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\lhead[]{\small 1^{ère} STI~GC2}
\chead[]{\textsc{Résolution d'équations}}
\rhead[]{\small {Fiche n°4}}
\lfoot{\small \url{http://mathematiques.daval.free.fr}}
\rfoot{\small -\thepage-}
\cfoot{}

\def\R{{\mathbb R}}
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%\def\Z{{\mathbb Z}}
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%\def\N{{\mathbb N}}
%\def\C{{\mathbb C}}

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\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\upshape}
\newframedtheorem{Th}{Théorème}
\newframedtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Rem}{Remarque}
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\newtheorem{Exo}{EXERCICE \no{}}
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\newframedtheorem{Def}{Définition}

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\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}

\begin{document}
   \begin{center}
   \shadowbox{\begin{LARGE}
      RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ
   \end{LARGE}}
\end{center}


\setlength{\parskip}{3ex plus 1ex minus 1ex}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Équations du premier degré}

\Ovalbox{
\begin{minipage}{16.5cm}
   Une \textbf{équation du premier degré} est une équation de la forme $ax+b=0$ avec $a\neq0$ où $x$ est l'inconnue. Résoudre une telle équation consiste à \og trouver le nombre $x$ \fg{} pour lequel $ax+b=0$.
\end{minipage}
}

\textbf{\textit{La théorie :}} \\
$ax+b=0 \Longleftrightarrow  ax=-b \Longleftrightarrow  x=-\dfrac{b}{a} \quad \text{donc:} \quad \mathcal{S}=\left\{-\dfrac{b}{a}\right\}$

\textbf{\textit{La pratique :}} \\
\begin{tabular}{lrll}
   & $-2x+4$ & $=0$ & \textit{on ajoute $-4$ des deux côtés de l'égalité} \\
   $\Longleftrightarrow$ & $-2x$ & $=-4$ & \textit{on divise par $-2$ qui est non nul des deux côtés de l'égalité} \\
   $\Longleftrightarrow$ & $x$ & $=\dfrac{-4}{-2}$ & \textit{on simplifie} \\
   $\Longleftrightarrow$ & $x$ & $=2$ & \\
\end{tabular}

On peut vérifier que lorsque l'on remplace $x$ par $2$ dans $-2x+4$, on obtient $-2\times2+4 =0$.

\bigskip

\begin{Exo}
Parmi la liste de nombres $\left\{0;1;\dfrac32;4\right\}$ lesquels sont solutions des équations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
    \item $-x+1=0$.
    \item $3x+4=6x-8$.
    \item $x(2x-3)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}

\bigskip

\begin{Exo}
Résoudre les équations suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
   \item $x-9=-4$.
   \item $-x+5=12$.
   \item $3x=-24$.
   \item $3,7x=0$.
   \item $\dfrac{1}{4}x=16$.
   \item $5x-9=3x+4$.
   \item $x-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{4}$.
   \item $\dfrac{3x}{4}=\dfrac{2}{3}$.
   \item $\dfrac{4}{5}x+4=-\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{Exo}

\pagebreak

\begin{Exo}[Pour ceux qui s'ennuient ...]
Développer chaque membre, puis résoudre les équations
obtenues.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
    \item $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$.
    \item $9x-3(4-3x)=2-[35-3(4-2x)]$.
    \item $7-3(4-2x)-5[2-3(x-5)]=4-3(x-4)$.
    \item $4(x-2)-3[6-2(3-4x)]+3(7-2x)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Solutions :} (a) $\frac{13}{8}$ \quad (b) $-\frac{3}{8}$ \quad (c) $\frac{53}{12}$ \quad (d) $\frac12$
\end{Exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Équation produit}

\Ovalbox{
\begin{minipage}{16.5cm}
Lorsque l'on a affaire à un produit de plusieurs facteurs qui doit être égal à $0$, on utilise le théorème important suivant : \\
   \textbf{Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul} :
   $$A\times B=0 \Longleftrightarrow A=0 \text{ ou } B=0.$$
\end{minipage}
}

\textbf{\textit{La pratique ... direct ...}} \\
\begin{tabular}{ll}
   & $(x+1)(x+11)=0$ \\
   $\Lonhleftrightarrow$ & $x+1=0$ ou $x+11=0$ \\
   $\Lonhleftrightarrow$ & $x=-1$ ou $x=-11$ \\
   $\Lonhleftrightarrow$ & $\mathcal{S}=\{-11;-1\}$. \\
\end{tabular}

\smallskip

\begin{Exo}
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
   \item $(x-1)(x+2)=0$.
   \item $(2x+4)(3x-1)=0$.
   \item $(2+x)(2-3x)=0$.
   \item $-3(x-1)=0$.
   \item $(x+1)(3x-4)(2x-3)=0$.
   \item $\sqrt2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}

\smallskip

\begin{Exo}[Pour ceux qui en redemandent ...]
Factoriser, puis résoudre les équations.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
   \item $(5x-2)(x+7)+(5x-2)^2=0$.
   \item $–2(3x-5)+(x+7)(3x-5)=0$.
   \item $(2x+3)^2-(x+5)(2x+3)=0$.
   \item $(3x-2)^2-81=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Solutions :} (a) $-\frac56$ et $\frac25$ \quad (b) $-9$ et $-\frac53$ \quad (c) $-\frac32$ et $2$ \quad (d) $-\frac73$ et $\frac{11}{3}$
\end{Exo}

\end{document}
