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\pagestyle{empty}

\theoremstyle{break}
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%\newframedtheorem{Def}{Définition}

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\begin{document}

\setlength{\parindent}{0cm} 
%\baselineskip 20pt
\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}

%%%%%%%% Page de présentation %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{1cm}

\begin{center}
\begin{LARGE}
\begin{tabular}{|C{18}|}
   \hline
   \\
   \textbf{BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE} \\
   \\
   \textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES} \\
   \\
   \hline
\end{tabular}

\vspace*{1cm}

Génie Civil

Génie \'Energétique

\vspace*{1cm}

\textbf{BAC BLANC MATH\'EMATIQUES}

\vspace*{1cm}

Durée : $4$ heures \hfill Coefficient : $4$

\end{LARGE}

\psline(-9,0)(9,0)

\vspace*{2cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.  \\
\vspace*{0.8cm}
Le formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. \\
\vspace*{0.8cm}
Le sujet comporte $2$ exercices et $1$ problème indépendants pour un total de $4$ pages. \\
\vspace*{0.8cm}
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}


\pagebreak

%%%%%%%% EXERCICES 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4,5 points} \\
\psline(0,0)(18,0)

 Soit $P$ la fonction polynôme définie sur $\R$ par :
   $$P(x)=2x^3-7x^2-5x+4.$$
   \begin{enumerate}
      \item Calculer $P(-1)$.
      \item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : 
         $$P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c).$$
      \item Résoudre $P(x)=0$.
      \item En déduire les solutions sur $\R$ des équations :
      \begin{enumerate}
         \item $2(\sin x)^3-7(\sin x)^2-5\sin x+4=0$.
         \item $2(\ln x)^3-7(\ln x)^2-5\ln x+4=0$.
      \end{enumerate}  
   \end{enumerate}

\vspace*{1cm}

%%%%%%%% EXERCICE 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4,5 points}\\
\psline(0,0)(18,0)

Une entreprise produit des objets qu'elle destine \`a la vente. Ces objets peuvent pr\'esenter deux types de d\'efauts :
\begin{itemize}
   \item le d\'efaut S de nature esth\'etique ;
   \item le d\'efaut F de fonctionnement.
\end{itemize} \\

Un objet est d\'eclar\'e parfait s'il ne pr\'esente aucun des deux d\'efauts.

\begin{enumerate}
   \item  On pr\'el\`eve un lot de $200$ objets sur la production et on constate que : 
   \begin{itemize}
      \item le d\'efaut S est observ\'e sur $16$ objets;
      \item le d\'efaut F est observ\'e sur $12$ objets;
      \item $180$ objets sont d\'eclar\'es parfaits.
   \end{itemize}
   Recopier et compl\'eter le tableau suivant : \\

   \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
      \multicolumn{1}{c|}{} & Avec le d\'efaut F & Sans le d\'efaut F & Total \\
      \hline
      Avec le d\'efaut S &	& &	$16$ \\
      \hline
      Sans le d\'efaut S &	& & \\
      \hline
      Total & & & $200$ \\
      \hline
      \end{tabularx} \\

   On admet que la r\'epartition des deux types de d\'efauts, observ\'ee dans le lot de $200$ objets pr\'elev\'es, refl\`ete celle de l'ensemble de la production. On admet \'egalement que tout objet produit est vendu. On sait en outre que le co\^ut de fabrication d'un objet est de $200$ \euro.
   \item Dans cette question, le prix de vente de l'objet est fix\'e \`a $250$ \euro. \\
   Si l'objet pr\'esente le seul d\'efaut S, l'entreprise accorde au client une r\'eduction de $15\:\%$ du prix. \\
   Si l'objet pr\'esente le seul d\'efaut F, l'entreprise r\'ealise les r\'eparations \`a ses frais pour un co\^ut de $45$ \euro. \\
   Si l'objet pr\'esente les deux d\'efauts, l'entreprise r\'ealise les r\'eparations \`a ses frais pour un co\^ut de $58$ \euro. \\
   On note X la variable al\'eatoire qui, \`a chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le b\'en\'efice alg\'ebrique, en euros, r\'ealis\'e par l'entreprise \`a la vente de cet objet.
   \begin{enumerate}
      \item Justifier le fait que X prend les valeurs (exprim\'ees en euros) : $50$ ; $12,50$ ; $5$ et $- 8$.
	  \item D\'emontrer que la probabilit\'e pour qu'un objet pr\'esente le seul d\'efaut S est $0,04$.
	  \item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire X (On pourra repr\'esenter les r\'esultats dans un tableau.)
		\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique E(X) de la variable al\'eatoire X. Que repr\'esente E(X) pour l'entreprise ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

%%%%%%%% PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 11 points}\\
\psline(0,0)(18,0)

Ce probl\`eme a pour but de montrer un exemple de courbes repr\'esentatives de deux fonctions qui sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux  courbes.

\vspace{0,4cm}

\noindent \textbf{Partie A : D\'etermination d'une fonction}

   On consid\`ere la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ d\'efinie sur $]~0~;~+\infty~[$, dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthogonal d'unit\'es  graphiques $2$ cm en abscisse et $1,5$ cm en ordonn\'ee. \\
   Cette courbe est repr\'esent\'ee sur le document fourni en dernière page. \\
   Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses ont pour  coordonn\'ees respectives $(1;0)$ et $(3;0)$.
   \begin{enumerate}
      \item Soient $a$ et $b$ deux nombres r\'eels tels que, pour tout r\'eel $x~\in ]~0~;~+\infty~[,~g(x) =\dfrac{x^2+ax+b}{x}$. \\
      En utilisant les coordonn\'ees des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, d\'eterminer les nombres $a$ et $b$.
      \item Montrer que $g(x)$ peut s'\'ecrire : $g(x) =x-4+\dfrac{3}{x}$.

\vspace{0,4cm}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B : \'Etude d'une fonction auxiliaire}

   Soit la fonction $h$ d\'efinie sur $]~0~;~+\infty~[$ par  : $h(x) =x^2+1-2\ln x$.
   \begin{enumerate}
      \item Montrer que $h'(x) =\dfrac{2x^2-2}{x}$ puis dresser le tableau de variation de $h$ (sans les limites).
      \item Calculer $h(1)$. En d\'eduire que $h(x)$ est strictement positif pour tout nombre r\'eel $x$ de $]~0~;~+\infty~[$.
   \end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\textbf{Partie C : \'Etude de fonction}

   On d\'efinit la fonction $f$ sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par : 
   $$f(x) =x-4+\dfrac{1+2\ln x}{x}.$$
   On appellera $\Gamma$ la courbe repr\'esentative de $f$ dans le rep\`ere orthogonal $\Rep$.
   \begin{enumerate}
      \item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers z\'ero. En d\'eduire que $\Gamma$ admet une asymptote que l'on pr\'ecisera.
      \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
      \item Pour tout $x$ de $]~0~;~+\infty~[$ montrer que $f'(x) =\dfrac{h(x)}{x^2}$. En d\'eduire le tableau  de variations de $f$.
      \item Courbes asymptotes. On rappelle que $g(x) =x-4+\dfrac{3}{x}$.
      \begin{enumerate}
         \item Calculer la limite en $+ \infty$ de $[f(x)-g(x)]$. Interpr\'eter graphiquement ce r\'esultat.
         \item Sur $]~0~;~+\infty~[$ d\'eterminer la position de la courbe $\Gamma$ par rapport \`a la courbe $\mathcal{C}$.
         \item En déduire les coordonn\'ees du point d'intersection $I$ des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.         
      \end{enumerate}
      \item Construire la courbe $\Gamma$ et le point $I$ sur la dernière page que l'on rendra avec la copie.
   \end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\textbf{Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes}

   \begin{enumerate}
      \item Montrer que $f(x)-g(x)$ admet pour primitive sur $]~0~;~+\infty~[$ la  fonction $K$ d\'efinie par :
      $$K(x) = (\ln x - 1)^2.$$
      \item Sur le document fourni en dernière page, hachurer l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre les deux courbes et les droites d'\'equations $x =\text{e}$ et $x=\text{e}^2$.
      \item Calculer la valeur de cette aire en cm$^2$. \\ (~On rappelle que $\displaystyle{\mathcal{A} =\int_e^{e^2}[f(x)-g(x)]~dx =K(e^2)-K(e)}$ unités d'aire).
   \end{enumerate}

\pagebreak

%%%%%%%% GRAPHIQUE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Graphique du problème. \\
\psline(0,0)(18,0)

\vspace*{1cm}

NOM : \dotfill

\vspace*{1cm}

\begin{center}
\hspace{5cm}\textbf{Document \`a rendre avec la copie}
\vspace*{1cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(9,7)
   \psaxes{->}(0,0)(0,-5)(9,7)
   \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10]
   \uput[dl](0,0){O}
   \uput[d](9.7,0){$x$}
   \uput[l](0,6.7){$y$}
   \psplot[plotpoints=300]{0.28}{9}{3 x  div x add 4 sub}
   \uput[u](8.5,4.3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

%%%%%%%% CORRECTION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\setcounter{Exo}{0}

\baselineskip 20pt

\begin{large}\begin{center}
   \shadowbox{Correction du BAC BLANC}
\end{center}\end{large}

%%%%%%%% CORRECTION EXERCICE 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4,5 points} \\
\psline(0,0)(18,0)

 \begin{enumerate}
      \item On remplace $x$ par $-1$ dans $P$ et on obtient : \fbox{$P(-1)=0$} \\  
      \item $(x+1)(ax^2+bx+c) =ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$ \\
         Soit : $P(x) =ax^3+(b+a)x^2+(c+b)x+c$ \\
         Or, $P(x) =2x^3-7x^2-5x+4$ \\
         Donc, par identification des coefficients, on obtient : \\
            $\left\{\begin{array}{l}
               a=2 \\ b+a=-7 \\ c+b=-5 \\ c=4 \end{array}\right.\qquad \Longrightarrow \qquad \fbox{\left\{\begin{array}{l}
               a=2 \\ b=-9 \\ c=4 \end{array}\right}$ \\
      \item $P(x)=0 \Longleftrightarrow (x+1)(2x^2-9x+4)=0$. \\
      Un produit de facteurs est nul ssi l'un des facteurs est nul, soit :
         \begin{itemize}
            \item $x+1=0$ \quad donc \quad $x=-1$, \quad ou
            \item $2x^2-9x+4=0$ \quad : \quad $\Delta =b^2-4ac =(-9)^2-4\times 2\times 4 =49$. \\
            Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
            \begin{multicols}{2}
               $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{9-7}{2\times 2}=\dfrac12$ \\
               $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{9+7}{2\times 2}=4$
            \end{multicols}
         \end{itemize}
         Conclusion : \fbox{$\mathcal{S}=\left\{~-1~;~\dfrac12~;~4~\right\}$} \\
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item Dans $2(\sin x)^3-7(\sin x)^2-5\sin x+4=0$, si on pose $X=\sin x$, on obtient $2X^3-7X^2-5X+4=0$. \\
            Or, les solutions de cette dernière équation sont :      
         \begin{itemize}
            \item $X=-1$ \quad soit \quad  $\sin x =-1$ \quad donc \quad  $x=-\dfrac{\pi}{2}+k\times 2\pi$, \quad $k\in\Z$,
            \item $X=\dfrac12$ \quad soit \quad $\sin x=\dfrac12$ \quad donc \quad $x=\dfrac{\pi}{6}+k\times 2\pi$ \quad ou \quad $x=\dfrac{5\pi}{6}+k\times 2\pi$, \quad $k\in\Z$,
            \item  $X=4$ \quad soit \quad $\sin x=4$ \quad ce qui n'est pas possible.
         \end{itemize}
         Conclusion : \fbox{$\mathcal{S}=\left\{~-\dfrac{\pi}{2}+k\times 2\pi~;~\dfrac{\pi}{6}+k\times 2\pi~;~\dfrac{5\pi}{6}+k\times 2\pi~\right\}$} \\
         \item Dans $2(\ln x)^3-7(\ln x)^2-5\ln x+4 =0$, si on pose $X=\ln x$, on obtient $2X^3-7X^2-5X+4 =0$. \\
            Or, les solutions de cette dernière équation sont :      
         \begin{itemize}
            \item $X=-1$ \quad soit \quad  $\ln x =-1$ \quad donc \quad $x =e^{-1}$,
            \item $X=\dfrac12$ \quad soit \quad $\ln x =\dfrac12$ \quad donc \quad $x =e^{\frac12}$,
            \item  $X=4$ \quad soit \quad $\ln x =4$ \quad donc \quad $x =e^4$.
         \end{itemize}
         Conclusion : \fbox{$\mathcal{S}=\left\{~\dfrac1e~;~\sqrt{e}~;~e^4\right\}$}
      \end{enumerate}  
   \end{enumerate}

\pagebreak
%%%%%%%% CORRECTION EXERCICE 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4,5 points}\\
\psline(0,0)(18,0)


\begin{enumerate}
   \item Tableau récapitulatif : \\
      \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
         \multicolumn{1}{c|}{} & Avec le d\'efaut F & Sans le d\'efaut F & Total \\
         \hline
         Avec le d\'efaut S & $8$ \quad \tiny{($X =-8$)} & $8$ \quad \tiny{($X =+12,5$)} & $16$ \\
         \hline
         Sans le d\'efaut S & $4$ \quad \tiny{($X =5$)} & $180$ \quad \tiny{($X =50$)} & $184$ \\
         \hline
         Total & $12$ & $188$ & $200$ \\
         \hline
      \end{tabularx} \\ 
      \\
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item
      \begin{itemize}
         \item Si l'objet n'a aucun d\'efaut, le prix de vente est de $250$ \euro{} et le coût de fabrication $200$ \euro{}. \\
            Donc, le bénéfice est de $X =250-200=50$ \euro{}. \\
         \item Si l'objet pr\'esente le seul d\'efaut S, le prix de vente est de $250\times0,85=212,50$ \euro{} et le coût de fabrication $200$ \euro{}. \\
            Donc, le bénéfice est de $X =212,5-200=12,5$ \euro{}. \\
         \item Si l'objet pr\'esente le seul d\'efaut F, le prix de vente est de $250$ \euro{} et le coût de fabrication $200+45 =245$ \euro{}. \\
            Donc, le bénéfice est de $X =250-245 =5$ \euro{}. \\
         \item Si l'objet pr\'esente les deux défauts S et F, le prix de vente est de $250$ \euro{} et le coût de fabrication $200+58 =258$ \euro{}. \\
            Donc, le bénéfice est de $X =250-258 =-8$ \euro{}. \\
      \end{itemize}
      Conclusion : \fbox{$X$ prend les valeurs $50$; $12,5$; $5$ et $-8$} \\
	  \item $P(S\cap\overline{F}) =\dfrac{8}{200} =\dfrac{1}{25}$ d'où \fbox{$P=0,04$} \\
	  \item Loi de probabilité de $X$ :
	     \begin{center}
	     \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
	        \hline
	        $x_i$ & $50$ & $12,5$ & $5$ & $-8$ \\
	        \hline
	        $P(X=x_i)$ & $\frac{180}{200}$ & $\frac{8}{200}$ & $\frac{4}{200}$ & $\frac{8}{200}$ \\
	        \hline
	        $P(X=x_i)$ & $0,90$ & $0,04$ & $0,02$ & $0,04$ \\
	        \hline
	     \end{tabular}
	     \end{center}
	     \\ \vspace*{0.5cm}
	  \item $E(X) =50\times0,90+12,5\times0,04+5\times0,02-8\times0,04 =45,28$. \\
	     \fbox{$E(X)=45,28$ \euro{}, ce qui représente le bénéfice moyen de l'entreprise par objet vendu.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
%%%%%%%% CORRECTION PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 11 points}\\
\psline(0,0)(18,0)


\noindent \textbf{Partie A : D\'etermination d'une fonction}

\begin{enumerate}
   \item
   \begin{itemize}
      \item $\mathcal{C}$ passe par le point $(1;0)$ donc : $g(1)=0$ soit $\dfrac{1+a+b}{1} =0$,
      \item $\mathcal{C}$ passe par le point $(3;0)$ donc : $g(3)=0$ soit $\dfrac{9+3a+b}{3} =0$,
   \end{itemize}
   ce qui nous donne : $\Syst{a+b & =-1}{3a+b & =-9} \Longleftrightarrow \Syst{a+b & =-1}{2a & =-8} \Longleftrightarrow$ \fbox{$\Syst{a & =-4}{b & =3}$} \vspace*{0.5cm}
   \item $g(x) =\dfrac{x^2-4x+3}{x} = \dfrac{x^2}{x}-\dfrac{4x}{x}+\dfrac{3}{x}$ soit en simplifiant : \fbox{$g(x) =x-4+\dfrac{3}{x}$}
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{Partie B : \'Etude d'une fonction auxiliaire}

\begin{enumerate}
   \item $h'(x)=2x-\dfrac{2}{x}$ soit en mettant au même dénominateur : \fbox{$h'(x)=\dfrac{2x^2-2}{x}$} \\
      \underline{Signe de $2x^2-2$ sur $\R$ :} \\
      $2x^2-2=0 \Longleftrightarrow x^2=1 \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=-1$. \\
      Or, $2x^2-2$ est un polynôme du second degré, du signe de $a$ (ici, $a=2$), donc positif sauf entre ses racines $-1$ et $1$. \\
      \underline{Signe de $x$ sur $\R_+^*$ :} \\
      $x>0$ \\
      D'où le tableau de variations : \\
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|cC{1}cC{1}c|}
         \hline
         $x$ & $0$ & & $1$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         Signe de $2x^2-2$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
         Signe de $x$ & & $+$ & | & $+$ & \\
         \hline
         Signe de $h'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
         \hline                  
         & & & & &  \\
         Variations de $h$ & & \psline{->}(-0.8,0.8)(0.6,-0.4) & & \psline{->}(-0.6,-0.4)(0.8,0.8) & \\
         & & & $h(1)$ & & \\
         \hline 
      \end{tabular}
      \end{center} \vspace*{0.7cm}
   \item $h(1) =1^2+1-2\ln(1)$.\quad donc : \quad \fbox{$h(1) =2$} \\
      Le minimum de la foncion $h$ étant positif, on en déduit que \\
      \fbox{$h(x)$ est strictement positif pour tout nombre r\'eel $x$ de $]~0~;~+\infty~[$}
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{Partie C : \'Etude de fonction}

\begin{enumerate}
   \item \underline{Calcul de la limite en $0^+$ :} sachant que $\lim\limits_{x\to 0^+}~\ln x =-\infty$, on a \\
         $\Lim{\lim\limits_{x\to 0^+}~1+2\ln x =-\infty}{\lim\limits_{x\to 0^+}~x=0^+}$ donc, par quotient,  $\lim\limits_{x\to 0^+}~\dfrac{1+2\ln x}{x} =-\infty}$ \\
   $\Lim{\lim\limits_{x\to 0^+}~x-4=-4}{\lim\limits_{x\to 0^+}~\dfrac{1+2\ln x}{x}=-\infty}}$ donc, par somme, \fbox{$\lim\limits_{x\to 0^+}~f(x)=-\infty$} \\
   ce qui prouve que \fbox{la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\Gamma$} \\
   \item \underline{Calculer de la limite $+ \infty$ :} \\
       $f(x) =x-4+\dfrac{1+2\ln x}{x} =x-4+\dfrac{1}{x}+2\dfrac{\ln x}{x}$. \\
       $\Limite{\lim\limits_{x\to+\infty}~x-4=+\infty}{\lim\limits_{x\to+\infty}~\dfrac{1}{x}=0}{\lim\limits_{x\to+\infty}~2\dfrac{\ln x}{x}=0}$ donc, par somme : \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)=+\infty$} \\
   \item \underline{Calcul de la dérivée :} \\
      $f'(x) =1-0+\dfrac{\left(0+\frac2x\right)\times x-(1+2\ln x)\times 1}{x^2}$ \\
      $f'(x) =1+\dfrac{2-1-2\ln x}{x^2}$ \\
      $f'(x) =\dfrac{x^2+1-2\ln x}{x^2}$ d'où \fbox{$f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^2}$} \vspace*{0.4cm} \\
      \underline{Tableau de variation :} \\
      $f'(x)$ est du signe de $h(x)$ puisque $x^2$ est positif. \\
      Or, on a démontré dans la partie B que $h(x)$ était positive sur $\R_+^*$ donc, $f'(x)>0$ \\
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|cC{1}c|}
         \hline
         $x$ & $0$ & & $+\infty$ \\
         \hline
         Signe de $f'(x)$ & & $+$ & \\
         \hline                  
         & & & $+\infty$ \\
         Variations de $f$ & & \psline{->}(-0.8,-0.5)(0.8,0.7) & \\
         & $-\infty$ & & \\
         \hline 
      \end{tabular}
      \end{center} \vspace*{0.8cm}     
   \item 
   \begin{enumerate}
      \item $f(x)-g(x) =x-4+\dfrac{1+2\ln x}{x}-x+4-\dfrac3x} =\dfrac1x+\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac3x = \dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac2x$. \\
         Or, $\Lim{\lim\limits_{x\to+\infty}~\dfrac{2\ln x}{x} =0}{\lim\limits_{x\to+\infty}~-\dfrac2x=0}$ donc, par somme, \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty}~f(x)-g(x)=0$} \\
         Ce qui signifie que graphiquement, \fbox{les courbes sont asymptotes} \\
      \item $f(x)-g(x) =\dfrac{2\ln x-2}{x}$ donc, $f(x)-g(x)$ est du signe de $2\ln x-2$ sur $]~0~;~+\infty~[$ puisque $x$ est positif sur cet intervalle. \\    
         Or, $2\ln x -2\leq 0 \Longleftrightarrow \ln x \leq 1 \Longleftrightarrow x \leq e$ \\
         On récapitule le résultat précédent dans un tableau : \\
         \begin{center}
         \begin{tabular}{|c|lcccr|}
            \hline
            $x$ & $0$ & & $e$ & & $+\infty$ \\
            \hline
            Signe de $f(x)-g(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
            \hline                  
            Comparaison & & $f(x)\leq g(x)$ & | & $f(x)\geq g(x)$ & \\
            \hline 
            Position relative de $\Gamma$ et $\mathcal{C}$ & & $\Gamma$ est en dessous de $\mathcal{C}$ & | & $\Gamma$ est au dessus de $\mathcal{C}$ & \\
            \hline
         \end{tabular}
         \end{center} \\
         Conclusion : \fbox{$\Gamma$ est en dessous de $\mathcal{C}$ sur $]~0~;~e~[$ égale en $e$ et au dessus de $\mathcal{C}$ sur $]~e~;~+\infty~[$} \\     
      \item On a $f(x)=g(x)$ pour $x=e$, donc $y=g(e) =e-4+3~e^{-1}$. D'où \fbox{$I(e;e-4+3~e^{-1})$}
   \end{enumerate}
   \item Voir graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\textbf{Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes}

\begin{enumerate}
   \item $K'(x) =2\times\dfrac1x\times(\ln x-1) =\dfrac{2\ln x-2}{x} =f(x)-g(x)$. \\
      Donc : \fbox{$f(x)-g(x)$ admet pour primitive sur $]~0~;~+\infty~[$ la  fonction $K$} \\
   \item Voir graphique. \\
   \item $\displaystyle{\mathcal{A} =\int_e^{e^2}[f(x)-g(x)]~dx =K(e^2)-K(e)}$ \\
      $\mathcal{A} =(\ln e^2-1)^2-(\ln e-1)^2 = 1$ unité d'aire. \\
      Or, une unité d'aire mesure $2\times1,5=3$ cm$^2$ d'où : \fbox{$\mathcal{A} =3$ cm$^2$}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.33cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(9,7)
   \psaxes{->}(0,0)(0,-5)(9,7)
   \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10]  
   \uput[dl](0,0){O}
   \uput[d](9.7,0){$x$}
   \uput[l](0,6.7){$y$}
   \psplot[plotpoints=300]{0.28}{9}{3 x  div x add 4 sub}
   \psplot[linecolor=red,plotpoints=300]{0.45}{9}{x ln 2 mul 1 add x div x add -4 add}
   \uput[u](8.5,4.2){$\mathcal{C}$}
   \rput(8.52,5.5){\textcolor{red}{$\Gamma$}}
   \rput(2.72,-0.5){$I$}
   \psdot(2.72,-0.18)
   \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dotted,linecolor=blue]{\psplot{2.72}{7.39}{x ln 2 mul 1 add x div x add -4 add}\psline(7.39,4.07)(7.39,3.80)\psplot{7.39}{2.72}{3 x  div x add 4 sub}}
\end{pspicture}
\end{center}



\end{document}