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\lhead[]{\small $T$^{ale} STI~GE}
\chead[]{\textsc{Limites}}
\rhead[]{\small {Vendredi $24$ octobre $2008$}}
\lfoot{\small \url{http://nathalie.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

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\theoremstyle{break}
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\renewcommand{\arraystretch}{2} 


\begin{document}
 % _______________%_____SUJET 

\begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
         Devoir surveillé n°3
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parindent}{0cm} 
\baselineskip 17pt
\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
\vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Exo}
   Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la limite demandée puis en déduire l'existence ou non d'asymptotes.
   \begin{enumerate}
      \item $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-3+5x^5-x^2$. \\
         Déterminer \quad $\lim\limits_{x\to -2}~f(x)$ \quad et \quad  $\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)$.    
       \item $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\sqrt{x^2-x-\pi}$. \\
         Déterminer \quad $\lim\limits_{x\to -\infty}~g(x)$ \quad et \quad  $\lim\limits_{x\to-\pi}~g(x)$. 
      \item $h$ est la fonction définie sur $]~-\infty~;~1~[$ par $h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$. \\
         Déterminer \quad $\lim\limits_{x\to 1}~f(x)$ \quad et \quad  $\lim\limits_{x\to-\infty}~h(x)$.
   \end{enumerate}
\end{Exo}

\medskip

\begin{Exo}
  On considère une fonction $f$ définie sur $]~0~;+\infty~[$ dont on connait la courbe représentative $\mathcal{C}$ ci-après dans un reprère orthonormal $\Rep$ d'unités $1$ cm. La droite $\mathcal{D}$ a également été représentée.
  \begin{center}
   \psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture}(-1,-2)(7,7)
      \psgrid[griddots=4,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-1,-2)(7,7)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-2)(7,7)     
      \psplot[linecolor=red]{0.275}{6.7}{x 3 x div add -1 x x mul div add}
      \rput(5,6.5){\textcolor{red}{$\mathcal{C}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,0)(7,7)
      \rput(6.5,5.8){\textcolor{blue}{$\mathcal{D}$}}
      \psdot(0.33,0.33)
      \rput(0.7,0.3){$K$}
  \end{pspicture}
  \end{center}
  \textbf{Partie A - Exploitation du graphique.} \\
  On suppose que le droite $\mathcal{D}$ et l'axe des ordonnées sont des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.
  \begin{enumerate}
     \item Donner $\lim\limits_{x\to 0}~f(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)$.
     \item Quelles sont les équations des asymptotes à la courbe ?
     \item Le point $K\left(~\dfrac13~;~\dfrac13~\right)$ est le point commun à $\mathcal{C}$ et à $\mathcal{D}$. D'après la représentation graphique, quelle est en focntion de $x$, la position de la courbe par rapport à la droite ?
  \end{enumerate}
  \textbf{Partie B - Justification des observations graphiques.} \\
  La fonction $f$ est définie pour $x>0$ par : $f(x)=x+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}$.
  \begin{enumerate}
     \item 
     \begin{enumerate}
        \item Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)$, puis $\lim\limits_{x\to+\infty}~[f(x)-x]$ et justifier le fait que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
        \item En étudiant le signe de $f(x)-x$, retrouver les résultats de la question A.$3$.
     \end{enumerate}
     \item
     \begin{enumerate}
        \item Démontrer que, pour tout $x$ strictement positif, $f(x)$ peut s'écrire : $f(x)=\dfrac{x^3+3x-1}{x^2}$.
        \item Calculer $\lim\limits_{x\to 0}~f(x)$ et justifier le fait que l'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}$.
     \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Exo}


\pagebreak %____%________%_CORRECTION %_______%______%____%


\setcounter{Exo}{0}

\begin{large}
\baselineskip 22pt

\begin{center}
   \shadowbox{Correction du DS n°3}
\end{center}


\begin{Exo}
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{itemize}
         \item $\lim\limits_{x\to -2}~f(x) =-2-3+5(-2)^5-(-2)^2 =$\fbox{$-169$} \\        
         \item $\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)$ est une forme indéterminée du type \og $\infty-\infty$ \fg{}. \\
            On factorise par $x^5$ : $f(x)=x^5\left(\dfrac{1}{x^4}-\dfrac{3}{x^5}+5-\dfrac{1}{x^3}\right)$. \\
           $\Lim{\lim\limits_{x\to+\infty}~x^5=+\infty}{\lim\limits_{x\to+\infty}~\left(\dfrac{1}{x^4}-\dfrac{3}{x^5}+5-\dfrac{1}{x^3}\right)=5}$ par somme : \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)=+\infty$} \\
        \item Ces limites ne nous permettent pas d'identifier des asymptotes. \\
      \end{itemize}  
       \item 
       \begin{itemize}
         \item $\lim\limits_{x\to -\infty}~(x^2-x-\pi)=+\infty$. \quad Or, $\lim\limits_{X\to +\infty}~\sqrt X=+\infty$. \\
         Donc, \fbox{$\lim\limits_{x\to -\infty}~g(x)=+\infty$} \\
         \item $\lim\limits_{x\to -\pi}~(x^2-x-\pi)=\pi^2$. \quad Or, $\lim\limits_{X\to \pi^2}~\sqrt X=\pi$. \\
         Donc, \fbox{$\lim\limits_{x\to -\pi}~g(x)=\pi$} \\
        \item Ces limites ne nous permettent pas d'identifier des asymptotes. \\
      \end{itemize} 
      \item 
      \begin{itemize}
         \item $\Lim{\lim\limits_{x\to 1^-}~2x+1=3}{\lim\limits_{x\to 1^-}~x-1=0^-}$ par quotient, \fbox{$\lim\limits_{x\to 1^-}~h(x)=-\infty$} \\
         \item $\lim\limits_{x\to-\infty}~f(x)$ est une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{}. \\
            On factorise : $f(x) =\dfrac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)} =\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$. \\
           $\Lim{\lim\limits_{x\to-\infty}~\left(2+\dfrac{1}{x}\right)=2}{\lim\limits_{x\to-\infty}~\left(1-\dfrac{1}{x}\right)=1}$ par quotient : \fbox{$\lim\limits_{x\to -\infty}~h(x)=2$} \\
        \item On a donc deux asymptotes : \\
           \fbox{la droite d'équation $x=1$ qui est asymptote verticale à la courbe} \\
           \fbox{la droite d'équation $y=2$ qui est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$}
      \end{itemize}
   \end{enumerate}  
\end{Exo}

\pagebreak

\begin{Exo}
  \textbf{Partie A.}
  \begin{enumerate}
     \item \fbox{$\lim\limits_{x\to 0}~f(x)=-\infty$} et \fbox{$\lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty$} \\
     \item Les asymptotes ont pour équation \fbox{$x=0$} et \fbox{$y=x$} \\
     \item Sur $\left]~0~;~\dfrac13~\right[$, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la droite $\mathcal{D}$, \\
        Sur $\left]~\dfrac13~;~+\infty~\right[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$. \\
  \end{enumerate}
  \textbf{Partie B.} \\
  \begin{enumerate}
     \item 
     \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{itemize}
           \item $\Limite{\lim\limits_{x\to+\infty}~x=+\infty}{\lim\limits_{x\to+\infty}~\dfrac{3}{x}=0}{\lim\limits_{x\to+\infty}~\dfrac{-1}{x^2}=0}$ donc, par somme \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)=+\infty$} \\         
           \item $f(x)-x=\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}$. \\
              Or, on vient de voir que $\lim\limits_{x\to+\infty}~\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=0$ donc, \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty}~[f(x)-x] =0$} \\ 
              \fbox{La droite $\mathcal{D}$ est donc asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$} \\
        \end{itemize}
        \item $f(x)-x=\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{3x-1}{x^2}$. \\
           $x^2$ est toujours positif, le signe de $f(x)-x$ est donc celui de $3x-1$ d'où : \\
           Sur $\left]~0~;~\dfrac13~\right[$, $f(x)-x<0$ et la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la droite $\mathcal{D}$, \\
        Sur $\left]~\dfrac13~;~+\infty~\right[$, $f(x)-x>0$ etla courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}.$ \\
     \end{enumerate}
     \item
     \begin{enumerate}
        \item $f(x) =\dfrac{x^3}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2} =\dfrac{x^3+3x-1}{x^2}$. \\
        \item $\Lim{\lim\limits_{x\to 0}~x^3+3x-1=-1}{\lim\limits_{x\to 0}~x^2=0^+}$ donc : \fbox{$\lim\limits_{x\to 0}~f(x)=-\infty$} \\
           d'où, \fbox{la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$}
     \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{large}

\end{document}