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\lhead[]{\small $T$^{ale} STI}
\chead[]{\textsc{Probabilités}}
\rhead[]{\small {Lundi $06$ octobre $2008$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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\theoremstyle{break}
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\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7} 


\begin{document}

%\vspace*{1cm} % _______________%_____SUJET 

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Devoir Surveillé n°$2$
   \end{LARGE}}
\end{center}

\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 
%\baselineskip 13pt
\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
   Une urne contient six billets numérotés de $1$ à $6$. \\
   On tire au hasard deux billets successivement et sans remise. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. 
   \begin{enumerate}
      \item Chaque tirage peut être modélisé par un couple $(a~;~ b)$ de deux nombres distincts. Par exemple le tirage du billet numéroté $3$ suivi du billet numéroté $5$ sera noté $(3~;~5)$. 
      \begin{enumerate}
         \item A l'aide d'un arbre ou d'un tableau, justifier qu'il y a $30$ couples possibles. 
         \item Soit $A$ l'évènement : \og les deux numéros tirés sont pairs \fg{}. Vérifier que la probabilité de $A$ est égale à $\frac{1}{5}$.
         \item Calculer la probabilité de l'évènement $B$ : \og au moins l'un des numéros est impair \fg{}.
      \end{enumerate}
      \item Soit $D$ la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres du couple. Ainsi au couple $(3~;~5)$ comme au couple $(5~;~3)$ la variable aléatoire $D$ associe le réel $5-3=2$.
      \begin{enumerate}
         \item Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $D$ ? 
         \item Calculer les probabilités $P(D=1)$ et $P(D=3)$. 
         \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$. 
         \item Calculer l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire $D$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate} 
\end{Exo}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
   Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux types de pannes \og a \fg{} ou \og b \fg{}. On admettra que $5~\%$ des appareils sont concernés par la panne \og a \fg{}, $3~\%$ par la panne \og b \fg{} et $1~\%$ par les deux. On prélève au hasard un appareil dans la production. On note $A$ l'évènement : l'appareil présente la panne \og a \fg{} et $B$ l'évènement : l'appareil  présente la panne \og b \fg{}. \\
   \textbf{I. Première partie}
   \begin{enumerate}
      \item Montrer que la probabilité pour cet appareil de présenter la panne  \og a \fg{} ou la panne \og b \fg{} est $0,07$.
      \item Quelle est la probabilité pour cet appareil de présenter la panne \og a \fg{} et pas la panne \og b \fg{}?
      \item Quelle est la probabilité pour cet appareil de ne présenter aucune des deux pannes ?
   \end{enumerate}
   \textbf{II. Deuxième partie}\\
   L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un co\^ut de fabrication de $200$ euros. La réparation d'une panne \og a \fg{} coûte  $60$ euros à l'entreprise, la réparation d'une panne \og b \fg{} coûte $40$ euros et la réparation des deux pannes coûte $100$ euros. \\
   On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque appareil, associe  son prix de revient total (coût de fabrication et coût de la réparation éventuelle).
   \begin{enumerate}
      \item Quelles sont les valeurs prises par la variable 
aléatoire $X$ ?
      \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
      \item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
      \item Que représente $E(X)$ pour l'entreprise ?
   \end{enumerate}
\end{Exo} 

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
   Un sac contient des boules indiscernables au toucher : $1$ boule rouge, $3$ boules jaunes et $n$ boules noires. ($n$ désigne un entier naturel strictement positif). Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit $5$ euros, si la boule est jaune, il reçoit $2$ euros et si la boule est noire, il reçoit $1$ euro. Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant $1,70$ euros. \\
On note $X_n$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur c’est à dire la somme reçue diminuée du prix du billet.
   \begin{enumerate}
      \item Dans cette question seulement, on suppose $n=6$.
      \begin{enumerate}
         \item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X_6$ ?
         \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_6$.
         \item Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X_6$.
      \end{enumerate}
      Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que l’entier naturel $n$ est quelconque.
      \item Étude de la variable aléatoire $X_n$.
      \begin{enumerate}
         \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_n$.
         \item Déterminer en fonction de $n$ l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X_n$.
         \item Le club souhaite que l’espérance de $X_n$ soit strictement négative. Quel doit être le nombre minimal de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ? 
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Exo}


\pagebreak %____%________%_CORRECTION %_______%______%____%


\setcounter{Exo}{0}
\begin{small}
\baselineskip 15pt

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      Correction du devoir surveillé n°$2$
   \end{LARGE}}
\end{center}

\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item arbre de probabilité : \\
         \psset{nodesep=3mm,levelsep=6cm,treesep=3mm}
         \pstree[treemode=R]{{\Tc*{1mm}}}
           {\pstree{\Tr{$1$}}
              {\Tr{$2 \qquad D=1$} \Tr{$3 \qquad D=2$} \Tr{$4 \qquad D=3$} \Tr{$5 \qquad D=4$} \Tr{$6 \qquad D=5$}}
              \pstree{\Tr{$2$}}
              {\Tr{$1 \qquad D=1$} \Tr{$3 \qquad D=1$} \Tr{$4 \qquad D=2$} \Tr{$5 \qquad D=3$} \Tr{$6 \qquad D=4$}}
              \pstree{\Tr{$3$}}
              {\Tr{$1 \qquad D=2$} \Tr{$2 \qquad D=1$} \Tr{$4 \qquad D=1$} \Tr{$5 \qquad D=2$} \Tr{$6 \qquad D=3$}}
              \pstree{\Tr{$4$}}
              {\Tr{$1 \qquad D=3$} \Tr{$2 \qquad D=2$} \Tr{$3 \qquad D=1$} \Tr{$5 \qquad D=1$} \Tr{$6 \qquad D=2$}}
              \pstree{\Tr{$5$}}
              {\Tr{$1 \qquad D=4$} \Tr{$2 \qquad D=3$} \Tr{$3 \qquad D=2$} \Tr{$4 \qquad D=1$} \Tr{$6 \qquad D=1$}}
            \pstree{\Tr{$6$}}
              {\Tr{$1 \qquad D=5$} \Tr{$2 \qquad D=4$} \Tr{$3 \qquad D=3$} \Tr{$4 \qquad D=2$} \Tr{$5 \qquad D=1$}} } \\
            
            Tableau : 
            \begin{center}
            \begin{tabular}{|*{7}{C{1}|}}
               \hline
               & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\
               \hline
               $1$ & & $(1;2)$ $D=1$ & $(1;3)$ $D=2$ & $(1;4)$ $D=3$ & $(1;5)$ $D=4$ & $(1;6)$ $D=5$ \\
               \hline
               $2$ & $(2;1)$ $D=1$ & & $(2;3)$ $D=1$ & $(2;4)$ $D=2$  & $(2;5)$ $D=3$ & $(2;6)$ $D=4$ \\
              \hline
               $3$ & $(3;1)$ $D=2$ & $(3;2)$ $D=1$ & & $(3;4)$ $D=1$ & $(3;5)$ $D=2$ & $(3;6)$ $D=3$ \\
               \hline
               $4$ & $(4,1)$ $D=3$ & $(4;2)$ $D=2$ & $(4;3)$ $D=1$ & & $(4;5)$ $D=1$ & $(4;6)$ $D=2$ \\
               \hline                                                        
               $5$ & $(5,1)$ $D=4$ & $(5;2)$ $D=3$ & $(5;3)$ $D=2$ & $(5;4)$ $D=1$ & & $(5;6)$ $D=1$ \\
               \hline
               $6$ & $(6,1)$ $D=5$ & $(6;2)$ $D=4$ & $(6;3)$ $D=3$ & $(6;4)$ $D=2$ & $(6;5)$ $D=1$ & \\
               \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
            Il y a donc bien $6\times 5=30$ couples possibles.
            
         \item $P(A)=\dfrac{6}{30}=\dfrac15$.
         \item $B=\overline{A}$ donc : $P(B)=P(\overline{A})=1-P(A) =1-\dfrac15 =\dfrac45$.
      \end{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item $D$ peut prendre les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$.
         \item $P(D=1)=\dfrac{10}{30}=\dfrac13$ et $P(D=3)=\dfrac{6}{30}=\dfrac15$. 
         \item Loi de probabilité de la variable aléatoire $D$ : \\
            \begin{center}
            \begin{tabular}{|*{6}{C{2}|}}
               \hline 
               $d_i$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\
               \hline
               $P(D=d_i)$ & $\dfrac13$ & $\dfrac{4}{15}$ & $\dfrac15$ & $\dfrac{2}{15}$ & $\dfrac{1}{15}$ \\
               \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
         \item $E(D)=\sum\limits_{i=1}^5 d_iP(D=d_i) =1\times\dfrac13+2\times\dfrac{4}{15}+3\times\dfrac{1}{5}+4\times\dfrac{2}{15}+5\times\dfrac{1}{15} =\dfrac73$. \\
            $V(D)=\sum\limits_{i=1}^5 d_i^2P(D=d_i)-E^2(x) =1^2\times\dfrac13+2^2\times\dfrac{4}{15}+3^2\times\dfrac{1}{5}+4^2\times\dfrac{2}{15}+5^2\times\dfrac{1}{15}-\left(\dfrac73\right)^2 =\dfrac{14}{9}$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate} 
\end{Exo}

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
   \textbf{I. Première partie}
   \begin{enumerate}
      \item $P(A\cup B) =P(A)+P(B)-P(A\cap B) =0,05+0,03-0,01=0,07$.
      \item $P(A\cap \overline{B}) =P(A)-P(A\cap B) =0,05-0,01 =0,04$.
      \item $P(\overline{A}\cap \overline{B}) =P(\overline{A\cup B}) =1-P(A\cup B) =1-0,07=0,93$.
   \end{enumerate}
   \textbf{II. Deuxiéme partie}
   \begin{enumerate}
      \item $X$ peut prendre les valeurs $200$, $240$, $260$ et $300$.
      \item Loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ : \\
         \begin{center}
         \begin{tabular}{|*{5}{C{2}|}}
            \hline 
            $x_i$ & $200$ & $240$ & $260$ & $300$ \\
            \hline
            $P(X=x_i)$ & $0,93$ & $0,02$ & $0,04$ & $0,01$ \\
            \hline
         \end{tabular}
         \end{center}
      \item $E(X)=\sum\limits_{i=1}^4 x_iP(X=x_i) =200\times0,93+240\times0,02+260\times0.04+300\times0,01 =204,2$. \\
      \item Ce nombre signifie que le coût moyen de fabrication d'un appareil est de $204,20$ euros.
   \end{enumerate}
\end{Exo} 

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item $X_6$ peut prendre les valeurs $-0,70$; $0,30$ et $3,30$.
         \item Loi de probabilité de la variable a aléatoire $X_6$ : \\
            \begin{center}
            \begin{tabular}{|*{4}{C{2}|}}
               \hline 
               $x_i$ & $-0,70$ & $0,30$ & $3,30$ \\
               \hline
               $P(X_6=x_i)$ & $0,6$ & $0,3$ & $0,1$ \\
               \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
         \item $E(X_6)=\sum\limits_{i=1}^4 x_iP(X_6=x_i) =-0,7\times0,6+0,3\times0,3+3,3\times0,1 =0$. \\
      \end{enumerate}
      \item
      \begin{enumerate}
         \item Loi de probabilité de la variable aléatoire $X_n$ : \\
            \begin{center}
            \begin{tabular}{|*{4}{C{2}|}}
               \hline 
               $x_i$ & $-0,70$ & $0,30$ & $3,30$ \\
               \hline
               $P(X_n=x_i)$ & $\dfrac{n}{n+4}$ & $\dfrac{3}{n+4}$ & $\dfrac{1}{n+4}$ \\
               \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
         \item $E(X_n)=\sum\limits_{i=1}^4 x_iP(X-n=x_i) =-0,7\times\dfrac{n}{n+4}+0,3\times\dfrac{3}{n+4}+3,3\times\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{-0,7n+4,2}{n+4}$. \\
         \item On doit avoir $\dfrac{-0,7n+4,2}{n+4}<0 \Longleftrightarrow -0,7n+4,2<0$ puisque $n+4$ est positif. \\
            Ce qui donne $n>6$. Donc, le club doit mettre au moins $7$ boules noires pour que l'espérance soit négative.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{small}

\end{document}