'une fonction}

\begin{Def}
   Le nombre $F(b)-F(a)$, indépendant du choix de $F$, est appellé \underline{intégrale de $a$ à $b$ de $f$}, il est noté $$\int_a^b f(x)~dx=F(b)-F(a).$$
\end{Def} 

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de l'intégrale : $\displaystyle{\int_2^3~x~dx}$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item Une primitive de $f(x)=x$ est $F(x)=\dotfill$ 
      \item donc, $\displaystyle{\int_2^3~x~dx} =\dotfill$
   \end{dinglist}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Interprétation graphique : calcul d'aire}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aire d'un fonction positive}

\begin{Prop}
   Si $f$ est une fonction positive sur $[~a~;~b~]$, alors $\int_a^b~f(x)~dx$ est égal à l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ exprimé en unité d'aire. (U.A.)
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Ex}
   \begin{multicols}{2}
   Calcul de l'aire du domaine compris entre la courbe d'équation $\dfrac1x$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=\dfrac12$ et $x=4$ dans un repère orthonormé $\Rep$ d'unité graphique $1$ cm : \\  
   .\dotfill \\ 
   .\dotfill \\ 
   .\dotfill \\ 
   .\dotfill \\ 
   .\dotfill \\ 
   .\dotfill \\ 
   \hspace*{2cm}
   \begin{pspicture}(-1,-1)(5,4)
      \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(5,4)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-1)(5,4)
      \psplot[linecolor=red]{0.25}{5}{1 x div}
      %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot{0.5}{4}{1 x div}\psline(4,0.25)(4,0)(0.5,0)(0.5,2)}
   \end{pspicture}
   \end{multicols}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aire d'une fonction négative}

   Si la fonction $f$ est négative, alors la fonction $-f$ est positive et les courbes sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Donc, l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe de $-f$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. \\
   Dans ce cas, $\mathcal{A}=\int\limits_a^b~\left[-f(x)\right]~dx$.

\smallskip

\begin{Ex}
   On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{27}-\dfrac{x^2}{3}$. \\
   
   $f$ est négative sur l'intervalle $[~0~;~9~]$. Pour calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=9$, il suffit de calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $-f$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=9$ : \\
   \begin{multicols}{2}
   \begin{center}
      Graphique de $f$ : \\
      \psset{unit=0.7}
      \begin{pspicture}(-2,-5)(10,2)
         \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-2,-5)(10,2)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-5)(10,2)
         \psplot[linecolor=red]{-2}{9.6}{x 3 exp 27 div x 2 exp 3 div sub}
         %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot{0}{9}{x 3 exp 27 div x 2 exp 3 div sub}\psline(0,0)(9,0)}
         %\uput[90](6,-2.2){\textcolor{blue}{$A_1$}}
      \end{pspicture}
      Graphique de $-f$ : \\
      \begin{pspicture}(-2,-2)(10,5)
         \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(10,5)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(10,5)
         \psplot[linecolor=red]{-2}{9.6}{0 x 3 exp 27 div sub x 2 exp 3 div add}
         %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot{0}{9}{0 x 3 exp 27 div sub x 2 exp 3 div add}\psline(0,0)(9,0)}
         %\uput[90](6,2){\textcolor{blue}{$A_2$}}
      \end{pspicture}        
   \end{center}
   \end{multicols}
   Calcul de l'aire : \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \\
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aire d'une fonction quelconque : découpage d'aire}

Pour calculer l'aire d'un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l'intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.

\bigskip

\begin{Ex}
   \begin{multicols}{2}
   On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-x-2$. On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abcsisses, et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$.
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(-2,-3)(4,6)
         \psaxes{->}(0,0)(-2,-2)(4,5)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(4,5)
         \psplot[linecolor=red]{-2}{3.23}{x 2 exp x sub 2 sub}
         %\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=dotted,fillcolor=lightgray,linecolor=blue]{\psplot{-1}{2}{x 2 exp x sub 2 sub}\psline(2,0)(-1,0)}
         %\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=dotted,fillcolor=gray,linecolor=cyan]{\psplot{2}{3}{x 2 exp x sub 2 sub}\psline(3,4)(3,0)(2,0)}
         %\uput[90](0.5,-1.5){\textcolor{blue}{$A_1$}}
         %\uput[90](2.65,0.5){\textcolor{cyan}{$A_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
   \end{multicols}
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propriétés de l'intégrale}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Relation de Chasles}


\begin{Prop}
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et $b\in[~a~;~c~]$, alors
$$\int_a^c~f(x)~dx=\int_a^b~f(x)~dx+\int_b^c~f(x)~dx.$$
\end{Prop}

\textbf{Interprétation graphique :}

\begin{center}
   \begin{pspicture}(-4,-1)(6,4)
      \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-4,-1)(6,4)
      \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(6,4)
      \psplot[linecolor=red]{-3.4}{5.3}{x 3 exp 2 mul 45 div x 2 exp 5 div sub 3 add}
      %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot{-3}{1}{x 3 exp 2 mul 45 div x 2 exp 5 div sub 3 add}\psline(1,2.84)(1,0)(-3,0)}
      %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linestyle=dotted,linecolor=cyan]{\psplot{1}{5}{x 3 exp 2 mul 45 div x 2 exp 5 div sub 3 add}\psline(5,3.56)(5,0)(1,0)(1,2.84)}
      %\rput(-0.5,1){\textcolor{blue}{$A_1$}}
      %\rput(3,1){\textcolor{cyan}{$A_2$}}
      \rput(-3,-0.3){$a$}
      \rput(1,-0.3){$b$}
      \rput(5,-0.3){$c$}
   \end{pspicture}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Linéarité}

\begin{Prop}
   Soient $f,g:[~a~;~b~]\to\R$ deux fonctions dérivables et $\lambda$ un réel, alors :
   \begin{dinglist}{169}
      \item $\int\limits_a^b~\left[f(x)+g(x)\right]~dx=\int\limits_a^b ~f(x)~dx+\int\limits_a^b~g(x)~dx$.
      \item $\int\limits_a^b~\lambda f(x)~dx=\lambda \int\limits_a^b~f(x)~dx$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d'une intégrale d'une fonction complexe (de type polynôme par exemple) à une succession d'intégrations de fonctions plus élémentaires. \\

\smallskip

\begin{Ex}
   Calcul de l'intégrale : $I=\displaystyle{\int\limits_1^2\left(2x+\dfrac5x\right)~dx $} : \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \vspace*{0.5cm} \\
   .\dotfill \\
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Inégalités}

\begin{Prop}
   Soient $f,g:[~a~;~b~]\to\R$ deux fonctions dérivables.
   \begin{dinglist}{169}
      \item \underline{Inégalité :} si, pour tout $x\in[~a~;~b~]$, on a $f(x)\leq g(x)$, alors $\displaystyle{\int_a^b~f(x)~dx\leq\int_a^b ~g(x)~dx}$.
      \item \underline{Positivité} : si, pour tout $x\in[~a~;~b~]$, on a $f(x)\geq 0$, alors $\displaystyle{\int_a^b~f(x)~dx\geq 0}$.
   \end{dinglist}
\end{Prop}

\smallskip

\begin{Rem}
   La réciproque de la positivité n'est pas forcément vraie, on peut avoit $\int_a^b f(x)dx\geq 0$ sans avoir $f$ positive sur $[~a~;~b~]$ :
   \begin{dinglist}{212}
      \item $\int_0^3 (2x-1)~dx =[x^2-x]_0^3 =6$. Donc, $\int_0^3 (2x-1)~dx\geq 0$.
      \item Cependant, la fonction $x\to 2x-1$ n'est pas positive sur $[~0~;~3~]$.
   \end{dinglist}
\end{Rem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Inéglité de la moyenne}

\begin{Prop}
   Soit $f:[~a~;~b~]\to\R$ une fonction dérivable et $m$ et $M$ deux réels tels vérifiants $m\leq f(x)\leq M$, alors
   $$m(b-a)\leq\int_a^b f(x)~dx\leq M(b-a).$$
\end{Prop}

\smallskip

\begin{multicols}{2}
   \textbf{Interprétation graphique :} \\
   Dans le cas où $f$ est positive sur $[~a~;~b~]$ et où $m\geq 0$, l'aire de la partie égale à $\int_a^b f(x)~dx$ est comprise entre l'aire du rectangle de base $AB$ de hauteur $m$ et l'aire du rectangle de base $AB$ de hauteur $M$. \\
   \hspace*{2cm}
   \psset{unit=0.85}
   \begin{pspicture}(-1,0)(4,4)
      \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1,0)(4,4)
      \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-1,0)(4,4)
      \psplot[linecolor=red]{-1}{4}{2 x add 180 mul 3.14 div sin 2 add}
      %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot{-1}{4}{2 x add 180 mul 3.14 div sin 2 add}\psline(4,2.8)(4,0)(-1,0)(-1,2.9)}
      %\rput(-1.5,1){$m$}
      %\psline(-1,1)(4,1)
      \rput(-1.5,3){$M$} 
      %\psline(-1,3)(4,3) 
      \rput(-1.1,-0.4){$A$}
      \rput(4,-0.4){$B$}               
   \end{pspicture}
\end{multicols}

\smallskip

\begin{Def}
   Soit $f:[~a~;~b~]\to\R$ une fonction dérivable. Si $a\not=b$, on appelle \underline{valeur moyenne}
de $f$ sur $[~a~;~b~]$ le nombre réel $\mu_f$ défini par   
   $$\mu_f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)~dx.$$
\end{Def}

\smallskip

\textbf{Interprétation graphique :} \\
   La droite d'équation $y=\mu_f$ est la droite horizontale telle l'aire des partie de plan délimitées par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ d'une part et les courbes d'équation $y=f(x)$ et $y=m_f$ soient de même valeur. \\

\begin{Ex}
   La valeur moyenne sur $[~0~;~1~]$ de la fonction carré est : \\ \vspace*{0.2cm}
   .\dotfill

\end{document}
 